1、第一章 高聚物的應(yīng)力與應(yīng)變,11 彈性固體和高聚物的力學(xué)行為 適用于小形變的虎克定律：,（1）,111 彈性力學(xué)中的基本假定 1假定物體是連續(xù)的； 2假定物體是均勻的； 3假定物體是各向同性的； 4假定物體是完全彈性的； （符合以上四條的稱為理想彈性體） 5假定物體的變形是很小的； 6物體內(nèi)無初應(yīng)力。,112 高聚物的力學(xué)行為,特點：以下：普彈性； 以上：高彈性； 轉(zhuǎn)變區(qū)：黏彈性。 (2) (3),12 應(yīng)力狀態(tài),121定義 1外力：對物體所施加的，使物體發(fā)生變形的力。又分體力和面力。 體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力，慣性力。 面力：分布在物體表面的力，如流體壓力。 2內(nèi)力：物體受外力變形

2、時，其中各部分相對位置改變而引起的相互作用力。內(nèi)力的面密度的極限稱為應(yīng)力。 與物體的形變及材料強(qiáng)度直接有關(guān)的是應(yīng)力在其作用截面的法向和切向分量。,122 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài),在某點P從物體中取出一微小的平行六面體，其棱邊平行于坐標(biāo)軸，每個面上都受到一個應(yīng)力作用，而每個應(yīng)力又可以分解為與坐標(biāo)軸平行的三個分量。三組面共有九個分量，用應(yīng)力張量表示：,其中，,(4),第一個下標(biāo)代表應(yīng)力作用面的外法線方向，第二個下標(biāo)是分量方向。,過P點任意截面的應(yīng)力：,設(shè)截面的外法線為N，過P點在截面上取三角形ABC及另外三個與坐標(biāo)面平行的平面，構(gòu)成輔助四面體。設(shè)N的方向余弦為： l、m、n 記三角形ABC上的應(yīng)力

3、是SN，其分量變?yōu)閄N，YN，ZN，按x方向平衡條件，得：,最后一項為體力分量，可以認(rèn)為是高階小量。,過P點任意截面的應(yīng)力：,S是三角形ABC面積，約去有：,同理有：,（5）,這樣，截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別是：,（7）,（6）,123 主應(yīng)力與應(yīng)力主向,如果過P點的某一斜截面上的剪切應(yīng)力為0，則此截面上的正應(yīng)力稱為P點的一個主應(yīng)力（又稱全應(yīng)力），此斜面稱為應(yīng)力主面，其法線方向為P點的一個應(yīng)力主向，主應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影為：,代入（5）式得：,（8）,l、m、n不能全為0，故上式的系數(shù)行列式為0。,（9）,展開得,其中，,（10）,式（10）的三個解 就是三個主應(yīng)力。因此,（11）,相對比有,

4、（12）,在一定壓力狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點的主應(yīng)力一定，不隨坐標(biāo)系的不同變化。因此I1、I2、I3三個量也是不隨坐標(biāo)系變化的，稱為應(yīng)力不變量。 由（8）式可以求得三個主應(yīng)力各自的方向余弦： （l1、m1、n1），（l2、m2、n2），（l3、m3、n3）。 可以知道， 三者相互垂直。 由I1的表達(dá)式看出，物體內(nèi)任意一點，它的任意三個互相垂直面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)，且等于該點的三個主應(yīng)力之和。 如果將原來的三個坐標(biāo)軸經(jīng)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換后，與三個主應(yīng)力的方向一致，這樣所有的切應(yīng)力為0。 式（9）稱為特征值方程。,124 最大與最小應(yīng)力,取三個坐標(biāo)軸與三個主應(yīng)力重合。,（1）最大與最小正應(yīng)力 由（6）式

5、，截面（l，m，n）上的正應(yīng)力為,（13）,用l2+m2+n2=1消去上式的l，得,令m和n的偏導(dǎo)數(shù)為零，可得極值 。 同理： 和 也是極值。 因此 中最大的即為最大正應(yīng)力，最小的即為最小正應(yīng)力。 （2）最大與最小切應(yīng)力,極值有6組：,單軸拉伸時： 于是: 可見 但是，對有些塑料，拉伸時較易達(dá)到材料本身的最大剪切應(yīng)力，比法向應(yīng)力達(dá)到材料本身的最大抗拉應(yīng)力的時間要快得多，所以往往首先剪切滑移形變（屈服現(xiàn)象）。,13 應(yīng)變狀態(tài),131基本概念 P點的形變用PA，PB，PC長度和相互夾角的變化來表示。 exx，eyy，ezz分別表示PA，PB，PC的正應(yīng)變，伸長為正，收縮為負(fù)； exy，eyz，ez

6、x分別表示PA與PB，PB與PC，PC與PA間夾角（直角）的切應(yīng)變（夾角改變量的正切），夾角變小為正，變大為負(fù)。 已知一點的以上6個形變分量，就可求得經(jīng)過該點任一線段的正應(yīng)變，也可求得經(jīng)過該點的任意兩個線段之間角度的改變，于是就可以完全確定該點的形變狀態(tài)。,形變張量： 或 工程上,132 應(yīng)變分量,如圖，由P1（x，y，z）移到P1（x+u，y+v，z+w），其位移分量為u，v和w； P2（x+dx，y+dy，z+dz）為P1的鄰近點，由P2移到P2，其位移分量為u+du，v+dv，w+dw， 故兩鄰近點的相對位移為du，dv，dw。如果dx，dy，dz是無限小量，則有,變形矩陣,位移矩陣,原

7、始矩陣,矩陣I各元素代表線度變形 而 矩陣III中的元素與變形無關(guān)，而是對應(yīng)于物體的轉(zhuǎn)動。,因此，變形矩陣可以寫為： 右變第一個張量是對稱的，它表示純形變（無轉(zhuǎn)動），第二個張量是反對稱的，它表示剛性轉(zhuǎn)動（無形變），如無旋轉(zhuǎn)，則第二個張量為0。,133 物體內(nèi)任一點的應(yīng)變狀態(tài),已知物體內(nèi)任一點P的6個應(yīng)變分量 。 （1）過P點沿N方向任一微小線段PN=dr的正應(yīng)變（其方向余弦為l，m，n）：,形變后PN成為PN，PN的方向余弦：,PN和PN之間的夾角：,(2)過P點兩線段PN（l，m，n）和PN1（l1，m1，n1）的夾角的改變 形變后PN和PN1的方向余弦分別為：,原夾角的余弦： 現(xiàn)夾角的余弦： 原夾角為，其變化為-,134 應(yīng)變狀態(tài)不變量,當(dāng)無旋轉(zhuǎn)時，變形張量的特征方程為 展開 其中,I1、I2、I3三個量不隨坐標(biāo)系變化，稱為應(yīng)變狀態(tài)不變量。I1為體積應(yīng)變。 上式的根 為主應(yīng)變（三個應(yīng)變主面上切應(yīng)變均為0），比較得,1.4應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,141廣義的虎克定律 對于理想彈性體，形變是微小的，應(yīng)力的每一個張量分量與所有應(yīng)變張量分量間有線性關(guān)系。 張量表示法 ：,p，q取1，2，3，4，5，6,Cpq 和Spq分別稱剛度張量和柔量張量,142 各