1、實(shí)驗(yàn)六 系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)的拉普拉斯變換 （6.1）是連續(xù)時(shí)間傅立葉變換地推廣。連續(xù)時(shí)間傅立葉變換在研究連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中是很有用的。然而，許多信號(hào)不存在傅立葉變換而存在拉普拉斯變換，這使得拉普拉斯變換成為線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的一種有用方法。對(duì)一大類信號(hào)來(lái)說(shuō)，它們的拉普拉斯變換可以表示為s的多項(xiàng)式之比，即 這里和分別稱作分子和分母多項(xiàng)式。能表示成多項(xiàng)式之比的變換稱為有理變換，這里作為滿足線性常系數(shù)微分方程的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)中常常出現(xiàn)。除了一個(gè)標(biāo)量因子外，有理變換是完全由多項(xiàng)式和的根決定的，這些根分別稱為零點(diǎn)和極點(diǎn)。由于這些根在LTI系統(tǒng)的研究中起著重要的作用，所以它們以零極點(diǎn)圖的方式展現(xiàn)

2、出來(lái)的是很方便的。這一章將用拉普拉斯變換在復(fù)頻域研究LTI系統(tǒng)的一些性質(zhì)。6.1 MATLAB函數(shù)lsim（用于系統(tǒng)函數(shù)）目的 用lsim仿真由系統(tǒng)函數(shù)表征的因果LTI系統(tǒng)的輸出。相關(guān)知識(shí) 第二章所討論的是如何用lsim命令仿真一個(gè)輸出滿足一個(gè)線性常系數(shù)微分方程的因果LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。因?yàn)橄到y(tǒng)函數(shù)唯一地表征了關(guān)聯(lián)系統(tǒng)輸入和輸出的微分方程。所以由系統(tǒng)函數(shù)表征的因果LTI系統(tǒng)的輸出也能夠用lsim仿真。如果系統(tǒng)函數(shù)給出如下形式： （6.2）那么，對(duì)輸入地系統(tǒng)的系統(tǒng)輸出就能用lsim(b,a,x,t)仿真，其中MATLAB向量b和a包含了分子分母s多項(xiàng)式的系數(shù)。 例如，考慮系統(tǒng)函數(shù)，其系數(shù)由向量b

3、=1 1/2和a=1 -2定義。命令lsim(b,a,x,t)將系統(tǒng)對(duì)由向量x給出的輸入，在向量t給定的時(shí)刻上的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)應(yīng)存入向量y中，向量y和輸入向量x有相同數(shù)量的元素?；绢}1定義系數(shù)向量a1和b1用以描述由下面系統(tǒng)函數(shù)表征的因果LTI系統(tǒng)： a1=1 -2; %分子系數(shù)b1=1 2; %分母系數(shù) 2定義系數(shù)向量a2和b2用以描述由下面系統(tǒng)函數(shù)表征的因果LTI系統(tǒng)： a2=0 3; %分子系數(shù)b2=1 0.3; %分母系數(shù) 3定義系數(shù)向量a3和b3用以描述由下面系統(tǒng)函數(shù)表征的因果LTI系統(tǒng)： a3=2 0; %分子系數(shù)b3=1 0.8; %分母系數(shù) 4利用lsim和前面部分定義的向量

4、求這些因果LTI系統(tǒng)對(duì)由t=0:0.1:0.5，x=cos(t)給出的輸入的輸出。代碼：a1=1 -2; b1=1 2;a2=0 3; b2=1 0.3; a3=2 0; b3=1 0.8; t=0:0.1:0.5x=cos(t); y1=lsim(a1,b1,x,t); y2=lsim(a2,b2,x,t); y3=lsim(a3,b3,x,t);t,x,y1,y2,y3結(jié)果：ans = 0 1.0000 1.0000 0 2.0000 0.1000 0.9950 0.6334 0.2948 1.8366 0.2000 0.9801 0.3261 0.5779 1.6667 0.3000 0

5、.9553 0.0692 0.8468 1.4910 0.4000 0.9211 -0.1444 1.0991 1.3105 0.5000 0.8776 -0.3205 1.3323 1.12626.2作連續(xù)時(shí)間的零極點(diǎn)圖目的 這一節(jié)要學(xué)習(xí)如何在一個(gè)零極點(diǎn)圖上展現(xiàn)有理系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)。相關(guān)知識(shí) 一個(gè)有理系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)能用函數(shù)roots計(jì)算出。例如，對(duì)于系統(tǒng)函數(shù)為 的LTI系統(tǒng)，其零極點(diǎn)可用執(zhí)行如下命令而計(jì)算出： b=1 -1; a=1 3 2; zs=roots(b)zs = 1 ps=roots(a)ps = -2 -1 一個(gè)簡(jiǎn)單的零極點(diǎn)圖可以用在復(fù)數(shù)s平面內(nèi)，在每個(gè)極點(diǎn)的位置放一個(gè)x，在

6、每個(gè)零點(diǎn)的位置放一個(gè)o來(lái)完成，也即 plot(real(zs),imag(zs),o); hold on plot(real(ps),imag(ps),x); grid axis(-3 3 -3 3)基本題1下列每個(gè)系統(tǒng)函數(shù)都對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)。用roots求每個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)，如上所示的利用plot畫出零極點(diǎn)圖并作適當(dāng)標(biāo)注。(i) (ii) (iii) 代碼：a1=1,5;b1=1,2,3;a2=2,5,12;b2=1,2,10;a3=2,5,12;b3=1,4,14,20;zs11=roots(a1);ps11=roots(b1);zs21=roots(a2);ps21=roots(

7、b2);zs31=roots(a3);ps31=roots(b3);subplot(3,1,1)plot(real(zs11),imag(zs11),o);hold on;plot(real(ps11),imag(ps11),x);subplot(3,1,2)plot(real(zs21),imag(zs21),o);hold on;plot(real(ps21),imag(ps21),x);subplot(3,1,3)plot(real(zs31),imag(zs31),o);hold on;plot(real(ps31),imag(ps31),x); 若干不同的信號(hào)能有相同的拉普拉斯變換有

8、理表達(dá)式，但有不同的收斂域。例如，具有單位沖激響應(yīng)為的因果和反因果LTI系統(tǒng)就有相同的分子和分母多項(xiàng)式的有理系統(tǒng)函數(shù)為 然而，它們有不同的系統(tǒng)函數(shù)，因?yàn)?它們有不同的收斂域。2對(duì)1中每個(gè)有理表達(dá)式，確定它們的收斂域。a1=1,5;b1=1,2,3;a2=2,5,12;b2=1,2,10;a3=2,5,12;b3=1,4,14,20;zs11=roots(a1);ps11=roots(b1);zs21=roots(a2);ps21=roots(b2);zs31=roots(a3);ps31=roots(b3);abs(zs11)abs(zs21)abs(zs31)結(jié)果ans = 5ans = 2

9、.4495 2.4495ans = 2.4495 2.44953對(duì)輸入和輸出滿足下面微分方程： 的因果LTI系統(tǒng)，求系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，并完成一幅適當(dāng)標(biāo)注的零極點(diǎn)圖。a=1,-3;b=1,2,5;zs=roots(a);ps=roots(b);plot(real(zs),imag(zs),o);hold on;plot(real(ps),imag(ps),x);grid;axis(-4 4 -3 3);6.3 MATLAB函數(shù)freqz目的 學(xué)習(xí)用函數(shù)freqz繪制LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。相關(guān)知識(shí) 一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)可以完全用它的頻率響應(yīng)來(lái)表征。若是系統(tǒng)輸入的CTFT，那么。就給出了系統(tǒng)輸出

10、的CTFT。輸入和輸出滿足線性常系數(shù)微分方程的LTI系統(tǒng)是一類重要的系統(tǒng)，其部分原因是因?yàn)檫@些系統(tǒng)的頻率響應(yīng)很容易求得。即滿足下面微分方程的LTI系統(tǒng)： 其頻率響應(yīng)可直接得出為 函數(shù)freqz(b,a)能用于計(jì)算并畫出這個(gè)頻率響應(yīng)，其中向量b和a分別包含系數(shù)和。在b和a中系數(shù)的排列次序與對(duì)lsim輸入所要求的次序是完全相同的。 現(xiàn)考慮一階微分方程，它描述的是一個(gè)因果、穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是。如果對(duì)freqz(b,a)沒(méi)有提供宗量，那么將自動(dòng)畫出的幅值和相位。執(zhí)行如下命令： a=1 3; b=3; freqs(b,a)就可得到下圖?？捎闷漕l率特性表達(dá)式自行確認(rèn)下圖的

11、幅值和相位是正確的。 命令freqz自動(dòng)選擇畫出的頻率范圍。如果想要在特定的值上畫出，或者在一個(gè)不同于由freqz自動(dòng)選定的頻率范圍畫出，可以將這些頻率作為輸入給出。例如，執(zhí)行如下命令 w=linspace(0,3*pi); H=freqz(b,a,w)就產(chǎn)生在區(qū)間內(nèi)，100個(gè)等間隔上的?；绢}1利用freqz畫出微分方程描述的一個(gè)因果、穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幅值和相位。代碼：a=3,4,1;b=1,0,5;freqs(b,a);6.4 系統(tǒng)的時(shí)域和頻域特性目的 考慮幾個(gè)由線性常系數(shù)微分方程描述的穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，對(duì)這些系統(tǒng)要求計(jì)算它們的單位沖激響應(yīng)和頻率響應(yīng)。盡管用頻率響應(yīng)或單位脈沖響

12、應(yīng)都足以完全表征一個(gè)LTI系統(tǒng)，但是將會(huì)明白有時(shí)候既從時(shí)域，又從頻域來(lái)考慮系統(tǒng)特性是很有利的。相關(guān)知識(shí) 因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)由卷積給出,所以一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)完全表征了該系統(tǒng)。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么該系統(tǒng)的一個(gè)等效表示就由它的頻率響應(yīng)給出，這時(shí)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換是由關(guān)聯(lián)的?；绢}考慮由下面微分方程給出的一類因果LTI系統(tǒng) 其中以保證穩(wěn)定性。定義系統(tǒng)I是滿足上式，的系統(tǒng)，系統(tǒng)II是的系統(tǒng)。1 用解析法導(dǎo)出對(duì)應(yīng)于上式的穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，同時(shí)確定這個(gè)頻率響應(yīng)的幅值和相位。分析：本系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性為H(jw)=a0/(jw+a0)，幅值為a0*a0/(w*w+a0*a0),相位

13、為-actan (-w/a0)。2定義w=linspace(0,10)，利用freqz計(jì)算系統(tǒng)I和系統(tǒng)II在w頻率上的頻率響應(yīng)，在單一的圖上畫出這兩個(gè)頻率響應(yīng)的幅值。這兩個(gè)幅值圖與解析表達(dá)式中頻率響應(yīng)的幅值一致嗎？代碼：w=linspace(0,10);a=3;b=1 3;a1=1/3;b1=1 1/3;subplot(211)H=freqz(a,b,w)plot(abs(H);subplot(212)H1=freqz(a1,b1,w)plot(abs(H1); 分析：由圖形與表達(dá)式可知，這兩個(gè)幅值圖與解析表達(dá)式中頻率響應(yīng)的幅值一致3用函數(shù)impulse計(jì)算系統(tǒng)I和系統(tǒng)II在向量t=linspace(0,5)所定義的時(shí)間樣本點(diǎn)上的單位沖激響應(yīng)。代碼：t=linspace(0,5)a=1,3;b=3;a1=1 1/3;b1=1/3;subplot(211),impulse