1、第8章 動態(tài)電路的瞬態(tài)分析,本章重點,動態(tài)電路的時間域分析涉及許多重要概念和方法。學習本章，要掌握好以下內容： 1. 一階電路微分方程與在直流信號和階躍信號作用下的零狀態(tài)響應。 2. 換路定律與零輸入響應的概念，時間常數(shù)的概念與求法。 3. 分析一階電路的三要素法經(jīng)常應用，要認真掌握好。 4. 沖激函數(shù)與沖激響應的概念。 5. 二階電路微分方程和零輸入響應的特點。,8.1 一階電路：零輸入響應 8.2 一階電路：零狀態(tài)響應 8.3 一階電路的全響應及響應特性 8.4 一階電路：三要素法 8.5 沖激函數(shù)與沖激響應 8.6 二階電路與零輸入響應 *8.7 二階電路的零狀態(tài)響應 *8.8 狀態(tài)方程

2、,本章目錄,8.1 一階電路：零輸入響應,8.1.1 一階電路方程的建立 8.1.2 換路定律及初始值的計算 8.1.3 零輸入響應與時間常數(shù),電容C和電感L的VCR方程為,直流穩(wěn)態(tài)下，電容相當于開路，電感相當于短路。,若電容電感的初始能量為0，那么,8.1.1 一階電路方程的建立,圖8-1 RC電路,一階電路方程,圖8-2 RL電路,uR( t ) + uC( t ) = uS( t ),iR( t ) + iL( t ) = iS( t ),一般形式： y ( t ) + a y( t ) = f( t ),由于,電容的電流值有限時，uC( t )不能躍變； 電感上電壓值有限時，iL (

3、t )不能躍變。,8.1.2 換路定律及初始值的計算,所以t = 0+時有,按換路定律，有,一般取電路發(fā)生換路的時刻為t=0，把換路前一瞬間記為t=0-，而把換路后一瞬間記為t= 0+ 。換路定律告訴我們：,換路前后電容電壓和電感電流不會發(fā)生躍變。同時一定注意，電路中的其它電壓和電流都可能發(fā)生躍變（包括電容電流和電感電壓）。,換路后的一瞬間（即t=0+時刻）的電流、電壓值，統(tǒng)稱為初始值。為便于計算，由換路定律和替代定理，可以用電壓等于uC(0+)的電壓源替代電容元件，用電流等于iL(0+)的電流源替代電感元件。,本定律和求初始值的方法適用任意n階電路。,圖8-3 初始值的兩種典型變化示意,初始

4、狀態(tài)的等效,圖8-4,求初始值的簡要步驟如下：,由t0時的電路，求出uC(0-)、iL(0-)；,畫出t= 0+時的等效電路；,由t=0+時的等效電路，求出各電流、電壓的初始值。,例 電路如圖8-5(a)所示，t=0時開關S由1扳向2，在t0時電路已處于穩(wěn)定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。,(2) 畫出t=0+時的等效電路。按換路定律，有,解 (1),圖8-5,(3) 由t=0+時的等效電路，計算各初始值,8.1.3 零輸入響應與時間常數(shù),概念,一階電路中，設f( t ) = 0，則 y ( t ) + a y( t ) = 0 特征根 = a 故 y( t ) = y( 0+ )eat

5、 ( t 0+ ),從觀察的起始時刻t0起不再加輸入信號（即零輸入），僅由t0以前的歷史輸入或t0時刻動態(tài)電路的儲能狀態(tài)引起的響應稱為零輸入響應（或稱儲能響應）。,圖8-6,電容的放電,對t 0而言，由圖8-6，有,特征根,故儲能響應,其中 uC( 0+ ) = uC( 0 ) = U0 uC( t )的變化快慢取決于電路參數(shù)RC。,時間常數(shù)0,RC電路： RL電路：,不同 t 值對應的y( t ),圖8-7,例 如圖8-8所示電路，已知R = 4，L = 0.1H，US = 24V，開關在t = 0打開，求t 0時的電流i，其中電壓表的內阻RV = 10k，量程為100V。問開關打開時，電壓

6、表有無危險？,圖8-8,解: 因t = 0 時，電感相當于短路，故u( 0 ) = 0。而,所以 iL( 0+ ) = iL( 0 ) = 6A 時間常數(shù),所以,電壓u( t )為,故 u( 0+ ) = 60kV 這就是說，在開關打開瞬間，電壓表兩端要承受60kV的高壓，而表的量程只有100V，所以電壓表立即被打壞。工程中為安全起見，應在開關斷開前先把電壓表移去。,例 如圖8-9(a)所示電路，已知電容電壓uC(0)=6 V。t=0閉合開關，求t 0的電容電壓和電容電流。,圖8-9,解: 在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到,將連接于電容兩端的電阻單口網(wǎng)絡等效于一個電阻，電阻值為,所以

7、,時間常數(shù)為,8.2 一階電路：零狀態(tài)響應,8.2.1 零狀態(tài)響應的概念 8.2.2 零狀態(tài)響應 8.2.3 階躍函數(shù)與階躍響應,8.2.1 零狀態(tài)響應的概念,零狀態(tài)響應,一階電路微分方程的一般形式為 y ( t ) + a y( t ) = f( t ),當電路中儲能狀態(tài)為零時，由外加激勵信號產(chǎn)生的響應（電壓或電流）稱為零狀態(tài)響應（或稱受激響應）。,求解公式,依此可以導出求零狀態(tài)響應y( t )的一般方法。將上式兩邊乘以eat，得 eat y ( t ) + aeat y( t ) = eat f( t ) 即,從0 到t積分上式，有,即,設激勵f( t )在t = 0加入，它不可能在t =

8、 0以前引起響應，故y( 0 ) = 0，從而得零狀態(tài)響應,y ( t ) + a y( t ) = f( t ),特別地，當激勵為直流量時，,其中，f(t)/a的值即為y()的值,RC電路的零狀態(tài)響應（直流輸入）,電路方程,圖8-10,8.2.2 零狀態(tài)響應,利用公式,uR和uC在不同時刻的值,看曲線規(guī)律。,RL電路的零狀態(tài)響應（直流輸入）,電路方程,圖8-11,利用公式,圖8-12,例 如圖8-13(a)所示電路，已知電感電流iL(0)=0。t=0閉合開關，求t0的電感電流和電感電壓。,圖8-13,解:開關閉合后的電路如圖(b)所示。,開關閉合后的電路等效成圖(c)，則此電路求得時間常數(shù)為

9、,假如還要計算電阻中的電流i(t)，可以根據(jù)圖(b)電路，用歐姆定律求得,所以,8.2.3 階躍函數(shù)與階躍響應,單位階躍函數(shù),若階躍信號遲延，則,圖8-14,階躍響應,若一階電路方程 y ( t ) + a y( t ) = b ( t ) 則階躍響應為,儲能狀態(tài)為零的動態(tài)電路，在單位階躍信號作用下產(chǎn)生的受激響應稱為階躍響應。用s( t )表示。,例 如圖8-15(a)所示電路，求階躍響應 uC 。,圖8-15,解:先將電路ab左端的部分用戴維南定理化簡，得圖 (b)所示電路。由圖(a)可得,將ab端短路，設短路電流為ISC（從a流向b） ，因為 3u1+ u1=0，即u1=0，則,所以，,式

10、中=R0C=210-6 s,8.3 一階電路的全響應及響應特性,8.3.1 一階電路的全響應 8.3.2 線性與時不變性,響應的分解（一般輸入）,如圖8-16所示電路，輸入uS( t ) = (1 e2t)，t 0；求t 0時響應uC( t ) 。開關打開前電路已處穩(wěn)態(tài)。,圖8-16,8.3.1 一階電路的全響應,初始狀態(tài)： uC( 0 ) = 4V 起始值： uC( 0+ ) = uC( 0 ) = 4V t 0時電路方程：,零輸入響應：,零狀態(tài)響應：,完全響應：,可用以下通用形式描述為,8.3.2 線性與時不變性,線性,對線性電路，必有 a1f1( t ) + a2f2( t ) a1y1

11、( t ) + a2y2( t ),微、積分特性,時不變性,線性時不變（Linear-Time Invariant，LTI ）,圖8-17,例 如圖8-17所示電路，輸入為方波uS( t )，試求零狀態(tài)響應uC( t )。設 ，A = 5V。,解 uS( t ) = A( t ) A( t t0 ) (電路方程 ),( t ) 作用,由時不變性和線性疊加性，得,零狀態(tài)響應波形：,圖8-18,如何理解零輸入響應、零狀態(tài)響應和時間常數(shù)的概念？ 分析時如何應用線性和時不變性。,閱讀與思考,8.4 一階電路：三要素法,對一階電路方程 y ( t ) + a y( t ) = f( t ) ( t 0

12、) 其解,三要素公式,令t = 0+，則 y( 0+ ) = y( ) + K 從而 K = y( 0+ ) y( ) 故得一般公式：（三要素： y( )、 y( 0+ ) 、0）,三要素的求法,y( 0+ )：換路前，求初始狀態(tài)uC( 0 )或iL( 0 )定uC( 0+ )或iL( 0+ )；用電壓源uC( 0+ )和電流源iL( 0+ )分別代替電容和電感，則可求其他元件的起始值。 y( )：換路后，作t 的等效電路：電容開路可定uC( )，電感短路可定iL( )。繼而可定其他y( )。 0：換路后，除電容和電感外，將電路等效為戴維寧電路或諾頓電路（圖8-19）。 則 0 = R0C （

13、對RC電路） （對RL電路）,圖8-19 求時間常數(shù)的最簡電路,例 如圖8-20(a)所示電路，t0時電路處于穩(wěn)態(tài)。t=0時S1打開，S2閉合。求電容電壓uC和電流i并作波形圖。,圖8-20,解 (1) 求uC(0+)和i(0+)。 t=0時，電容C相當于開路，所以,(2) 求uC ()和i()。,(3) 求0。,(4) 求uC和i。,圖8-21,例 圖8-22是一種測速裝置的原理電路。圖中A、B為金屬導體，A、B相距為S=1 m，當子彈勻速地擊斷A再擊斷B時，測得uC=8 V，求子彈的速度。,圖8-22,解 子彈未擊穿金屬擋板時，電路中A將C短路；擊穿A未擊穿B時，電源、R和C構成串聯(lián)回路；

14、B也被擊穿時，整個電路開路。所以A、B就是一個開關。,(1) 求uC(0+) 。,uC( ) = 10V,所以,(2) 求uC () 。,uC( 0+ ) = uC( 0 ) = 0V,0 = RC = 1ms,(3) 求0。,因t=t1時B被擊斷，這時有,解得 t1=1.6 ms,最后得子彈的速度,例 如圖8-23所示電路，已知t 0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。試對t 0+ 求響應uL( t )和uC( t )。,圖8-23,(1) 求uL(0+)和uC(0+) 。,uL( ) = 0V uC( ) = 10V,解 由KVL可對12 V、1、L、10 V和2、C、10 V兩個回路分別列出一階微分方程，

15、因此這兩回路構成一階電路。,則,(2) 求uL ()和uC () 。,uC( 0+ ) = uC( 0 ) = 9V,iL( 0+) = iL( 0 ) = 3A,uL( 0+ ) = 12 31 10 = 1V,01 = R0C = 2 1s = 2s,(3) 求01和02 。,uL( t ) = et ( t 0 ),所以,例 如圖8-24(a)所示電路，開關S斷開已經(jīng)很久，t=1 s時開關S閉合，t=2 s時開關S重新斷開，試求t1 s電容電壓uC(t)和電阻電壓uo(t)。,圖8-24,(1) 1 st2 s區(qū)間內響應的計算 。,解 本題要求計算電容電壓和1.6 k電阻電壓，先將電路其

16、余部分用戴維寧等效電路代替，得到開關S斷開和閉合時的等效電路如圖(b)和(c)所示，再從時間上分段計算。,(2) t2 s區(qū)間內響應的計算 。,同樣用三要素法也可以求出電壓uo(t)：,畫出uC(t)和uo(t)的波形如圖(d)和(e)所示。,微分電路,圖8-25 微分電路及響應,由圖8-25(a)，有,u1( t ) = uC + u2,若u2 0，則u1 uC 故,實際輸出：由三要素法,又u2( T ) = U1 （0 T時） 則,如果輸入信號周期變化，則有如下波形：,u1( t ),圖8-26,uR( t ),uC( t )，0較小,uC( t )，0較大,積分電路,圖8-27 積分電路

17、及響應,由圖8-27(a)，有,uS( t ) = uR + uC,實際輸出：,若0 T， uC( T ) = U0 則,若uC 0，則uS uR，,例 確定RC分壓器的階躍響應u2( t ) 。,圖8-28,解 已知uC1( 0 ) = uC2( 0 ) = 0，由KVL，在t = 0+ 時 u1( 0+ ) + u2( 0+ ) = A (1) 由電荷守恒原理，應 C1u1( 0+) = C2u2( 0+) (2) 聯(lián)合式(1)和(2)解之,又,由三要素公式，得,圖8-29,本例也可在正弦穩(wěn)態(tài)下分析。,圖8-30,應用,圖8-31 實際的多檔分壓器,如何求一階電路的三要素？ 正弦信號輸入時

18、三要素如何求？ 如何認識微分電路和積分電路的本質？,閱讀與思考,8.5 沖激函數(shù)與沖激響應,8.5.1 單位沖激函數(shù) 8.5.2 沖激響應,引例,8.5.1 單位沖激函數(shù),圖8-32,當0， ，面積為1，則p( t ) ( t ),定義,圖8-33,兩種波形：,( t )與( t )的關系,因,故,即,相應地,圖8-34,( t ) 的性質,1. ( t )是偶函數(shù)：( t ) = ( t ) 2. 具有篩選性: f ( t ) ( t ) = f ( 0 ) ( t ),進而,一般的，若一階方程為 y ( t ) + a y( t ) = b( t ) 則從書式（8-10）得 h( t )

19、= y( t ) = beat( t ),概念,8.5.2 沖激響應,儲能狀態(tài)為零的電路，在單位沖激信號作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為沖激響應，記為h( t )。,求解h( t )的常用方法,因為,又由一階電路的微分特性，得,例 如圖8-35所示RC電路，設uC( 0 ) = 0，輸入信號為 ( t )，試以uC( t )為響應，求沖激響應h( t )。,圖8-35,解 由三要素法求得階躍響應為,又t=0時 0，而t0時 ，即 必為0，則,或寫作,所以，,如何理解沖激函數(shù)的物理意義和它的篩選性質？,閱讀與思考,8.6 二階電路與零輸入響應,8.6.1 二階電路方程 8.6.2 零輸入響應,8.6.

20、1 二階電路方程,圖8-36,RLC串聯(lián)電路,如圖8-36所示RLC串聯(lián)電路，在t 0時可列KVL方程：,又因,所以有,即有標準形式,其特征方程為 可求得特征根,1和2常稱為二階電路的固有頻率，它們僅依賴于電路本身的參數(shù)，為阻尼系數(shù)，0為振蕩角頻率。,令 和 ，則上式可以寫成,GCL并聯(lián)電路（對偶）,對圖8-37，由KCL,圖8-37,因為,所以有標準形式方程,從而可由特征方程得特征根（固有頻率）,令 和 ，上式變?yōu)?可見，二階電路方程的一般標準形式為 y ( t ) + a1 y ( t ) + a0 y( t ) = b f( t ),8.6.2 零輸入響應,如RLC串聯(lián)電路，當輸入為零時

21、，則,即,特征根,解得,由此可得,3. 當 0，即 ，稱為欠阻尼情況，這時1和2 為共軛復根。,式中， 。則解為,根據(jù)t = 0時的起始條件，可得 K1 = U,代入式（4）可求得uC( t )，它是一個衰減振蕩。 式（4）還可以表示為 uC( t ) = Kcos(d t + ) （5） 式中,圖8-38,上述解答的三種波形示意圖：,8.7* 二階電路的零狀態(tài)響應,8.7.1 沖激響應 8.7.2 階躍響應,8.7.1 沖激響應,定義算子：,算子方程,設有方程 y ( t ) + a1y ( t ) + a0y( t ) = b f( t ) (6),則算子方程 ( p2 + a1 p+ a

22、0 ) y( t ) = b f( t ) 設特征根為1和2，則 ( p 1) ( p 2) y( t ) = b f( t ) 即,圖8-39,求解方法,分解為一階算子求響應。,例如，對典型的二階電路微分方程式（6），當輸入f( t ) = ( t )時，其響應y( t )即為h( t )，即有,進而,把 看作新的輸入f( t )，則由圖8-39(c)，有,最后得,例 在RLC串聯(lián)電路中，設uC( 0 ) = 0，iL( 0 ) = 0，輸入信號uS( t ) = ( t )，試求在下列情況下的沖激響應uC( t )。 （1）R = 4，L = 1H，C = F； （2）R = 2，L =

23、1H，C = 1F； （3）R = 1，L = 1H，C = 1F。,解 對于（1），以uC( t )為求解量，可列方程 其特征方程的根為 1= 1， 2 = 3 算子方程為 ( p2 + 4 p+ 3 ) uC( t ) = 3( t ) 或,對每個因式應用圖8-39中的結論，得,把 e3t看作新的f( t )，從而得,即 h( t ) = uC( t ) = 1.5 et 1.5e3t ( t 0 ),對于情況（2），可列方程,其特征根為 1= 2 = 1 對應的算子方程為 ( p2 + 2p+ 1 ) uC( t ) = ( t ) 即,進而,把 et看作新的f( t )，從而得,即 h

24、( t ) = uC( t ) = tet ( t 0 ),對于情況（3），用類似方法得,由上可以看出，引用算子方程后，求解變得規(guī)范、簡便，免去了用經(jīng)典法求解非齊次微分方程的繁瑣過程。,8.7.2 階躍響應,對RLC串聯(lián)電路，當輸入uS(t) = (t)時，對上例情況（1），有,算子方程為 ( p2 + 4 p+ 3 ) uC( t ) = 3( t ) 即,進一步表示為,解得 s( t ) = uC( t ) = 1 1.5 et + 0.5e3t ( t 0 ) 同法，對情況（2），則有 s( t ) = 1 et tet ( t 0 ),對于情況（3），可類似地得,階躍響應的測量結果：,圖8-40,利用算子方程求解零狀態(tài)響應的規(guī)律是什么？,閱讀與思考,8.8 狀態(tài)方程,狀態(tài)變量,若電路中一組變量能夠反映動態(tài)電路的儲能狀態(tài)，并且一旦由這組變量的初始