1、柯西積分公式 解析函數(shù)的無窮可微性 柯西不等式與劉維爾定理 摩勒拉定理,2011年4月1日,第三節(jié) 柯西積分公式及其推論,第十一講,和柯西積分定理考慮如下問題：,該積分值不隨閉曲線 C 的形狀變化而改變,一、柯西積分公式,1.定理3.11,這就是柯西積分公式.,分析 （3.15）可以改寫成,證明,柯西積分公式,2 定義3.4,在定理3.11條件下,稱為柯西積分.,關(guān)于柯西積分公式的說明:,(1) 用在C邊界上的值確定其內(nèi)部值.,(這是解析函數(shù)的又一特征),(2) 柯西積分公式（定理3.11）與柯西積分定理（定理3.9，3.10）的條件相同.,(這便于記憶),(3) Cauchy積分公式也可寫成

2、,例1,解,由柯西積分公式,例2,解,由柯西積分公式,3 平均值公式,定理3.12,即f(z) 在圓心處的值等于它在圓周上值的算術(shù)平均值.,證明,例3,證明,由平均值公式,從而,因?yàn)?矛盾.,4. 最大模原理,證明,“反證”,由平均值定理,只要圓K:,定理4.23,于是,注1:有界閉域上解析函數(shù)的最大模只能在邊界取得.,2. 推論4.24,由最大模原理,例4,例5,證明,此時(shí),與最大模原理相矛盾.,則由題設(shè),證明,5. 最小模原理,證明,到最大值，這與最大模定理矛盾。,二 解析函數(shù)的無窮可微性,1 定理3.13,在定理3.11條件下,函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且有,注：上式也可寫成,

3、該公式在求積分時(shí)常用到,先證明結(jié)論關(guān)于n=1時(shí)成立。,證明,只需證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，下式也趨近于0,現(xiàn)在估計(jì)上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且使得0|h|d，那么當(dāng),設(shè)|f(z)|在C上的一個(gè)上界是M，并且設(shè)C的長度是L，于是我們有,因此當(dāng)h趨近于0時(shí)，要證的積分趨于0。,D,D,C,z,z+h,d,現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明。設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有,注1 以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異； 注2 任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論；,由此證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，上式的右邊趨于0，于是定

4、理的結(jié)論當(dāng)n=k+1時(shí)成立。,例6,解,例7,解 分幾種情況,根據(jù)復(fù)周線Cauchy積分定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,2. 解析函數(shù)的無窮可微性,定理3.14,設(shè)函數(shù)f(z)在z平面上區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)在D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且它們也在D內(nèi)解析.,證明,3. 刻劃解析函數(shù)的第二個(gè)等價(jià)定理,證明,充分性為定理2.5,必要性,條件2的必要性已由定理2.1得出,由解析函數(shù)的無窮可微性,4月19日,定理3.15,三、 柯西不等式與劉維爾定理,1. 柯西不等式,證明,劉維爾定理 有界整函數(shù)必為常數(shù).,整函數(shù),-在整個(gè)復(fù)平面解析的函數(shù).,證明 設(shè) f(z)是有界整函數(shù)，,2. 劉維爾(Livouile)定理,注

5、Cauchy不等式中,令,可見,從而f(z) 恒等于常數(shù)。,注: 非常數(shù)整函數(shù)必?zé)o界。,由柯西不等式，有,3. 代數(shù)學(xué)基本定理,至少有一個(gè)零點(diǎn).,證明,若P(z)在z平面上無零點(diǎn),因P(z)在z平面上解析,故存在充分大的正數(shù)R,從而在z平面上,矛盾.,應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，,則f(z)在D內(nèi)解析。, 定理3.16,若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對(duì)D內(nèi)的任意周線C，有,證明,在定理?xiàng)l件下,由定理3.7即知,在D內(nèi)解析,且,4. 莫勒拉定理, 刻劃解析函數(shù)的第三個(gè)等價(jià)定理,定理3.17,函數(shù)f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析的充要條件是:,(1) f(z)在G內(nèi)連續(xù);,(2) 對(duì)任一周線C,只要C及其內(nèi)部全含于G,注 定理3.17中區(qū)域G不必是單連通區(qū)域。,證明,必要性,由Cauchy積分定理3.3可導(dǎo)出;,充分性,由定理3.16 ,證明,又在z平面上,從而為常數(shù);,例8,例9,證明,在復(fù)平面上任取一點(diǎn)z,作圓周,R,C1,r,C,z,R,C1,r,C,z,R,C1,r,C,z,1-3的主要內(nèi)容,有向曲線,復(fù)積分,積分存在的 條件及計(jì)算,積分的性質(zhì),Cauchy積分定理,原函數(shù) 的概念,復(fù)合閉路定理,Cauchy 積分公式,高階導(dǎo)數(shù)公式,積分公式及計(jì)