1、第五講三角形【專題知識結(jié)構(gòu)】【專題解題分析】三角形在中考中的常見考點(diǎn)有三角形的邊和角，三角形的重要線段；全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)及綜合應(yīng)用，角平分線的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段的垂直平分線；比例線段與黃金分割，相似三角形的性質(zhì)及判定，相似多邊形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)，解直角三角形的應(yīng)用等對三角形的考查在中考中既有客觀題又有主觀題，考查題型多樣，關(guān)于邊角的基礎(chǔ)知識一般以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，證明三角形全等、相似，應(yīng)用三角形全等、相似解決問題一般以解答題的形式進(jìn)行考查；解決三角形問題常用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，方程思想和數(shù)形

2、結(jié)合思想；常用的數(shù)學(xué)方法有分類討論法和設(shè)參數(shù)法等.【典型例題解析】例題1: (2017山東東營)如圖，把ABC沿著BC的方向平移到DEF的位置，它們重疊部分的面積是ABC面積的一半，若BC=，則ABC移動(dòng)的距離是（）ABCD【分析】移動(dòng)的距離可以視為BE或CF的長度，根據(jù)題意可知ABC與陰影部分為相似三角形，且面積比為2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的長，利用線段的差求BE的長【解答】解：ABC沿BC邊平移到DEF的位置，ABDE，ABCHEC，=（）2=，EC：BC=1：，BC=，EC=，BE=BCEC=故選：D【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)，關(guān)鍵在于證ABC與

3、陰影部分為相似三角形例題2: ( 2017寧夏)在ABC中，AB=6，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEBC，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，且ME=DM當(dāng)AMBM時(shí)，則BC的長為8【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DM，根據(jù)題意求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可【解答】解：AMBM，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DM=AC=3，ME=DM，ME=1，DE=DM+ME=4，D是AB的中點(diǎn)，DEBC，BC=2DE=8，故答案為：8【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵例題3：(2017上海)一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點(diǎn)C 與F 重合，邊CA

4、與邊FE疊合，頂點(diǎn)B、C、D在一條直線上）將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n后（0n180 ），如果EFAB，那么n的值是45【分析】分兩種情形討論，分別畫出圖形求解即可【解答】解：如圖1中，EFAB時(shí)，ACE=A=45，旋轉(zhuǎn)角n=45時(shí)，EFAB如圖2中，EFAB時(shí)，ACE+A=180，ACE=135旋轉(zhuǎn)角n=360135=225，0n180，此種情形不合題意，故答案為45【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型例題4：(2017上海)如圖，一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是ABC，水平橫梁BC長18米，中柱AD高6米，其中D是BC的

5、中點(diǎn)，且ADBC（1）求sinB的值；（2）現(xiàn)需要加裝支架DE、EF，其中點(diǎn)E在AB上，BE=2AE，且EFBC，垂足為點(diǎn)F，求支架DE的長【分析】（1）在RtABD中，利用勾股定理求出AB，再根據(jù)sinB=計(jì)算即可；（2）由EFAD，BE=2AE，可得=，求出EF、DF即可利用勾股定理解決問題；【解答】解：（1）在RtABD中，BD=DC=9，AD=6，AB=3，sinB=（2）EFAD，BE=2AE，=，=，EF=4，BF=6，DF=3，在RtDEF中，DE=5【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型例題5：(

6、2017年湖南郴州)如圖所示，C城市在A城市正東方向，現(xiàn)計(jì)劃在A、C兩城市間修建一條高速公路（即線段AC），經(jīng)測量，森林保護(hù)區(qū)的中心P在A城市的北偏東60方向上，在線段AC上距A城市120km的B處測得P在北偏東30方向上，已知森林保護(hù)區(qū)是以點(diǎn)P為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域，請問計(jì)劃修建的這條高速公路是否穿越保護(hù)區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：1.73）【分析】作PHAC于H求出PH與100比較即可解決問題【解答】解：結(jié)論；不會(huì)理由如下：作PHAC于H由題意可知：EAP=60，F(xiàn)BP=30，PAB=30，PBH=60，PBH=PAB+APB，BAP=BPA=30，BA=BP=120，在RtPBH

7、中，sinPBH=，PH=PBsin60=120103.80，103.80100，這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題例題6：(2017年湖南郴州)如圖1，ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6cm，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到BCE，連結(jié)DE（1）求證：CDE是等邊三角形；（2）如圖2，當(dāng)6t10時(shí)，BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出BD

8、E的最小周長；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DCE=60，DC=EC，即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)6t10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD，于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD，由垂線段最短得到當(dāng)CDAB時(shí)，BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D，B，E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)0t6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ABE=60，BDE60，求得BED=90，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE

9、B=60，求得CEB=30，求得OD=OADA=64=2，于是得到t=21=2s；當(dāng)6t10s時(shí)，此時(shí)不存在；當(dāng)t10s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DBE=60，求得BDE60，于是得到t=141=14s【解答】解：（1）證明：將ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到BCE，DCE=60，DC=EC，CDE是等邊三角形；（2）存在，當(dāng)6t10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD，CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，CDE是等邊三角形，DE=CD，CDBE=CD+4，由垂線段最短可知，當(dāng)CDAB時(shí)，BDE的周長最小，此時(shí)，CD=2cm，BDE的最小周長=CD+4=2+4；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)

10、D與點(diǎn)B重合時(shí)，D，B，E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意，當(dāng)0t6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，ABE=60，BDE60，BED=90，由（1）可知，CDE是等邊三角形，DEB=60，CEB=30，CEB=CDA，CDA=30，CAB=60，ACD=ADC=30，DA=CA=4，OD=OADA=64=2，t=21=2s；當(dāng)6t10s時(shí)，由DBE=12090，此時(shí)不存在；當(dāng)t10s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DBE=60，又由（1）知CDE=60，BDE=CDE+BDC=60+BDC，而BDC0，BDE60，只能BDE=90，從而BCD=30，BD=BC=4，OD=14cm，t=141=14s，綜上

11、所述：當(dāng)t=2或14s時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【達(dá)標(biāo)檢測評估】一、選擇題：1. （2016山東省濱州市3分）如圖，ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC=CD=BD=BE，A=50，則CDE的度數(shù)為（）A50B51C51.5D52.5【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；對頂角、鄰補(bǔ)角；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)【專題】計(jì)算題【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出B=25，由三角形的內(nèi)角和

12、定理求出BDE，根據(jù)平角的定義即可求出選項(xiàng)【解答】解：AC=CD=BD=BE，A=50，A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，B+DCB=CDA=50，B=25，B+EDB+DEB=180，BDE=BED=（18025）=77.5，CDE=180CDAEDB=1805077.5=52.5，故選D【點(diǎn)評】本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義等知識點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵2.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A三條高的交點(diǎn) B三條角平分線的交點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn) D三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【考點(diǎn)】線

13、段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【分析】根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等解答即可【解答】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D3. （2016山東省德州市3分）如圖，在ABC中，B=55，C=30，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則BAD的度數(shù)為（）A65B60C55D45【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到C=DAC，求得DAC=30，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到BAC=95，即可得到結(jié)論【解答】

14、解：由題意可得：MN是AC的垂直平分線，則AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCAD=65，故選A【點(diǎn)評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵4.如圖，在ABC中，ACB=90，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，則DE的長為（）A6 B5 C4 D3【考點(diǎn)】三角形中位線定理；線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】在RtACB中，根據(jù)勾股定理求得BC邊的長度，然后由三角形中位線定理知DE=BC【解答】解：在RtACB中，ACB=90，AC=8，AB=10，BC=6又DE垂直平分AC交

15、AB于點(diǎn)E，DE是ACB的中位線，DE=BC=3故選：D【點(diǎn)評】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半5. (2017哈爾濱)如圖，在ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DEBC，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，連接AF交DE于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A =B =C =D =【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出答案【解答】解：（A）DEBC，ADEABC，故A錯(cuò)誤；（B）DEBC，故B錯(cuò)誤；（C）DEBC，故C正確；（D）DEBC，AGEAFC，=，故D錯(cuò)誤；故選（C）二、填空題：6.

16、（2016青海西寧2分）如圖，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于點(diǎn)D，PC=4，則PD=2【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形【分析】作PEOA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ACP=AOB=30，由直角三角形中30的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE，即可求得PD【解答】解：作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在RtPCE中，PE=PC=4=2（在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半），PD=

17、PE=2，故答案是：27. (2017上海)如圖，已知ABCD，CD=2AB，AD、BC相交于點(diǎn)E，設(shè)=， =，那么向量用向量、表示為+2【分析】根據(jù)=+，只要求出即可解決問題【解答】解：ABCD，=，ED=2AE，=，=2，=+=+2【點(diǎn)評】本題考查平面向量、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則求向量，屬于基礎(chǔ)題8. (2017山東威海)如圖，ABC為等邊三角形，AB=2若P為ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PAB=ACP，則線段PB長度的最小值為【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出ABC=BAC=60，AC=AB=2，求出APC=120，當(dāng)PBAC時(shí)，PB長度最小，設(shè)垂足為D，此時(shí)PA=PC

18、，由等邊三角形的性質(zhì)得出AD=CD=AC=1，PAC=ACP=30，ABD=ABC=30，求出PD=ADtan30=AD=，BD=AD=，即可得出答案【解答】解：ABC是等邊三角形，ABC=BAC=60，AC=AB=2，PAB=ACP，PAC+ACP=60，APC=120，當(dāng)PBAC時(shí)，PB長度最小，設(shè)垂足為D，如圖所示：此時(shí)PA=PC，則AD=CD=AC=1，PAC=ACP=30，ABD=ABC=30，PD=ADtan30=AD=，BD=AD=，PB=BDPD=；故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握等邊三角形的性

19、質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵9. (2017山東東營)一數(shù)學(xué)興趣小組來到某公園，準(zhǔn)備測量一座塔的高度如圖，在A處測得塔頂?shù)难鼋菫?，在B處測得塔頂?shù)难鼋菫?，又測量出A、B兩點(diǎn)的距離為s米，則塔高為米【分析】在RtBCD中有BD=，在RtACD中，根據(jù)tanA=可得tan=，解之求出CD即可得【解答】解：在RtBCD中，tanCBD=，BD=，在RtACD中，tanA=，tan=，解得：CD=，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩直角三角形的公共邊利用三角函數(shù)建立方程求解三、解答題：10. (2017年湖南郴州)已知ABC中，ABC=ACB，點(diǎn)D，E分別為邊AB、

20、AC的中點(diǎn)，求證：BE=CD【分析】由ABC=ACB可得AB=AC，又點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)得到AD=AE，通過ABEACD，即可得到結(jié)果【解答】證明：ABC=ACB，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)AD=AE，在ABE與ACD中，ABEACD，BE=CD【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵11. (2017哈爾濱)已知：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，連接AE，BD交于點(diǎn)O，AE與DC交于點(diǎn)M，BD與AC交于點(diǎn)N（1）如圖1，求證：AE=BD；（2）如圖2，若AC=DC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫

21、出圖2中四對全等的直角三角形【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證ACEBCD，從而可知AE=BD；（2）根據(jù)條件即可判斷圖中的全等直角三角形；【解答】解：（1）ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，AC=BC，DC=EC，ACB+ACD=DCE+ACD，BCD=ACE，在ACE與BCD中，ACEBCD（SAS），AE=BD，（2）AC=DC，AC=CD=EC=CB，ACBDCE（SAS）；由（1）可知：AEC=BDC，EAC=DBCDOM=90，AEC=CAE=CBD，EMCBCN（ASA），CM=CN，DM=A

22、N，AONDOM（AAS），DE=AB，AO=DO，AOBDOE（HL）12. (2017杭州)如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AGBC于點(diǎn)G，AFDE于點(diǎn)F，EAF=GAC（1）求證：ADEABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值【分析】（1）由于AGBC，AFDE，所以AFE=AGC=90，從而可證明AED=ACB，進(jìn)而可證明ADEABC；（2）ADEABC，又易證EAFCAG，所以，從而可知【解答】解：（1）AGBC，AFDE，AFE=AGC=90，EAF=GAC，AED=ACB，EAD=BAC，ADEABC，（2）由（1）可知：ADEABC，=由（1）可知：AFE=AGC=90，EAF=GAC，EAFCAG，=【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定，本題屬于中等題型13. (2017山東東營)如圖，在等腰三角形ABC中，BAC=120，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使ADE=30（1）求證：ABDDCE；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于