1、第二節(jié) 二重積分的計算法,一 問題的提出 二 直角坐標計算二重積分利用 三 利用極坐標計算二重積分 四 小結(jié),按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限,然而，用定義來計算二重積分，一般情況 下是非常麻煩的.,那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是我 們今天所要研究的課題。下面介紹:,一、問題的提出,二、利用直角坐標計算二重積分,二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有 關(guān),為此, 先介紹： 1、積分域 D:,如果積分區(qū)域為：,X型,X型區(qū)域的特點：a、平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個； b、,（1）X-型域,（2）Y-型域：,Y型,Y型區(qū)域的特點：a、穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界

2、的交點不多于兩個。b、,2、X-型域下二重積分的計算: 由幾何意義，若,此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲邊梯形面積為：,(曲頂柱體的體積),則,注: 若 (x,y)0 仍然適用。,注意: 1）上式說明: 二重積分可化為二次定積分計算;,2）積分次序: X-型域 先Y后X;,3）積分限確定法: 域中一線插, 內(nèi)限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。,為方便，上式也常記為：,3、Y-型域下二重積分的計算： 同理：,Y型域下,于是,1）積分次序: Y-型域 ,先x后Y;,2）積分限確定法: “域中一線插”, 須用平行于X軸的射線 穿插區(qū)域 。,注意:,注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，關(guān)鍵

3、在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準確。,4、利用直系計算二重積分的步驟,（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點坐標；,（3）確定積分限，化為二次定積分；,（2）根據(jù)積分域類型, 確定積分次序；,（4）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果.,解：,X型,Y型,例2,解：,X-型,例3,解： （如圖）將D作Y型,5、若區(qū)域為組合域，如圖則：,6、如果積分區(qū)域既是X型， 又是Y型, 則有,解：,積分區(qū)域如圖,原式,解：,原式,例6,解：,先去掉絕對值符號，如圖,解,二重積分在直角坐標下的計算公式,（在積分中要正確選擇 積分次序）,Y型,X型,7.小結(jié),三 利用極坐標系計算二重積分,當一些二重積分的積

4、分區(qū)域D用極坐標表示比 較簡單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標 系下根本無法計算時，我們可以在極坐標系下考慮 其計算問題。,1 直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）,（1）面積元素變換為極系下：,（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：,（3）注意：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下 的二重積分需要進行“三換”：,2 極系下的二重積分化為二次積分,用兩條過極點的射線夾平面區(qū)域， 由兩射線的傾角得到其上下限,任意作過極點的半射線與平面區(qū)域相交， 由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。,將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。,（1）區(qū)域如圖1,具體地（如圖）,圖1,（2）區(qū)域如圖2,圖2,（3）區(qū)域如圖3,圖3,（4）區(qū)域如圖4,圖4,解,解,解,解,在極系下：,（如圖）,解,計算二重積分應該注意以下幾點：,其次，化二重積分為二次積分。,根據(jù)區(qū)域形狀和類型確