1、高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試教學(xué)案推理與證明2020-05-30一、考試說(shuō)明推理與證明合情推理與演繹推理B分析法和綜合法A反證法A二、基礎(chǔ)知識(shí)（認(rèn)真研讀教材）（一）推理：合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。歸納推理：由某類食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡(jiǎn)稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。類比推理：由兩類對(duì)象具有類似和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理

2、，簡(jiǎn)稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理?！叭握摗笔茄堇[推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般結(jié)論；小前提-所研究的特殊情況；結(jié) 論-根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。（二）證明直接證明綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Чā７治龇ㄒ话愕?，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理

3、、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2間接證明-反證法一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。3.數(shù)學(xué)歸納法一般的證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：證明當(dāng)取第一個(gè)值是命題成立；假設(shè)當(dāng)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。那么由就可以判定命題對(duì)從開(kāi)始所有的正整數(shù)都成立。注：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。注：證明時(shí)，兩個(gè)步驟，一個(gè)都不能少。其中，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步則是證明了遞推關(guān)系成立。，用歸

4、納法證明命題，格式很重要，通?？梢院?jiǎn)記為“兩步三結(jié)論”。兩步是指證明的兩步(1)(奠定遞推基礎(chǔ))和(2)(證明遞推關(guān)系)；三結(jié)論分別是指：步驟(1)中最后要指出當(dāng)n=n0時(shí)命題成立，步驟(2)最后要指出當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立，證明的最后要給出一個(gè)結(jié)論“根據(jù)(1)(2)可知，命題對(duì)任意nN*(nn0)都成立”。易錯(cuò)點(diǎn)分析：初始值取值是多少；第二步證明n=k+1時(shí)命題成立需要使用歸納假設(shè)；由n=k到n=k+1時(shí)，命題的變化(增減項(xiàng))，如： 從n=k到n=k+1時(shí)，實(shí)際增加的項(xiàng)是三、充分利用空間概念和題設(shè)信息探究可類比平幾中的有關(guān)結(jié)論。1平幾中，“垂直同一直線的兩直線必平行”，類比到空間為“垂直于同

5、一平面的兩直線必平行”和“垂直于同一直線的兩平面必平行”； 2 平幾中“夾在兩平行線間的平行線段相等”，類比到空間為“夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等”.3 等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為定值，拓展空間為，正三棱錐底面上的任一點(diǎn)到三個(gè)面的距離之和為定值 （即正三棱錐側(cè)面上的高，斜高）； 4 正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊距離之和為定值即正三角形的高；類比結(jié)論，正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面的距離之和為定值即為正四面體的高；5 正方形的內(nèi)切球和外接球的半徑比為1：；正方體的內(nèi)切球和外接球與棱相切的球的半徑比為 .；四、總結(jié)三角形與四面體類比的一些性質(zhì)（一）從等邊三角形到正四面體：三角形的性質(zhì)1.等

6、邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到三邊的距離之和相等，等于三角形的高。四面體猜想1.正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)P到四個(gè)面的距離之和相等，等于正四面體的高。（二）從直角三角形到直角四面體三角形性質(zhì)2：（勾股定理）設(shè)SAB的兩邊SA、SB互相垂直，則。四面體猜想2：設(shè)三棱錐SABC的三個(gè)側(cè)面SAB、SBC、SAC兩兩相互垂直，則三角形性質(zhì)3：（射影定理）設(shè)SAB的兩邊SA、SB互相垂直，點(diǎn)S在AC邊上的射影為H，則四面體猜想3：設(shè)三棱錐SABC的三個(gè)側(cè)面SAB、SBC、SAC兩兩相互垂直，點(diǎn)S在平面ABC上的射影為H，則三角形性質(zhì)4：設(shè)SAB的兩邊SA、SB互相垂直，點(diǎn)S在AC邊上的射影為H，則四面體猜想4：設(shè)三棱錐

7、SABC的三個(gè)側(cè)面SAB、SBC、SAC兩兩相互垂直，點(diǎn)S在平面ABC上的射影為H，則（三） 從任意三角形到任意四面體：三角形性質(zhì)5：過(guò)的底邊AB上任意一點(diǎn)O分別作OA1AC，OB1BC，分別交BC、AC于A1、B1，則為定值1四面體猜想5：過(guò)四面體VABC的底面ABC上任意一點(diǎn)O分別作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1、B1、 C1分別是所作直線與側(cè)面交點(diǎn)。則為定值1ABCB1C1B1PMN三角形性質(zhì)6：設(shè)、分別是的兩邊PA、PB上的點(diǎn)，則四面體猜想6：設(shè)、分別是四面體的三條側(cè)棱PA、PB、PC上的點(diǎn)，則 三角形的余弦定理的類比：三角形的余弦定理，拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫(xiě)出

8、斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。用空間概念和余弦定理. 其中為側(cè)面B1C1CB和側(cè)面C1CAB1所成的平面角. 如圖，P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱柱BB1上一點(diǎn)，用二面角的定義，作棱的直接面PMN，則直接面為三角形，易知三角形的三內(nèi)角分別為相鄰側(cè)面所成的平面角，三邊分別為三側(cè)面的平行四邊形側(cè)棱上的高，由余弦定理知，其中為側(cè)面B1C1CB和側(cè)面C1CAB1所成的平面角,注意到側(cè)棱相等和平行四邊形面積公式的特征,則有 .五、例1.在課本必修里面我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)了基本不等式：并且還知道此結(jié)論對(duì)三個(gè)正數(shù)、四個(gè)正數(shù)均成立，即， 。猜想，當(dāng)時(shí)，有怎樣的不等式

9、成立？例2.設(shè)在R上定義的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，試求歸納出的值。例3.觀察以下各等式：分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫(xiě)出能反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明。例4. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（1）試計(jì)算，并猜想的表達(dá)式;(2) 證明你的猜想，并求出的表達(dá)式。練習(xí)：1.從中，得出一般性結(jié)論是2. 已知函數(shù)，則=3.，經(jīng)計(jì)算的，推測(cè)當(dāng)時(shí)，有_.（）4.已知：，通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題：5.考察下列一組不等式：.將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是6.觀察下列不等式：， ，由此猜測(cè)第個(gè)不等式為 （）7.在

10、中，若則三角形ABC的外接圓半徑，把此結(jié)論類比到空間，寫(xiě)出類似的結(jié)論 。（取空間三條側(cè)棱互相垂直的四面體，三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為，則此三棱錐外接球的半徑是。）8.已知命題：平面上一矩形的對(duì)角線與邊和 所成角分別為，則。若把它推廣到空間長(zhǎng)方體中，試寫(xiě)出相應(yīng)的命題形式：_（長(zhǎng)方體中，對(duì)角線與棱所成的角分別為，則，。或是：長(zhǎng)方體中，對(duì)角線與平面所成的角分別為，則，?；蚴牵洪L(zhǎng)方體中，對(duì)角面與平面所成的二面角分別為，則。）9.若AB是過(guò)二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點(diǎn)，且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，則對(duì)于橢圓有。類似地，對(duì)于雙曲線有= 10.將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三

11、棱錐的側(cè)面和底面分別叫為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過(guò)三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均稱為斜面的“中面”請(qǐng)仿照直角三角形以下性質(zhì)：（1）斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半；（2）兩條直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方；（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1寫(xiě)出直角三棱錐相應(yīng)性質(zhì)（至少一條）：_答案：(1) 斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；（2）三個(gè)直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；（3）斜面與三個(gè)直角面所成二面角的余弦平方和等于1. 11通過(guò)圓與球的類比，由“半徑為的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積為最大，最大值為”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為（半徑為的球的內(nèi)接六面體中以正方體的體

12、積為最大，最大值為）12.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列的一些性質(zhì)，各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的兩條棱的夾角相等；各個(gè)面都是全等的正三角形， 相鄰兩個(gè)面所成的二面角相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任何兩條棱的夾角相等你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?2 13類比平面上的命題（m），給出在空間中的類似命題（n）的猜想（m）如果的三條邊上的高分別為和，內(nèi)任意一點(diǎn)到三條邊的距離分別為，那么（n）_（從四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別向所對(duì)的面作垂線，垂線長(zhǎng)分別為和為四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，從點(diǎn)向四個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的面作垂線，垂線長(zhǎng)分別為和，那么類比所得的關(guān)系式是）14.對(duì)于集合N=1,

13、2, 3, n及其它的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開(kāi)始交替地減、加后繼的數(shù)。例如集合1, 2, 4, 6, 9的交替和是964216，集合5的交替和為5。當(dāng)集合N中的n=2時(shí)，集合N=1, 2的所有非空子集為1，2，1, 2，則它的“交替和”的總和S2=1+2+(21)=4，請(qǐng)你嘗試對(duì)n=3、n=4的情況，計(jì)算它的“交替和”的總和S3、S4，并根據(jù)其結(jié)果猜測(cè)集合N=1, 2, 3, n的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和Sn= n .2n1 。(不必給出證明)15.在公差為的等差數(shù)列中，若是的前項(xiàng)和，則數(shù)列也成等差數(shù)列，且公差為，類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為的等比數(shù)列中，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則有16.在數(shù)列中，在數(shù)列中，則_（的奇偶性為：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，從而分別為： ，1，1，1，1，周期為4，所以，）17.若為的各位數(shù)字之和，如：，則;記1118.平面向量也叫二維向量，二維向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算可以推廣到n(n3)維向量，n維向量可用（1，2，3，4，,n）表示.設(shè)a =( a 1, a 2, a 3, a 4，, a n)，b=（b1, b2, b3, b4,bn），規(guī)定向量a與b夾角的余弦為. 當(dāng)a =(1, 1,1,1,1)