1、第三章 應(yīng)力和應(yīng)變,3.1 應(yīng)力分析 3.2 應(yīng)變分析,3.1 應(yīng)力分析,一、應(yīng)力張量及其分解,(1) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),通過(guò)一點(diǎn)P 的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合, 稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),x面的應(yīng)力：,y面的應(yīng)力：,z面的應(yīng)力：,(2) 應(yīng)力張量,一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)可由九個(gè)應(yīng)力分量來(lái)描述，這些分量構(gòu)成 一個(gè)二階對(duì)稱張量，稱為應(yīng)力張量。,上式中左邊是工程力學(xué)的習(xí)慣寫(xiě)法，右邊是彈性力學(xué)的習(xí)慣寫(xiě)法,定義：,寫(xiě)法：,采用張量下標(biāo)記號(hào)的應(yīng)力寫(xiě)法,把坐標(biāo)軸x、y、z分別 用x1、x2、x3表示， 或簡(jiǎn)記為xj (j=1,2,3),(3) 斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系,在xj坐標(biāo)系中，考慮一個(gè)法線為N的斜平面。,N

2、是單位向量，其方向作弦為,則這個(gè)面上的應(yīng)力向量SN的三個(gè)分量與應(yīng)力張量 之間的關(guān)系,采用張量下標(biāo)記號(hào)，可簡(jiǎn)寫(xiě)成,說(shuō)明：,i）重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)叫做求和下標(biāo)，相當(dāng)于 這稱為求和約定；,ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)i叫做自由下標(biāo)，可取i=1,2,3；,(4) 應(yīng)力張量的分解,1.靜水“壓力”：,在靜水壓力作用下，應(yīng)力應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會(huì)屈 服、不會(huì)產(chǎn)生塑性變形。,應(yīng)力,不產(chǎn)生塑性變形的部分,產(chǎn)生塑性變形的部分,反映靜水“壓力”：,2.平均正應(yīng)力：,3.應(yīng)力張量的分解：,應(yīng)力張量可作如下分解：,用張量符號(hào)表示：,其中：,或,應(yīng)力球張量,單位球張量,應(yīng)力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應(yīng)力 而沒(méi)有剪應(yīng)

3、力的狀態(tài)。,應(yīng)力偏張量,應(yīng)力偏張量,與單元體的體積變形有關(guān),說(shuō)明：,材料進(jìn)入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的 。應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學(xué)中有重要意義。,二、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量,（1）主應(yīng)力,1. 一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向,若某一斜面上 ，則該斜面上的正應(yīng)力 稱為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力 ；,（2）應(yīng)力主向,主應(yīng)力 所在的平面 稱為主平面；,主應(yīng)力 所在平面的法線方向 稱為應(yīng)力主向；,根據(jù)主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為 ，則它在各 坐標(biāo)軸上的投影為,代入（3-3）式,應(yīng)有,或即,將這個(gè)行列式展開(kāi)得到,其中,2. 應(yīng)力張量的

4、不變量,當(dāng)坐標(biāo)軸方向改變時(shí),應(yīng)力張量的分量 均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標(biāo)軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數(shù) 的值與坐標(biāo)軸的取向無(wú)關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個(gè)不變量。,可以證明方程（3-9）有三個(gè)實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力,當(dāng)用主應(yīng)力來(lái)表示不變量時(shí),應(yīng)力偏張量Sij顯然也是一種應(yīng)力狀態(tài)即J1=0的應(yīng)力狀態(tài)。,不難證明，它的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值 （稱為主偏應(yīng)力）為：,應(yīng)力偏張量也有三個(gè)不變量：,其中應(yīng)力偏張量的第二不變量 今后用得最多。,再介紹它的其他幾個(gè)表達(dá)式：,在第四章中將看到， 在屈服條件中起重要作用。至于 可以注意它有這樣的特點(diǎn)：不管 的分量多么大，只要有一個(gè)主偏應(yīng)力為零，就

5、有 。這暗示 在屈服條件中不可能起決定作用。,說(shuō)明：,三、等斜面上的應(yīng)力,等斜面：通過(guò)某點(diǎn)做平面 ，該平面的法線與三個(gè)應(yīng)力主軸夾角相等,八面體面： 滿足（3-20）式的面共有八個(gè)，構(gòu)成一個(gè)八面體，如圖所示。,等斜面常也被叫做八面體面。,若八面體面上的應(yīng)力向量用F8表示，則按（3-3）式有,設(shè)在這一點(diǎn)取 坐標(biāo)軸與三個(gè)應(yīng)力主軸一致， 則等斜面法線的三個(gè)方向余弦為,八面體面素上的正應(yīng)力為,八面體面素上的剪應(yīng)力為,說(shuō)明：,八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個(gè)分量：,i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力 ，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說(shuō)與 有關(guān)；,ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力 ，與應(yīng)力 偏張量的第二不

6、變量 有關(guān)。,四、等效應(yīng)力,1.定義：,如果假定 相等的兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的力學(xué)效應(yīng)相同，那么 對(duì)一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義：, 在塑性力學(xué)中稱為應(yīng)力強(qiáng)度或等效應(yīng)力,注意：這里的“強(qiáng)度”或“等效”都是在 意義下衡量的,2.等效應(yīng)力 的特點(diǎn),與空間坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)；,各正應(yīng)力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個(gè)靜水應(yīng)力 狀態(tài)）時(shí) 數(shù)值不變，即與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)；,全反號(hào)時(shí) 的數(shù)值不變。,3. 空間,空間指的是以 的九個(gè)分量為坐標(biāo)軸的九維偏應(yīng)力空間；,標(biāo)志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng) 力）狀態(tài)的距離或差別的大小。,聯(lián)系到（3-17）式，,不難看出 代表 空間的中的廣義距離,4. 等效剪應(yīng)力,聯(lián)系

7、到（3-19）式，可知,或,也可以定義 ,剪應(yīng)力強(qiáng)度或等效剪應(yīng)力:,5. 八面體剪應(yīng)力、等效應(yīng)力 和等效剪應(yīng)力之間的換算關(guān)系為：,說(shuō)明：,這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（ 在 意義下等效）的單向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對(duì)不同應(yīng)力 狀態(tài)的“強(qiáng)度”作出定量的描述和比較。,五、三向Mohr圓和Lode應(yīng)力參數(shù),在 平面上 三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)， 可作出三個(gè)Mohr圓，如圖3-3. 其半徑為：,稱為主剪應(yīng)力,最大剪應(yīng)力,1.三向Mohr圓,2.Lode應(yīng)力參數(shù),分析,由圖3-4可見(jiàn)，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上 疊加一個(gè)靜水壓力，其效果僅使三 個(gè) Mohr圓一起沿 軸平移一個(gè)距離 ，該距

8、離等于所疊加的靜水應(yīng)力， 并不改變Mohr圓的大小。,結(jié)論,軸的位置與屈服及塑性變形無(wú)關(guān)， 決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓 本身的大小。,若將 軸平移到 ，并使,則：,移軸后的三向Mohr圓正是描述應(yīng)力 偏張量的三向Mohr圓，如圖所示。,M點(diǎn)是P1P2線段的中點(diǎn),Lode在1925年引進(jìn)的參數(shù),Lode應(yīng)力參數(shù),當(dāng)P2點(diǎn)由P3移向P1時(shí)， 的變化范圍是：,下面三個(gè)特殊情況是常用到的：,i)單向拉伸： ii)純剪切： iii)單向壓縮：,只由P1、P2、P3三點(diǎn)的相對(duì)位置決定而與 坐標(biāo)原點(diǎn) 的選擇無(wú)關(guān)，故 是描述應(yīng)力偏張量的一個(gè)特征值。,綜上所述，OO表示了一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分；而以

9、O為坐標(biāo)原點(diǎn)的三向Mohr圓（由 和 所確定）則表示 了應(yīng)力的偏張量部分。,六、應(yīng)力空間和主應(yīng)力空間,1. 應(yīng)力空間,一點(diǎn)的應(yīng)力張量有九個(gè)應(yīng)力分量，以它們?yōu)榫艂€(gè)坐標(biāo)軸 就得到假想的九維應(yīng)力空間。,考慮到九個(gè)應(yīng)力分量中只有六個(gè)是獨(dú)立的，所以又可構(gòu) 成一個(gè)六維應(yīng)力空間來(lái)描述應(yīng)力狀態(tài)。,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用九維或六維應(yīng)力空間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。,2.主 應(yīng)力空間,（Haigh-Westergaard空間）,它是以 為坐標(biāo)軸的假想的三維空間，這個(gè)空間中的一個(gè)點(diǎn)，就確定了用主應(yīng)力 所表示的一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。,2.主 應(yīng)力空間的性質(zhì),L直線：主應(yīng)力空間中過(guò)原點(diǎn)并坐標(biāo)軸成等角的直線。,其方程為 顯然，L直 線上的

10、點(diǎn)代表物體中承受靜水應(yīng) 力的點(diǎn)的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài) 將不產(chǎn)生塑性變形。,平面：主應(yīng)力空間中過(guò)原點(diǎn)而與L直線垂直的平面。,其方程為 由于 平面上任一點(diǎn)的平均正應(yīng)力為零，所以 平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。,主應(yīng)力空間中任意一點(diǎn)P所確定的向量 總可以分解為：,這樣任意應(yīng)力狀態(tài)就被分解為兩部分， 分別與應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量部分 對(duì)應(yīng)。,小結(jié),物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用應(yīng)力張量描述，它又可分解為應(yīng)力 球張量和應(yīng)力偏張量?jī)蓚€(gè)部分。,塑性變形只與應(yīng)力偏張量有關(guān)。,三向Mohr應(yīng)力圓和主應(yīng)力空間為應(yīng)力張量的分解提供了幾何 形象和數(shù)學(xué)工具。,這樣取 的目的是使 構(gòu)成一個(gè)二階對(duì)稱張量

11、， 即 應(yīng)變張量。,3.2 應(yīng)變分析,一、位移與應(yīng)變的關(guān)系,1. Cauchy公式,其中 與工程剪應(yīng)變相差一半，即,張量記法:,以 記 ,以 記 。,記號(hào)約定：,以下標(biāo)之間的逗號(hào)表示微商,如,Cauchy公式的張量形式：,（3-29）,（3-29）式是在小變形條件建立的。,二、應(yīng)變張量的分解,應(yīng)變張量也可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即,（3-31）,應(yīng)變球張量,它與彈性的體積改變部分有關(guān)；,其中稱 為平均正應(yīng)變,應(yīng)變偏張量,只反映變形中形狀改變的那部分。,二、應(yīng)變張量的不變量,應(yīng)變偏張量的三個(gè)不變量用 表示 ：,其中 分別是主應(yīng)變和應(yīng)變偏張量的主值。,應(yīng)變偏張量的分解：,三、等效應(yīng)變和Lode應(yīng)變參數(shù),等斜面（八面體面）上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變：,等效應(yīng)變 和等效剪應(yīng)變,Lode應(yīng)變