1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué),授課人：田立法 教材：張曉峒計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)（第3版） 授課班級：金融0905、0906，信用0901 公共信箱：sd_jiliang_ tianlifa,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué),天津商業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,天津商業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,2011年10月,第四章 非線性回歸模型的線性化,第一節(jié)：變量間的非線性關(guān)系 第二節(jié)：線性化方法 第三節(jié)：案例分析,第一節(jié) 變量間的非線性關(guān)系,1. 線性回歸模型與非線性回歸模型的形式有何不同？,線性模型 非線性模型,2. 非線性回歸模型可分為幾類？ 第一類：非標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型； 第二類：可線性化的非線性回歸模型； 第三類：不可線性化的非線性回歸模型。,第一節(jié) 變量間的非線

2、性關(guān)系,第一類：非標(biāo)準(zhǔn)的線性化模型 Y與解釋變量 之間不存在線性關(guān)系，但與未知參數(shù) 之間存在線性關(guān)系。 舉例：總成本函數(shù)模型,第一節(jié) 變量間的非線性關(guān)系,第二類：可線性化的非線性回歸模型 此類模型可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型。如，柯布道格拉斯（Cobb-Dauglas）生產(chǎn)函數(shù)模型，簡稱C-D生產(chǎn)函數(shù)模型： 其中，Y 表示產(chǎn)出量，K 表示資金投入量，L 表示勞動投入量，A 為效率系數(shù)， 和 非別為K 和 L的產(chǎn)出彈性，A、 和 均為待估未知參數(shù)。 取對數(shù)后：,第一節(jié) 變量間的非線性關(guān)系,第三類：不可線性化的非線性回歸模型 有些回歸模型無論通過什么樣的變換，都無法使其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸

3、模型，這類回歸模型被稱為不可線性化的非線性回歸模型。如：,第二節(jié) 線性化方法,1. 非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法 變量替換法 變量替換公式為 則,第二節(jié) 線性化方法,（1）多項(xiàng)式函數(shù)模型 令 則 例4.1 假設(shè)某企業(yè)在15年中每年的產(chǎn)量和總成本的 統(tǒng)計(jì)資料如表4.1所示，試估計(jì)該企業(yè)的總成 本函數(shù)模型。 解：詳見教材。,第二節(jié) 線性化方法,（2）雙曲函數(shù)模型 令 則，化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型,第二節(jié) 線性化方法,（3）對數(shù)函數(shù)模型 令 則 （4）S-型曲線模型 取倒數(shù) 令 則,第二節(jié) 線性化方法,2. 可線性化的非線性回歸模型的線性化方法 （1）指數(shù)函數(shù)模型 取對數(shù) 令 則 （2）冪函數(shù)模型,

4、第二節(jié) 線性化方法,例 4.2 對于柯布道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù) 其中，Y 表示產(chǎn)出量，K 表示資金投入量，L表示勞動投入量，u 表示隨機(jī)誤差項(xiàng)，A、 、 為未知參數(shù)。試?yán)锰旖蚴?980年1996年間的有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料，估計(jì)天津市全社會的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。 解：詳見教材。,第二節(jié) 線性化方法,3. 不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法 迭代線性化法 第一步：根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論和歷史統(tǒng)計(jì)資料，選定 作為未知參數(shù) 的一組初始估計(jì)值。接著將模 型的非線性函數(shù) 在這組初始估計(jì)值附近作泰勒級數(shù)展 開，得 舍掉二階和二階以上的高階項(xiàng)，得：,第二節(jié) 線性化方法,3. 不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)

5、方法 移項(xiàng)整理后得： 令 得,3. 不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法 第二步：對變換好的標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型應(yīng)用普通最小二乘法 估計(jì)未知參數(shù)。由給定的樣本觀察值 和 初始估計(jì)值 計(jì)算出一組新的樣本觀測值 。利用這組新的樣本觀測值， 就可以得到線性回歸模型的一組新的最小二乘估計(jì)量。 第三步：將非線性函數(shù) 在這組新的參數(shù)估計(jì)值 附近作泰勒級數(shù)展開，線性化后得到一個新的標(biāo)準(zhǔn)線性回 歸模型。對這個新的標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型再應(yīng)用普通最小二 乘法，又得到一組新的最小二乘估計(jì)量 。,第二節(jié) 線性化方法,3. 不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法 重復(fù)這一過程：一直到參數(shù)估計(jì)值滿足下式為止， 即對于預(yù)

6、先給定的任意小的正數(shù) ，不等式成立。 例 4.3 寫出利用迭代線性化法估計(jì)下面的非線性消費(fèi)函數(shù)模型的具體步驟。 其中，C 表示總消費(fèi)，Y 表示可支配收入。,第二節(jié) 線性化方法,第二節(jié) 線性化方法,3. 不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法 解：若C 與 Y 之間存在線性關(guān)系，則 ，因此可將參數(shù)的初始估計(jì)值取為 。將非線性消費(fèi)函數(shù)在這組初始估計(jì)值附近作泰勒級數(shù)展開，然后取線性近似。 代入消費(fèi)函數(shù)模型，得 移項(xiàng)得 令 得,第二節(jié) 線性化方法,3. 不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法 解： 將參數(shù)初始估計(jì)值 換成 重復(fù)上述步驟，又得到一組新的最小二乘估計(jì)值 直至估計(jì)值達(dá)到預(yù)定的精度為止

7、。 美國1947年第1季度1995年第2季度的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，經(jīng)過22次迭代后達(dá)到收斂，得到的消費(fèi)函數(shù)的估計(jì)模型為,第三節(jié) 案例分析,例4.4 兩要素不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計(jì) 解：兩要素不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，簡稱CES生產(chǎn)函數(shù)，是由Arrow、Chenery、Mihas和Solow等人于1961年提出，其一 般形式如下： 其中 A效益系數(shù)，是廣義技術(shù)進(jìn)步水平的反映，應(yīng)滿足A0; 分配系數(shù)，應(yīng)滿足 ； 替代系數(shù)，應(yīng)滿足 ； m規(guī)模報(bào)酬參數(shù)，m1表示規(guī)模報(bào)酬遞增。,第三節(jié) 案例分析,例4.4 兩要素不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計(jì) 解：,1928年 Cobb，Dauglas

8、C-D生產(chǎn)函數(shù)1937年 Dauglas，Durand C-D生產(chǎn)函數(shù)的改進(jìn)型1957年 Solow 含體現(xiàn)技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)1960年 Solow 兩要素CES生產(chǎn)函數(shù)1961年 Arrow 二級CES生產(chǎn)函數(shù)1967年 Sato VES生產(chǎn)函數(shù)1968年 Sato，Hoffman 邊界生產(chǎn)函數(shù)1971年 Revanker VES生產(chǎn)函數(shù)1973年 Christensan，Jorgenson 超越對數(shù)生產(chǎn)函數(shù)1980年 三級CES生產(chǎn)函數(shù),第三節(jié) 案例分析,例4.4 兩要素不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計(jì) 解： CES生產(chǎn)函數(shù)是一個關(guān)于四參數(shù) A、 、 、m 的非線性函數(shù)，而且無法通過簡單的變換實(shí)現(xiàn)線性化。教材介紹了一種由Kementa于1967年提出的線性化估計(jì)方法。首先，對函數(shù)兩邊取對數(shù)，得： 設(shè),第三節(jié) 案例分析,例4.4 兩要素不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計(jì) 解：將 在 處作泰勒級數(shù)展開，取0階、1階和2階項(xiàng)， 得 將上式代入 得,第三節(jié) 案例分析,例4.4 兩要素不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計(jì) 解： 設(shè) 為被解釋變量， 為解 釋變量， 為未 知參數(shù)，則