1、第三章圓回顧與思考,知識歸納,1確定圓的要素 圓心確定其位置，半徑確定其大小只有圓心沒有半徑，雖圓的位置固定，但大小不定，因而圓不確定；只有半徑而沒有圓心，雖圓的大小固定，但圓心的位置不定，因而圓也不確定；只有圓心和半徑都固定，圓才被唯一確定 2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 (1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi),數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,點(diǎn)在圓外，即這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離 半徑； 點(diǎn)在圓上，即這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離 半徑； 點(diǎn)在圓內(nèi)，即這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離 半徑 判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r來比較得到 (2)設(shè)O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有 dr點(diǎn)P在圓內(nèi)； dr點(diǎn)

2、P在圓上；,大于,等于,小于,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,dr點(diǎn)P在圓外 點(diǎn)撥 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過來，也可以通過這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 3垂徑定理 (1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的. 注意 條件中的“弦”可以是直徑；結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弧,弧,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 4圓的旋轉(zhuǎn)不變性 (1)中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心為 . (2)探究圓中角的一些性質(zhì) 定理1：在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦

3、相等 定理2：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、 中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等,圓心,兩條弦,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,5圓周角與圓心角的關(guān)系 (1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，且角的兩邊還與圓相交的角叫做圓周角 注意 圓周角有兩個(gè)特征：角的頂點(diǎn)在圓上，兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦 (2)圓周角與圓心角的關(guān)系：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 . (3)圓周角的性質(zhì) 性質(zhì)：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角 .,一半,相等,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是 . 注意 “同弧”指“在一個(gè)圓中的同一段弧”；“等弧”指“在同圓或等圓中

4、相等的弧”；“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦” 6確定圓的條件 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 7三角形的外接圓,直徑,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的 . 8直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離,外心,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,0,1,2,dr,dr,dr,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,易錯點(diǎn) 將圓心到直線上某一點(diǎn)的距離看成是圓心到直線的距離 9圓的切線的性質(zhì)及判定 性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 判定：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線 10三角形的內(nèi)切圓,數(shù)學(xué)新課標(biāo)

5、（BS）,和三角形三邊都相切的圓可以作出一個(gè)，并且只能作出一個(gè)，這個(gè)圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的 . 注意 對一個(gè)確定的三角形來說，其內(nèi)切圓有且只有一個(gè)，其內(nèi)心也有且只有一個(gè)：內(nèi)心就是內(nèi)切圓的圓心 11圓與圓的位置關(guān)系 在同一平面內(nèi)兩圓作相對運(yùn)動，可以得到下面五種位置關(guān)系，其中R和r為兩圓半徑(Rr)，d為圓心距.,內(nèi)心,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,0,dRr,1,dRr,2,dRr,1,dRr,0,0dRr,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,13圓錐的側(cè)面積 (1)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè) . (2)如果圓錐母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半

6、徑為，扇形的弧長為 . (3)圓錐側(cè)面積為 . 點(diǎn)撥 圓錐的側(cè)面展開圖的形狀是扇形，它的半徑等于圓錐的母線長，它的弧長是圓錐底面圓的周長,扇形,l,2r,rl,確定圓的條件,例12010河北 如圖X34，在55正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是() A點(diǎn)P B點(diǎn)Q C點(diǎn)R D點(diǎn)M,B,解析 B圓心既在AB的中垂線上又在BC的中垂線上，由圖可以看出圓心應(yīng)該是點(diǎn)Q.,方法技巧 過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)， 只需由兩條線段的垂直平分線確定圓心即可，沒有必要作出第三條線段的垂直平分線事實(shí)上，三條垂直平分線交于同一點(diǎn),垂徑定理及其推論,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,例2如圖

7、X35，AB是O的弦，半徑OCAB于D點(diǎn)，且AB6 cm，OD4 cm，則DC的長為() A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm,D,解析 D連接AO，因?yàn)镺CAB，所以ADBD3 cm，因?yàn)镺D4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO5 cm， 所以O(shè)C5 cm，所以DC1 cm.,方法技巧 (1)垂徑定理是根據(jù)圓的對稱性推導(dǎo)出來的，該定理及其推論是證明線段相等、垂直關(guān)系、弧相等的重要依據(jù)利用垂徑定理常作“垂直于弦的直徑”輔助線(往往又只是作圓心到弦的垂線段，如本例)； (2)垂徑定理常與勾股定理結(jié)合在一起，進(jìn)行有關(guān)圓的半徑、圓心到弦的距離、弦長等數(shù)量的計(jì)算這些量之

8、間的關(guān)系是r2d22(其中r為圓半徑，d為圓心到弦的距離，a為弦長),圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,例3如圖X36，O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若A30，APD70，則B等于() A30 B35 C40 D50,C,解析 C由三角形的外角求得C40，所以BC40.,圓心角與圓周角,例4如圖X37，點(diǎn)A，B，C在O上，ABCO，B22，則A_.,44,解析 由同弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍，得O2B44，又因?yàn)锳BCO，所以AO44.,方法技巧 圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實(shí)現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了

9、有力的工具和方法。當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解決問題的重要思路在證明有關(guān)問題中注意90的圓周角的構(gòu)造,與圓有關(guān)的開放性問題,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,例5如圖X38，在邊長為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點(diǎn)，延長AP交圓于點(diǎn)E,連接ED. (1)E_度； (2)寫出圖中現(xiàn)有的一對不全等的相似三角形，并說明理由； (3)求弦DE的長,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,圓與圓的位置關(guān)系的判別,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,例6O1的半徑為3 cm，O2的半徑為5 cm，圓心距O1O22 cm，兩圓的位置關(guān)系是() A外切B相交 C內(nèi)切 D內(nèi)含,C,解析 C圓心距O1O2 2 cm是兩圓

10、的半徑之差，所以兩圓內(nèi)切,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,計(jì)算扇形面積,C,計(jì)算弧長,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,例8如圖X39，已知正方形的邊長為2 cm，以對角的兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心，2 cm長為半徑畫弧，則所得到的兩條弧長度之和為_cm(結(jié)果保留),2,解析 兩段弧長的和是以2 cm為半徑的半圓的弧長 即222.,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,圓的切線性質(zhì),例9如圖X310，在RtABC中，ABC90，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交BC于E. (1)求證：DEEC； (2)若tanC ，DE2，求AD的長,解析 連接BD，則在RtBCD中，BEDE，利用角的互余證明CEDC.,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,解：(1)證

11、明：連接BD， AB為直徑，ABC90 BE切O于點(diǎn)B. 又因?yàn)镈E切O于點(diǎn)D， 所以DEBE， EBDEDB. ADB90， EBDC90 BDECDE90， CEDC，DECE，CEBE. (2)因?yàn)镈E2，DEBC，所以BC4.,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,圓的切線的判定方法,例10如圖X311，已知RtABC，ABC90， 以直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD. (1)若AD3，BD4，求邊BC的長； (2)取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與O相切,解析 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要證明ODDE就能說明ED與O相切，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到等邊轉(zhuǎn)化為等角，進(jìn)而算出ODE是直角,數(shù)學(xué)新課標(biāo)（BS）,圓錐面積問題,例11如圖X312，已知RtABC的斜邊AB13 cm，一條直角邊AC5 cm，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個(gè)幾體求