1、一、主要內(nèi)容,二、典型例題,曲線積分與曲面積分習(xí)題課,（一）曲線積分與曲面積分,（二）各種積分之間的聯(lián)系,（三）場(chǎng)論初步,一、主要內(nèi)容,曲線積分,曲面積分,對(duì)面積的 曲面積分,對(duì)坐標(biāo)的 曲面積分,對(duì)弧長(zhǎng)的 曲線積分,對(duì)坐標(biāo)的 曲線積分,定義,計(jì)算,定義,計(jì)算,（一）曲線積分與曲面積分,定積分,曲線積分,重積分,曲面積分,計(jì)算,計(jì)算,計(jì)算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各種積分之間的聯(lián)系,積分概念的聯(lián)系,定積分,二重積分,曲面積分,曲線積分,三重積分,曲線積分,計(jì)算上的聯(lián)系,其中,理論上的聯(lián)系,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓-萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系

2、,格林公式,3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系,高斯公式,4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系,斯托克斯公式,Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系,推廣,推廣,梯度,通量,旋度,環(huán)流量,散度,（三）場(chǎng)論初步,思路:,閉合,非閉,閉合,非閉,補(bǔ)充曲線或用公式,二、典型例題,解,解,(如下圖),曲面面積的計(jì)算法,曲頂柱體的表面積,如圖曲頂柱體，,解,由對(duì)稱性,例,解,利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,例,解,利用高斯公式,解,(如下圖),測(cè)驗(yàn)題,測(cè)驗(yàn)題答案,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),一 般 項(xiàng) 級(jí) 數(shù),正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù),冪級(jí)數(shù),三角級(jí)數(shù),收 斂 半 徑 R,泰勒展開(kāi)式,數(shù)或函數(shù),函 數(shù),數(shù),任 意

3、項(xiàng) 級(jí) 數(shù),傅氏展開(kāi)式,傅氏級(jí)數(shù),泰勒級(jí)數(shù),滿足狄 氏條件,一、主要內(nèi)容,1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的部分和,定義,級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散,性質(zhì)1: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.,性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.,性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.,性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和.,級(jí)數(shù)收斂的必要條件:,收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,定義,2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,審斂法,(1) 比較審斂法,(2) 比較審斂法的極限形式,定義 正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).,3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).,4、

4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),(1) 定義,(2) 收斂點(diǎn)與收斂域,(3) 和函數(shù),(1) 定義,6、冪級(jí)數(shù),(2) 收斂性,推論,定義: 正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.,冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.,a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):,加減法,(其中,(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,乘法,(其中,除法,b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):,7、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,(1) 定義,(2) 充要條件,(3) 唯一性,(3) 展開(kāi)方法,a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法),步驟:,b.間接法,根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式, 通過(guò)變量代換, 四則運(yùn)算, 恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式.,(4) 常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式,(5) 應(yīng)用,a.近似計(jì)算,b.歐拉公式,(1) 三角函數(shù)系,三角函數(shù)系,8、傅里葉級(jí)數(shù),(2) 傅里葉級(jí)數(shù),定義,三角級(jí)數(shù),其中,稱為傅里葉級(jí)數(shù).,(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理),(4) 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),奇延拓:,(5) 周期的延拓,偶延拓:,二、典型例題,例1,解,根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，,原級(jí)數(shù)發(fā)散,解,根據(jù)比較判別法，,原級(jí)數(shù)收斂,解,從而有,原級(jí)數(shù)收斂；,原級(jí)數(shù)發(fā)散；,原級(jí)數(shù)也發(fā)散,例,解,即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,由萊布尼茨定理：,所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)