1、COMSOL中弱解形式的應(yīng)用,等效積分形式和等效積分弱形式（虛位移原理）,微分方程 域內(nèi) 邊界上 等效積分形式 域內(nèi) 邊界上 等效積分弱形式,COMSOL PDE模式,可用于標(biāo)量方程或系統(tǒng) 注意：系數(shù)可能會變成更高階算子 系數(shù)形式 系數(shù)對應(yīng)于常見的物理參數(shù) (例如，擴散、對流等) 通式 很靈活和緊湊 弱形式 作為PDE的基礎(chǔ)的PDE形式 積分形式提供更強大的靈活性 (例如，非標(biāo)準(zhǔn)化邊界條件，邊界方程耦合等) Lagrange算子顯式求解 與通式和系數(shù)形式相比，很少被采用,基于弱解形式的方程式系統(tǒng),作為PDE的基礎(chǔ)的一種PDE形式 應(yīng)用更加靈活（例如，非標(biāo)準(zhǔn)化邊界條件，邊界方程耦合等） 形式更加

2、緊湊 對變量的連續(xù)性要求較低 Lagrange算子顯式求解 適用范圍更廣泛 適于求解非線性多物理場問題,系數(shù)形式,例如：Poisson方程,域內(nèi),邊界上,域內(nèi),子域邊界上,隱含 c=f=h=1 和所有其他系數(shù)為 0。,系數(shù)形式,質(zhì)量,阻尼質(zhì)量,擴散,對流,源,對流,吸收,源,質(zhì)量,阻尼質(zhì)量,彈性力,初始/熱應(yīng)力,慣性力 (重力),系數(shù)形式，波動方程,密度,阻尼系數(shù),應(yīng)力,剛性，“彈簧常數(shù)”,堆積/儲存,擴散,對流,源,對流,吸收,源,系數(shù)形式，輸送擴散方程,系數(shù)形式，穩(wěn)態(tài)方程,擴散,Helmholtz項,源,Helmholtz 方程：,系數(shù)形式，頻率響應(yīng)波動方程,波數(shù),波長,通式更簡練的公式,

3、域內(nèi) 邊界上 Poisson方程相應(yīng)的通式為 其他系數(shù)為 0,弱形式 (靜態(tài)),通式 乘以試函數(shù) v 并積分 左側(cè)分部積分 重排 記住對于Poisson方程： =-ux -uy, F=1, R=u (u 約束為 0) 在“弱”編輯框中輸入上面的求解域積分-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*F 在邊界上，設(shè)置約束：u,W,W,瞬態(tài)弱形式，例子,通式 乘以試函數(shù) v 并積分 包含“del” 表達(dá)式的分部積分 重排 對于Poisson方程：=-ux -uy, F=1, R=u (u 約束為 0) 在“weak”編輯框中輸入上面的積分式：-test(ux)*ux - te

4、st(uy)*uy + test(u)*F da*test(u)*ut邊界上設(shè)置約束：u,案例：輸送和表面反應(yīng),在不同維度耦合物理場 (唯一的) 輸送 2D + 吸附 1D (完全耦合) 弱形式, 邊界模式 (PDE),控制方程,耦合：,1D 吸附,2D 輸送,弱形式PDE，邊界,Ds*(-test(csTx)*csTx-test(csTy)*csTy)+test(cs)*(react_surf-cst),網(wǎng)格劃分 (局部精細(xì)化),結(jié)果,體積濃度 c,表面吸附率 (cs),彈性靜力學(xué)的弱形式,PDE方程 乘上試函數(shù)并積分 分部積分 整理得到,域內(nèi),邊界,一般性問題的弱形式,PDE方程 乘上試函

5、數(shù)并積分 分部積分 整理得到,域內(nèi),邊界,弱約束,優(yōu)點 精確的通量計算 處理非線性約束 處理包含微分的約束 缺點 引入了較多的未知量 容易在Jacobian矩陣的主對角線上引入零值（鞍點） 不連續(xù)約束導(dǎo)致較大的震蕩,乘子的物理意義,使用弱約束 Lagrangian乘子被作為獨立變量求解 精確的流量計算 處理非線性約束和帶有導(dǎo)數(shù)的約束 變量名lm1，lm2.,使用弱約束,在PhysicsProperties中設(shè)置弱約束 在每個邊界條件中確定是否采用弱約束 產(chǎn)生新變量，以lm數(shù)字命名，按照應(yīng)用模式及其變量的順序來編號,弱約束類型,完美（Ideal） 和標(biāo)準(zhǔn)的逐點約束類似的邊界條件，不涉及物理本質(zhì)

6、Lagrange乘子對于所有變量對稱 非完美（Non-Ideal） 修改了模型的物理本質(zhì) Lagrange乘子只應(yīng)用到指定約束的變量,假設(shè)模式A(u)和B(v)，其中A的約束,Lagrange乘子及試函數(shù),變量及試函數(shù),弱約束的局限,接觸邊界相同變量的逐點和弱約束不起作用 只有Dirichlet邊界條件才有效 弱約束常導(dǎo)致線性系統(tǒng)的縮放比例問題 使用弱約束時常需要減小單元的階數(shù)，以減少冗余的自由度 當(dāng)使用迭代求解器時，如果在矩陣中引入了零對角元，需要采用Vanka或i-LU算法,方程式系統(tǒng)中的應(yīng)用,在weak標(biāo)簽中出現(xiàn)的變量進(jìn)入求解過程 其余的為后處理變量,相關(guān)的Weak項參數(shù)設(shè)置,weak 寫入弱項公式 dweak 與時間相關(guān)的弱項 bnd.weak 超弱項，應(yīng)用于內(nèi)部不連續(xù)邊界條件（不存在幾何邊界） 參考模型庫