1、簡單的優(yōu)化模型,存儲模型,銷售時機(jī)(豬),銷售時機(jī)(酒),深林救火,最優(yōu)價格,血管分支,消費者均衡,冰山運輸,現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題。人類不論是自覺還是不自覺，總是在追求自身效益的最大化中奮斗、發(fā)展。,靜態(tài)優(yōu)化問題是指在資源、環(huán)境不變下考慮效益最優(yōu)問題, 最優(yōu)解是數(shù) (不是函數(shù)),建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵是根據(jù)建模目的選定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)和決策變量,求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般利用極值。,靜 態(tài) 優(yōu) 化 模 型,Maple求解靜態(tài)最優(yōu)化語句(符號),readlib(extrema)： #調(diào)入條件極值命令,extrema( f(x1,x2,)，條件方程，決策變量列表，極值點變量名)；,maximize

2、(函數(shù)，變量=范圍)；#8.0 maximize(函數(shù)，變量=范圍)；#5.0,minimize(函數(shù)，變量=范圍)；#8.0 minimize(函數(shù)，變量=范圍)；#5.0,求指定范圍內(nèi)函數(shù)的最大、最小值,用方程求解命令解最優(yōu)值點,fsolve(函數(shù)=最大(最小)值，變量)；,用條件極值命令求極值、極值點,Min=5000/t+100*(t-1); end,LINGO 程序(數(shù)值),gin(t); 整數(shù)變量,Max=200+15*t+100*t2; end,存貯模型,某商場每日銷售某商品約200件，每次進(jìn)貨費 約5千元，貯存費每日每件 1 元。試安排該商品的 進(jìn)貨計劃。,問 題,問題分析,費

3、用最小的意思？,每天進(jìn)貨一次：每次200件，貯存費為0，進(jìn)貨費5千元。總費用5000元。,2天進(jìn)貨一次：每次400件，貯存費200元，進(jìn)貨費5千元?？傎M用5200元。,多少天進(jìn)貨一次？每次進(jìn)貨多少？盡可能減少費用.,目的,10天進(jìn)貨一次：每次2000件，進(jìn)貨費5千元，貯存費1800+1600+ +200 =9000元?？傎M用14000元。,費用應(yīng)為同樣時間內(nèi)的費用(如一年或一月等)。,進(jìn)貨間隔是否越長費用越小？,目標(biāo)：一定時間內(nèi)總費用(a天)最小. 包括進(jìn)貨費、存儲費。 決策變量：進(jìn)貨量、進(jìn)貨周期(間隔時間)。,基本假設(shè)： 1. 每天銷售量不變；,模型建立：,在假設(shè)1，2下， 進(jìn)貨費=c1a/

4、T，一個周期存儲費= bc2(1+2+T-1)=bc2dT(T-1)/2,符號說明：,2. 每件每天存儲費不變，每次進(jìn)貨 費不變，立即到貨.,1. P為總費用；日銷貨量b,2. 單位進(jìn)貨費為c1，單位 存儲費c2，進(jìn)貨周期為T;,3. 計算總費用時間為a 。,總存儲費=bc2T(T-1)/2 a/T=abc2(T-1)/2,模型求解：,帶入b 、c1、c2，得 T=7，每次進(jìn)貨量=2007=1400(件) 即每隔7天進(jìn)貨一次，每次進(jìn)貨1400件，平均每天費用為1314元。,總費用 P=ac1 /T+abc2(T-1)/2 , 每次進(jìn)貨量=bT,允許缺貨的存貯模型,上述模型不允許出現(xiàn)缺貨的情況。

5、但是，當(dāng)貯存量降到零，又沒有及時供貨，就會出現(xiàn)缺貨。缺貨會造成部分利潤損失。,假設(shè)：允許缺貨, 每件缺貨損失費 c3，周期T, t=T1貯存量降到零。,一周期貯存費,一周期缺貨費,為了方便，采用連續(xù)化討論。,每天總費用 平均值 （目標(biāo)函數(shù)）,求 T ,Q 使,為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T , Q記作Q,不允許缺貨模型,記,允許缺貨模型,允許缺貨模型,Q每周期初的存貯量,生豬的出售時機(jī),飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。,問題,市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。,如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何

6、影響。,分析,投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機(jī)，使利潤最大,求 t 使Q(t)最大,10天后出售，可多得利潤20元,建模及求解,生豬體重 w=80+rt (r增重速度),出售價格 p=8-gt (g降價速度),銷售收入 R=pw,資金投入 C=4t,利潤 max Q=R-C=pw -C,估計r=2,若當(dāng)前出售，利潤Q=808=640（元）,t 天出售,=10,Q(10)=660 640,g=0.1,目標(biāo)函數(shù),(p價格,w重量，C成本),敏感性分析 (比較靜態(tài)),研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響,設(shè)g=0.1不變,t 對r 的（相對）敏感度,生豬每天體重增

7、加量r 增加1%，出售時間推遲3%。,敏感性分析,研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響,設(shè)r=2不變,t 對g的（相對）敏感度,生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。,強(qiáng)健性分析,保留生豬直到的增值等于每天的費用時出售,由 S(t,r)=3,建議過一周后(t=7)重新估計 , 再作計算。,研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響,w=80+rt w = w(t),p=8-gt p =p(t),若 (10%), 則 （30%）,森林救火,消防隊接到火警，t0 時刻森林失火，立刻派出隊員前往撲救。派出隊員多，撲救快森林損失小，救援費用大；隊員少森林損失大，救援費用小。 綜合考慮損失費和

8、救援費，確定隊員數(shù)量。,問題分析,問題,目標(biāo)總費用最小森林損失、救援費用。都隨隊員數(shù)變化。關(guān)鍵量化描述變化規(guī)律。,隊員人數(shù)為決策變量，記為x。,森林損失隨燒毀面積單增，燒毀面積與燃燒時間有關(guān)。記時刻t森林燒毀面積 S(t). 則燒毀面積S(t2)隨x單減.,救援費f2(x) 由隊員人數(shù)和救火時間決定.,失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2.,損失費f1(x)是x的減函數(shù). 由S(t2)決定.,進(jìn)一步分析,滅火條件:救火快,燃燒擴(kuò)大慢才有可能.如何衡量快慢？,火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比,救火能力指每個隊員降低蔓延速度的能力, 救火隊員救火能力可

9、以認(rèn)為相差不大,. 則總救火能力可看作與人數(shù)x成正比,模型假設(shè),3) f1(x)與S(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費),1) 火勢向四周均勻蔓延；即0tt1, dS/dt 與 t成正比，系數(shù)為 (蔓延速度燒毀面積的加速度)（無風(fēng)）,2) 救火隊員滅火能力相同;即 x名隊員救火,蔓延速度 降為-x (為每個隊員降低蔓延速度值),4) 救援費f2(x)為一次性費用(與隊員人數(shù)x成正比,系數(shù)c3)和滅火費(與隊員人數(shù)x,滅火時間成正比,系數(shù)c2).,符號說明,t1開始救火時刻,t2滅火時刻,S(t)森林燒毀面積, f1(x)損 失費, f2(x)救援費, x救火人數(shù), C(x)總費用.

10、,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費用,由假設(shè)3),假設(shè)4),模型求解,由極值的必要條件,結(jié)果說明, / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù),其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù),模型應(yīng)用,c1,c2,c3已知, 由過去救火的數(shù)據(jù)取平均值確定.,c2 x,c1, t1, x,c3 , x ,c1燒毀單位面積損失費, c2每個隊員單位時間滅火費, c3每個隊員一次性費用, t1開始救火時刻, 火勢蔓延速度, 每個隊員平均滅火能力.,為什么?,t1在接警后要較準(zhǔn)確估計出. 為蔓延速度, 接警一定要詳細(xì)了解火場變化情況,以便確定.,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，由模型決定隊員數(shù)量x .,最優(yōu)價格,問題,根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需

11、求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大,假設(shè),2. 成本C是x的遞增函數(shù)；,模型與求解,理性經(jīng)濟(jì)人必然追求效益最大化。設(shè)利潤為U(p)，則目標(biāo)函數(shù)為,1. 需求x是價格p遞減函數(shù),最大需求為a ,且 ；,3. 產(chǎn)銷平衡. 即產(chǎn)量等于銷量, 等于需求量x .,p* 的存在性證明：,1) 成品的可變成本為常數(shù) q ;,2) 銷量 x 隨價格 p 線性遞減 .,收入,成本,利潤,數(shù)學(xué)模型,求p使U(p)最大,為了更具體地確定價格，在上述結(jié)果中，再作進(jìn)一步假設(shè),補充假設(shè),使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格 p*滿足,最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達(dá)到,求解,結(jié)果分析,q / 2 可變成本的一半,b

12、 價格上升1單位時銷量的下降 幅度（需求對價格的敏感度）,a 最大需求( p很小時的需求),b p*,a p* ,思考：如何得到參數(shù)a, b?,固定成本不影響最優(yōu)價格,血管分支,背景,機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動,給血管壁以營養(yǎng),克服血液流動的阻力,消耗能量取決于血管的幾何形狀,在長期進(jìn)化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則,研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度,問題,模型假設(shè),1.一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點對稱地處于同一平面,2.血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動,3. 血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正

13、比,血流量 q=2q1,r/r1, ?,考察血管AC與CB, CB,粘性流體在剛性管道中運動, pA,C壓力差， 粘性系數(shù),克服阻力消耗能量,提供營養(yǎng)消耗能量,管壁內(nèi)表面積 2rl=k1rl,管壁體積(d2+2rd)l=k2r2l,管壁厚度d與r成正比,資料與進(jìn)一步假設(shè),模型建立,克服阻力消耗能量,提供營養(yǎng)消耗能量,機(jī)體為血流提供能量,模型求解,模型檢驗,結(jié)果與生物學(xué)家觀察大致吻合,大動脈半徑rmax, 毛細(xì)血管半徑rmin,大動脈到毛細(xì)血管有多少次分岔,觀察：狗的血管,血管總條數(shù),模型應(yīng)用,n=？,消費者均衡,問題,消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，

14、購買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。,設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消費者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作 U(q1,q2)=c,U(q1,q2) 效用函數(shù),已知甲乙價格 p1,p2, 有錢s，試分配s,購買甲乙數(shù)量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.,模型及 求解,已知價格 p1,p2,錢 s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大,幾何解釋,直線MN:,最優(yōu)解Q: MN與 l2切點,斜率,結(jié)果解釋,邊際效用,消費者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達(dá)到。,效用函數(shù)U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條件,A. U(q1,q2) =c 所確

15、定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸,解釋 B的實際意義,效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用的形式,消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比。,U(q1,q2)中參數(shù) , 分別表示消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度。,購買兩種商品費用之比與二者價格無關(guān)。,U(q1,q2)中參數(shù) , 分別表示對甲乙的偏愛程度。,思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況,效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用的形式,冰山運輸,背景,波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊。,專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水,從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運輸?shù)目尚行浴?資料,

16、1. 拖船租金和運輸能力,2. 燃料消耗（英鎊/千米）,3. 表面融化速率（米/天）,建模目的,選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較,模型假設(shè),航行過程中船速不變，總距離9600千米,冰山呈球形，球面各點融化速率相同,到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水,問題分析,總費用,融化水體積,模型建立,船速u (千米/小時) 與南極距離d(千米) 融化速率r(米/天）,1. 冰山融化規(guī)律,顯然r是 u 的線性函數(shù)；,但是, r隨d變化(如圖)卻僅僅近似線性；故假設(shè)分段線性,d4000時, r 與d無關(guān).,航行 t 天,第t天融化速率,融化厚度隨時間變化

17、函數(shù)：,總航行天數(shù),R0為初始冰山半徑.(49.237,62.035,133.56),t 時刻冰山體積,到達(dá)體積為V,2. 燃料消耗,燃料消耗 q1(英鎊/千米),q1對u線性, 對log10V線性,選定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英鎊/天),燃料消耗總費用,冰山初始體積V0的日租金 f(V0)（英鎊）,航行天數(shù),拖船租金費用,冰山運輸總費用,3. 租船費用,冰山到達(dá)目的地后得到的水體積,4. 運送每立方米水費用,冰山運輸總費用,運送每立方米水費用,到達(dá)目的地時冰山體積,模型求解,選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立方米水的費用最低,V0只能取離散值,經(jīng)驗公式很粗糙,結(jié)果分析,由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達(dá)目的地后實際體積會顯著小于V(u,V0)。,有關(guān)部門認(rèn)為，只有當(dāng)計算出的Y(u,V0)顯著低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性。,大型拖船V0= 107 (米3)，船速 u=45(千米/小時), 冰山到達(dá)目的地后每立米水的費用 Y(u,V0)約0.065(英鎊),雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，但是模型假設(shè)和構(gòu)造非常簡化與粗糙。,Maple程序,readlib