1、第七節(jié) 斯托克斯公式,一、斯托克斯公式 二、小結(jié) 思考題,定積分,二重積分,三重積分,曲線積分,曲面積分,格林公式,高斯公式,計(jì)算公式,（平面）,斯托克斯公式,（空間）,各類積分之間的關(guān)系示意圖,基本假定：,（1） 是分片光滑的有向曲面， 是其,邊界， 為分段光滑的有向曲線。,（2） 的方向與 的側(cè)向之間符合右手規(guī)則。,（3）P、Q、R 在 及 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。,情形1： 與平行于 z 軸的直線相交不多于一點(diǎn)。,此時(shí) 的方程可以表為：,（1） 取上側(cè)。, 在 xoy 面上的投影區(qū)域記為,相應(yīng)地， 在 xoy 面上的投影為 C,C 的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。,（1） 取上側(cè)。,首先，可以證明,因

2、為若,則必有,是 上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，,且對(duì)于 上的一個(gè)小弧段,它在 xoy 面上的投影記為,則,在 x 軸上的投影,完全一樣，都為 d x,所以上面等式兩邊的被積表達(dá) 式相等。,（1） 取上側(cè)。,首先，可以證明,由格林公式,所以,又,（1） 取上側(cè)。,所以,（2）若 取下側(cè)，上式仍成立,（3）若平行于 z 軸的直線與 的交 點(diǎn)多于一個(gè)，則類似于格林公式的處 理，可以說明上式也成立。,總之，在基本假定下，上式總 成立。,同理：,三式相加，并歸類得,該等式稱為斯托克斯公式,該等式稱為斯托克斯公式,（1）在公式中， 的側(cè)向與 的方向要符合右手規(guī)則,（2）為幫助記憶，引入如下行列式記號(hào),按第一行展開，并約定

3、,該等式稱為斯托克斯公式,再利用關(guān)系式,公式又可以寫成,（3）若 是 xoy 面上的平面區(qū)域 D， 則,（4）斯托克斯公式的一個(gè)典型應(yīng)用是將左邊的曲線 積分化為右邊的曲面積分，再利用曲面積分的方法或 高斯公式進(jìn)行計(jì)算，從而達(dá)到簡(jiǎn)化曲線積分的計(jì)算。,解,應(yīng)用斯托克斯公式的一個(gè)關(guān)鍵步驟或技巧是,找一張曲面 ：,它以 為邊界，,且它的側(cè)向,與 的方向符合右手規(guī)則。,本題中取 為 所圍的三角形區(qū)域， 上側(cè)。,又設(shè) 在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?例1: 計(jì)算曲線積分,解,例1: 計(jì)算曲線積分,解,例2：計(jì)算,其中： 為球面,與圓柱面,的交線 ，,若從 oz 軸正向看去，取逆時(shí)針方向,取以 為邊界的球面為 ：,上側(cè)，,在 + 上應(yīng)用斯托克斯 公式,例2：計(jì)算,解,例2：計(jì)算,解,習(xí)題117: 1, 2, 3, 4,第十章