1、楊惠-matlab語言及應(yīng)用-第四章,第四章、數(shù)值計算,楊惠-matlab語言及應(yīng)用-第四章,內(nèi)容提要,1、矩陣的相關(guān)計算 2、線性方程組的解 3、多項式和卷積 4、擬合與插值 5、matlab的泛函指令 6、符號計算,4.1矩陣的相關(guān)計算,Matlab的相關(guān)指令： det(A) inv(A) rank(A) d=eig(A) V,D=eig(A),求矩陣A的行列式,求矩陣A的逆,求矩陣的秩 計算A的特征值，以向量形式存放（d） 計算A的特征向量陣V和特征值對角陣D,例題開講,計算A的逆矩陣、特征值及特征向量？,det(A) inv(A) rank(A) d=eig(A) V,D=eig(A)

2、,4.2 線性方程組的解,關(guān)于線性方程組的解法一般可以分為兩類：,（2）迭代法：是用某種極限過程去逐漸逼近方程 組精確解的方法，適用于解大型稀疏矩陣方 程組。,（1）直接法：通過矩陣的變形、消去直接得到方 程的解，適用于解低階稠密矩陣（階數(shù)大約 150）方程組。,1、利用左除運算符的直接解法 2、利用矩陣求逆的方法求解線性方程組,1、jacobi迭代法 2、Gauss-Serdel迭代法 3、超松弛迭代法 4、兩步迭代法,楊惠-matlab語言及應(yīng)用-第四章,4.2 線性方程組的解,在matlab中，線性方程組的直接求解方法：矩陣除法,例：求解下列方程組。,在matlab命令窗中的指令是： a

3、=0.4096 0.2943;0.1784 0.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; X=ab,求解下列線性方程組：（矩陣求逆法）,在matlab命令窗中的指令是： a=0.4096 0.2943;0.1784 0.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; X=inv(a)*b,4.3 多項式計算,1、多項式的表示： MATALB中，用一個向量來表示多項式。這個 向量中按照降冪的順序排列多項式的各項系數(shù)。,在MATLAB中為：p=1,0,-2,5;,說明：如果多項式中缺某冪次項，則認(rèn)為該項的系數(shù)為零。,4.3多項式計算,2

4、、多項式的四則運算：,1、Matlab沒有提供專門的多項是加減運算函數(shù)。 依靠加減運算符直接完成,2、多項式乘法運算 conv(p1,p2),3、多項式除法運算 Q,r=deconv(p1,p2),p1=conv(p2,Q)+r,楊惠-matlab語言及應(yīng)用-第四章,例題開講,4.3 多項式計算,3. 多項式值的計算：,y=polyval(p,x);,y=polyvalm(p,x);,功能：按數(shù)組運算規(guī)則計算多項式的值。 其中x可以是標(biāo)量和數(shù)組。,功能：按矩陣運算規(guī)則計算多項式的值。 其中x必須為方陣。,楊惠-matlab語言及應(yīng)用-第四章,例題開講,P= 2 3 1 ; X= 1 2 3 ;

5、 3 2 1 ; 2 1 3 ;,y=polyval ( P , X ),y=polyvalm ( P , X ),y=2*X.*X+3*X+ones(size(X),y=2*X*X+3*X+eye(size(X),4.3 多項式計算,4、多項式的根,R=roots(P),功能：計算多 項式P的根。,P= 1 -6 -72 -27 ; R=roots（P）,4.3 多項式計算,有理多項式的部分分式展開：,r,p,k=residue(b,a);,有理多項式有兩種表示方法：,b,a=residue(r,p,k);,4.3 多項式計算,6. 多項式求導(dǎo),q=polyder(p);,具體用法: (1)

6、q=polyder(p)可以得到多項式p的導(dǎo)數(shù)。,(2) q=polyder(a,b)可以求出多項式a,b之積的導(dǎo)數(shù)。,(3)p,q=polyder(b,a)可以求出多項式之比b(s)/a(s)的導(dǎo)數(shù)。,1、矩陣的相關(guān)計算 2、線性方程組的求解 3、多項式和卷積,Matlab的相關(guān)指令： det(A) inv(A) rank(A) d=eig(A) V,D=eig(A),1、利用左除運算符的直接解法 2、利用矩陣求逆的方法求解線性方程組,Matlab的相關(guān)指令： conv(p1,p2) q,r=deconv(p1,p2) y=polyval(p,x) y=polyvalm(p,x) roots

7、(p) r,p,k=residue(b,a) b,a=residue(r,p,k) q=polyder(p) q=polyder(a,b) p,q=polyder(b,a),review,4.3 多項式計算,7. 多項式曲線擬合,p=polyfit(x,y,n);,4.4 擬合與插值,在matlab中實現(xiàn)最小二乘法擬合通?？梢圆捎萌缦聝煞N途徑： （1）利用polyfit函數(shù)進(jìn)行多項式擬合。 （2）利用矩陣除法解決復(fù)雜型函數(shù)的擬合。,4.4 擬合與插值,p=polyfit(x,y,n);,%給定數(shù)據(jù)對 x0=0:0.1:1; y0=-.44,1.97,3.11,5.25,5.02,4.66,4.

8、01,4.58,3.45,5.35,9.22; %求擬合多項式系數(shù) n=3; P=polyfit(x0,y0,n) %圖示擬合情況 xx=0:0.01:1; yy=polyval(P,xx); plot(xx,yy,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20),xlabel(x),擬合：尋找一條“平滑”曲線來最好的表現(xiàn)帶噪聲的“測量數(shù)據(jù)”。 但并不要求擬合曲線穿過這些“測量數(shù)據(jù)”點。,4.4 擬合與插值,插值： 是在認(rèn)定所給“基準(zhǔn)數(shù)據(jù)”完全正確的情況下，研 究如何“平滑”的估算出“基準(zhǔn)數(shù)據(jù)”之間其它點的函 數(shù)值。因此，插值所得曲線一定穿過“基準(zhǔn)數(shù)據(jù)”。,%給定數(shù)據(jù)對 x0=0:0.1:

9、1; y0=-.44,1.97,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22; %采用三次多項式進(jìn)行插值 xi=0:0.02:1; yi=interp1(x0,y0,xi,cubic); %繪圖 plot(xi,yi,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20),xlabel(x),4.4 擬合與插值,其中:(1) x,y是測量數(shù)據(jù)對； (2) xs是需要內(nèi)插的點所構(gòu)成的向量。 (3) method是指所使用的內(nèi)插方法。,ys=interp1(x,y,xs,method);,說明：interp1僅是插值指令的一種，還有interp2 、int

10、erp3等。,插值算法： nearest，linear，spline，cubic,4.4 擬合與插值,1）最鄰近插值方法（nearest）,插值點的值與其最鄰近的點的函數(shù)值相等。,*,*,*,*,*,4.4 擬合與插值,2）線性插值方法（ linear ）,插值點的值在前，后兩個數(shù)據(jù)點所構(gòu)成的直線上。,*,*,*,*,*,4.4 擬合與插值,3）三次樣條插值方法(spline),利用一系列樣條函數(shù)獲得內(nèi)插數(shù)據(jù)點，從而確定已有數(shù)據(jù)點之間的函數(shù)。,4）三次曲線內(nèi)插方法（cubic）,構(gòu)造三次曲線函數(shù)來擬合已知數(shù)據(jù)x、y，從而確定內(nèi)插點的值。,4.4 擬合與插值,說明: 1、四種插值方法中，x中的數(shù)

11、據(jù)是單調(diào)但不一定距均勻的。 2、若已知x為均勻的，則在method前加*，可使執(zhí)行速度加快。 3、按nearest linear cubic spline的順序，對內(nèi)存要求 從小到大，執(zhí)行速度由快到慢，平滑度由差到好。,給出概率積分 的數(shù)據(jù)如下表所示：,x=0.46:0.01:0.49; f=0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683; format long interp1(x,f,0.472) interp1(x,f,0.472,nearest) interp1(x,f,0.472,spline) interp1(x,f,0.472,cubic) for

12、mat short,4.5 matlab的泛函指令,主要內(nèi)容： 1、數(shù)值積分 2、解微分方程,在matlab中，凡是以“函數(shù)”為輸入宗量的指令，都被統(tǒng)稱為matlab的泛函指令。,q=quad(fun,a,b) q=quadl(fun,a,b),t,y=ode45(fun ,tspan,y0),被處理“函數(shù)”fun可以有三種形式： （1）字符串表達(dá)式 （2）內(nèi)聯(lián)函數(shù) （3）“M函數(shù)文件”的函數(shù)句柄,4.5.1 數(shù)值積分,例：求以下的定積分。其精確值為0.7468204,%（1）使用字符串表示被處理函數(shù) fun=exp(-x.*x);,%（2）調(diào)用積分指令求積分值 E1 = quad (fun,

13、0,1) E2 = quadl (fun,0,1),區(qū)別：求數(shù)值積分是采取不同的方法,4.5.2 常微分方程求解,例：求下列微分方程在初始條件x(0)=1,dx(0)/dt=0 下的解。,（1）將高階微分方程改寫成一階微分方程 令y1=x,y2=dx/dt, 于是二階微分方程可以改寫成如下的一階微分方程組,設(shè)u=2,%(2)根據(jù)一階微分方程組編寫M函數(shù)文件 dydt.m function ydot=dydt(t,y) mu=2; ydot=y(2);mu*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,%(3)結(jié)算微分方程 tspan=0,30; y0=1;0; tt,yy=ode45(dydt,t

14、span,y0) tt,yy=ode45(dydt,tspan,y0),楊惠-matlab語言及應(yīng)用-第四章,例題開講,例：微分方程組 當(dāng)t=0時， x1(0)=1,x2(0)=-0.5,求微分方程在t0，25上的解。,function dx=equationy(t,x) dx=-x(1)+0.5;x(1)-4*x(2);,x0=1;-0.5; tspan=0,25; T,X=ode45(equationy,tspan,x0),4.6 符號計算,1、符號對象和符號表達(dá)式,2、符號微積分,4.6 符號計算,4.6.1、符號表達(dá)式的生成,規(guī)定： （1）在定義符號運算時，首先要定義基本的符號對象，然

15、后 用這些基本符號對象去構(gòu)成新的表達(dá)式，進(jìn)而從事所需 的符號運算。 （2）在運算中，凡是包含符號對象的表達(dá)式所生成的衍生對 象也都是符號對象。,生成方式： 指令 sym、syms,4.6 符號計算,符號對象的建立： 符號變量名=sym(符號字符串) syms argv1 argv2 argvk,常量、變量、函數(shù) 或表達(dá)式,例題開講,例一： a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c); x=5; y=-8; z=11; w=a*a+b*b+c*c w=x*x+y*y+z*z,例二： syms x h; y=sym(h*2*sin(x)*cos(x) y=simple(y),按規(guī)則把

16、已有的y符號表達(dá)式化為最簡形式,例二： pi1=sym(pi); k1=sym(8); k2=sym(3); pi2=pi; r1=8; r2=3; sin(pi1/3) sin(pi2/3) sqrt(k1+sqrt(k2) sqrt(r1+sqrt(r2),例題開講,例題開講,例：求以下矩陣的行列式值、逆和特征根。,syms a11 a12 a21 a22; A=a11,a12;a21,a22 DA=det(A) IA=inv(A) EA=eig(A),4.6 符號計算,建立符號表達(dá)式： 1）利用單引號生成 2）用sym函數(shù)建立符號表達(dá)式 3）使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式,y=1/

17、sqrt(2*x) U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6),syms x y; V=3*x2-5*y+2*x*y+6,4.6 符號計算,4.6.2 符號極限,limit ( F , x , a ) limit (F),計算符號表達(dá)式F在x a條件下的極限值,計算a=0時的極限,syms x a t h ; limit ( sin(x) / x ) limit( (1+2*t/x)(3*x) , x , inf ),4.6 符號計算,4.6.3 符號積分,intf=int(f,v) intf=int(f,v,a,b),給出f對指定變量v的不定積分,給出f對指定變量v的定積分,說明：當(dāng)f是

18、矩陣時，積分將對矩陣中的元素逐個進(jìn)行。,例：求,syms a b x; f=a*x,b*x2;1/x,sin(x); int(f) %pretty(int(f),4.6 符號計算,4.6.4 符號微分,f=diff(f,v,n),求,syms a t x; f=a,t3;t*cos(x), log(x); df=diff(f)%求矩陣f對x的導(dǎo)數(shù) dfdt2=diff(f,t,2)%求矩陣f對t的二階導(dǎo)數(shù) dfdxdt=diff(diff(f,x),t) %求二階混合導(dǎo)數(shù),例：,4.5.1 求函數(shù)的零點,例：求以下函數(shù)的零點。,z,f-z,exitflag=fzero(fun ,x0 ,option,p1,p2),零點初始 猜測值,向函數(shù)fun傳遞的參數(shù),P1=0.1; P2=0.5; y_C=sin(x).2.*exp(-P1*x)-P2*abs(x