1、1,補(bǔ)充： 量子力學(xué)中的力學(xué)量 The Dynamical variable in Quantum Mechanism,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable 2.動(dòng)量算符 momentum operator 3.厄米算符本征函數(shù)的正交性 Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators 4. 力學(xué)量算符與力學(xué)量的關(guān)系 Relationship between Operator and dynamical variable 5. 算符的對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 O

2、perator commute The Heisenberg Uncertainty Principle 6. 力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律 The dynamical variable with respect to time The conservation laws,2,由前面的討論，我們看到，當(dāng)微觀粒子處在某一狀態(tài)時(shí)，一般而言，其力學(xué)量（如坐標(biāo)、動(dòng)量和能量）不一定具有確定的數(shù)值，而以一定幾率分布取一系列可能值（當(dāng)然，可能在某些特殊的狀態(tài)，有些力學(xué)量可取確定值）。,1. 表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,1.坐標(biāo)與動(dòng)量的平均值,若已知粒子在坐

3、標(biāo)表象中的狀態(tài)波函數(shù) ，按照波函統(tǒng)計(jì)解釋，利用統(tǒng)計(jì)平均方法，可求得粒子坐標(biāo) 的平均值,若知道粒子在動(dòng)量表象中的波函數(shù) ，同理可出出粒子動(dòng)量 或 的平均值。,3,（1）坐標(biāo)平均值,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,4,利用 計(jì)算出坐置 的平均值,坐標(biāo)算符,Prove：,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,5,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,6,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,7,（2）動(dòng)量

4、平均值,粒子的動(dòng)量值處于,間的幾率為:,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,8,Prove:,動(dòng)量算符,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,9,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,10,結(jié)論,由波函數(shù)計(jì)算坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值時(shí)，坐標(biāo)與動(dòng)量要用相應(yīng)的算符代入積分式。,利用坐標(biāo)表象的波函數(shù) 計(jì)算坐標(biāo)平均值時(shí)，坐標(biāo)算符 就是坐標(biāo)本身 ；利用動(dòng)量表象的波函數(shù) 計(jì)算坐標(biāo)平均值時(shí)，坐標(biāo)算符,利用坐標(biāo)表象的波函數(shù) 計(jì)算動(dòng)量平均值時(shí)，動(dòng)量算符 ； 利用動(dòng)量表象的波

5、函數(shù) 計(jì)算動(dòng)量平均值時(shí)，動(dòng)量算符就是動(dòng)量本身,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,11,2表示力學(xué)量的算符,1）算符的定義,對(duì)一函數(shù)作用得到另一函數(shù)的運(yùn)算符號(hào),Ex:,1. 表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,12,2）算符的本征方程,3）力學(xué)量算符,表示力學(xué)量的算符必須是對(duì)波函數(shù)進(jìn)行有物理意義運(yùn)算的符號(hào)。,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,13,哈密頓算符,動(dòng)量算符,力學(xué)量算符規(guī)則即構(gòu)造力學(xué)量算符的規(guī)則：,將第二章中構(gòu)造Harmilton算符的方

6、法加以推廣，便提出一個(gè)構(gòu)造一般力學(xué)量算符的基本假設(shè)。,若量子力學(xué)中的力學(xué)量 F 在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示該力學(xué)量的算符 由經(jīng)典表示中將 換成算符 而得出。,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,14,Ex:,動(dòng)能算符,角動(dòng)量算符,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,15,（2）對(duì)于只在量子理論中才有，而在經(jīng)典力學(xué)中沒有的力學(xué)量，其算符如何構(gòu)造的問(wèn)題另外討論。,注:,（1）以上所述力學(xué)量算符規(guī)則是對(duì)坐標(biāo)表象而言，對(duì)于動(dòng)量表象，表示力學(xué)量F 的算符是將經(jīng)典表示 中的坐標(biāo)位置 換成坐標(biāo)算符,1

7、.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,16,4）力學(xué)量算符與力學(xué)量測(cè)量值的關(guān)系,在第二章討論哈密頓算符 的本征值問(wèn)題時(shí)已看到，當(dāng)體系處在 的本征態(tài)時(shí)，體系有確定的能量，該能量值就是 在此本征態(tài)中的本征值。當(dāng)體系處在任一態(tài)中時(shí)，測(cè)量體系的能量無(wú)確定值，而有一系列可能值，這些可能值均為 的本征值。這表明 的本征值是體系能量的可測(cè)值，將該結(jié)論推廣到一般力學(xué)量算符提出一個(gè)基本假設(shè).,如果算符 表示力學(xué)量F，那么當(dāng)體系處于 的本征態(tài)中時(shí)，力學(xué)量F 有確定值，這個(gè)值就是 屬于該本征態(tài)的本征值。,該假設(shè)給出了表示力學(xué)量的算符與該力學(xué)量的關(guān)系。,1.表示力學(xué)量的算

8、符 operator for dynamical variable,17,5）厄米算符及其性質(zhì),（1）厄米算符的定義,（2）厄米算符的性質(zhì),厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù),若對(duì)于任意兩函數(shù) 和 ，算符 滿足等式,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,18,力學(xué)量算符為線性的厄米算符,6）力學(xué)量算符的性質(zhì),即 為實(shí)數(shù),1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,19,證明：動(dòng)量算符的一個(gè)分量Px是厄密算符,1.表示力學(xué)量的算符 operator for dynamical variable,20,2.動(dòng)量算符 m

9、omentum operator,21,or,2.動(dòng)量算符 momentum operator,22,1）若粒子處在無(wú)限空間中，則按 函數(shù)的歸一化方法確定歸一化常數(shù)A，即,本征值 取連續(xù)值。,2.動(dòng)量算符 momentum operator,23,2）若粒子處在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則用所謂箱歸一化方法確定常數(shù)A。,設(shè)粒子被限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方體內(nèi)，周期性邊界條件要求本征函數(shù) 在點(diǎn) 和對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處的值相等。（周期性條件）,同理,2.動(dòng)量算符 momentum operator,24,本征值 :,可見，加上周期條件后，動(dòng)量算符的本征值取離散譜,2.動(dòng)量算符 momentum operator,25

10、,即 離散譜連續(xù)譜,討論 :,由歸一化條件,2.動(dòng)量算符 momentum operator,26,本征值：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3組成本征值譜,本征函數(shù)： 組成本函數(shù)系,本征函數(shù)的正交性：,本征值方程：,屬于厄米算符 的不同本征值的本征函數(shù)相互正交。,數(shù)學(xué)表述,3. 厄密算符本征函數(shù)的正交性O(shè)rthonormality for eigenfunction of Hermitean operators,27,由厄米定義：,移項(xiàng)：,本征值方程,Prove:,即,正交性,歸 一,函數(shù)系 為正交歸一函數(shù)系。,3. 厄密算符本征函數(shù)的正交性O(shè)rthonormality for eigenfunction of

11、 Hermitean operators,28,線性諧振子能量算符 的本征函數(shù)：,組成正交歸一系,Ex：,3. 厄密算符本征函數(shù)的正交性O(shè)rthonormality for eigenfunction of Hermitean operators,29,（1）以上的討論曾認(rèn)為本征值為分立譜，若本征值為連續(xù)譜，可作同樣的討論，這時(shí)本征函數(shù)的正交歸一性應(yīng)寫成,例如動(dòng)量算符的本征函數(shù)：,（2）前面的討論假定本征值所屬的本征函數(shù)均不相等，若 的本征值 是 度簡(jiǎn)并的，則屬于 的本征函數(shù)有f 個(gè)：,注意,3. 厄密算符本征函數(shù)的正交性O(shè)rthonormality for eigenfunction of

12、Hermitean operators,30,當(dāng)體系處于 的本征態(tài) 時(shí)， 表示的力學(xué)量有確定值，該值就是 在 態(tài)中的本征值 ，即,本征函數(shù)： （正交歸完全函數(shù)系）,本征值： （本征值譜),設(shè) 為力學(xué)量算符,1力學(xué)量算符的本征值與力學(xué)量的關(guān)系,4. 算符與力學(xué)量的關(guān)系The relationship between operator and dynamical variable,31,（2）,Q：,將（1）代入歸一化條件,（3）,當(dāng)體系不是處于 的本征態(tài)，而是處于 任一個(gè)態(tài) ，這時(shí)與它所表示的力學(xué)量之間的關(guān)系如何。,4. 算符與力學(xué)量的關(guān)系The relationship between ope

13、rator and dynamical variable,32,按（3）式知 具有幾率的意義，在這種情況下，測(cè)量力學(xué)量F必定得 的結(jié)果。由這個(gè)特例和（3）式看到 具有幾率的意義，它表示在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F得到結(jié)果是 的本征值 的幾率，故Cn常稱為幾率幅，（3）式表明總的幾率為1。,若就是 的本征態(tài) 則由（1）知,其余系數(shù),4. 算符與力學(xué)量的關(guān)系The relationship between operator and dynamical variable,33,量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符，它們的本征函數(shù)組成完全系。當(dāng)體系處于波函數(shù)(x)所描寫的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量F所得的數(shù)值，必須是

14、算符 的本征值之一，測(cè)得 的幾率是,基本假設(shè), 此假設(shè)的正確性，由該理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合而得到驗(yàn)證。, 根據(jù)此假定，力學(xué)量在一般狀態(tài)中沒有確定的數(shù)值，而是一系列的可能值，這些可能值就是表示這個(gè)力學(xué)量的算符的本征值，每個(gè)可能值都以確定的幾率出現(xiàn)。,注,4. 算符與力學(xué)量的關(guān)系The relationship between operator and dynamical variable,34,設(shè)為任一波函數(shù)，且,2力學(xué)量平均值與力學(xué)量算符本征值間的關(guān)系,的本征值：,本征函數(shù),4. 算符與力學(xué)量的關(guān)系The relationship between operator and dynamical va

15、riable,35, 若不是歸一化的波函數(shù)，則, 若 的本征值為分立譜和連續(xù)譜組合,注意,，,4. 算符與力學(xué)量的關(guān)系The relationship between operator and dynamical variable,36,例子,求在能量本征態(tài) 下的測(cè)量動(dòng)量和動(dòng)能的平均值,在能量本征態(tài)下測(cè)量到的平均值即該態(tài)所對(duì)應(yīng)能量的本征值,4. 算符與力學(xué)量的關(guān)系The relationship between operator and dynamical variable,37,則 與 不對(duì)易,1算符的對(duì)易關(guān)系,若 ，,則稱 與 對(duì)易,若 ，,則稱 與 不對(duì)易,引入對(duì)易子：,則 與 對(duì)易,設(shè)

16、 與 是兩個(gè)算符,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,38,（1） 力學(xué)量算符的基本對(duì)易關(guān)系,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,39,證明,5.算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,40,prove:,（2）對(duì)

17、易恒等式,雅可比恒等式,雙線性,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,41,2力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件,定理:,若算符 和 具有共同的本征函數(shù)完全系，則 和 必對(duì)易,prove:,逆定理,若兩個(gè)算符 與 對(duì)易，則它們具有共同的本征函數(shù)完全系,（為簡(jiǎn)單起見，先在非簡(jiǎn)并情況下證明） （注：在簡(jiǎn)并的情況下，結(jié)論仍成立）,prove:,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertai

18、nty Principle,42,若兩個(gè)力學(xué)量算符彼此不對(duì)易，則一般說(shuō)來(lái)這兩個(gè)算符表示的兩個(gè)力學(xué)量不能同時(shí)具有確定性，或者說(shuō)不能同時(shí)測(cè)定。,Ex.1 動(dòng)量算符 彼此對(duì)易，它們有共同的本征函數(shù),結(jié)論:,在兩個(gè)算符的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，這兩個(gè)算符所表示的力學(xué)量同時(shí)有確定值；而兩個(gè)算符有共同本征函數(shù)的充要條件是這兩個(gè)算符彼此對(duì)易?；蛘哒f(shuō)兩個(gè)算符同時(shí)有確定值的條件是它們的算符相互對(duì)易。,同時(shí)有確定值：,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,43,考慮積分：,3測(cè)不準(zhǔn)

19、關(guān)系,設(shè) 和 的對(duì)易關(guān)系為 ，即,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,44,由代數(shù)中二次定理知，這個(gè)不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：,（稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系）,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,45,or,此為坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系， 和 不能同時(shí)為零，坐標(biāo)x的均方差越小，則與它共軛的動(dòng)量 px 的均方偏差越大，亦就是說(shuō)，坐標(biāo)愈測(cè)

20、量準(zhǔn)，動(dòng)量就愈測(cè)不準(zhǔn)。,對(duì)于坐標(biāo)和動(dòng)量，,如果 不等于零，則 和 的均方偏差不會(huì)同時(shí)為零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著 F 和 G 不能同時(shí)測(cè)定。,5.算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,46,由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 看出：若兩個(gè)力學(xué)量算符 和 不對(duì)易，則一般說(shuō)來(lái) 與 不能同時(shí)為零，即F 和G 不能同時(shí)測(cè)定（但注意， 的特殊態(tài)可能是例外），或者說(shuō)它們不能有共同本征態(tài)。反之，若兩個(gè)厄米算符 和 對(duì)易，則可以找出這樣的態(tài)，使 和 同時(shí)滿足，即可以找出它們的共同本征態(tài)。,測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

21、的應(yīng)用,利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算線性諧振子的零點(diǎn)能,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,47,諧振子的能量,Solve：,平均能量：,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,48,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle

22、,49,故所謂零點(diǎn)能即為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系要求的最小能量，零點(diǎn)能在舊量子理論是沒有的,（零點(diǎn)能）,5. 算符對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute; The Heisenberg Uncertainty Principle,50,此式表明力學(xué)量平均值隨時(shí)間發(fā)生變化有兩方面的原因:,6.力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律 The dynamical variable with respect to time The conservation laws,1、力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化,（1）,51,由薛定諤方程：,代入（1）：,因 是厄米算符,6.力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律

23、 The dynamical variable with respect to time The conservation laws,52,（2）,利用對(duì)易子記號(hào),則,6.力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律 The dynamical variable with respect to time The conservation laws,53,力學(xué)量 的平均值 不隨時(shí)間而變化,則稱 為運(yùn)動(dòng)積分，或 在運(yùn)動(dòng)中守恒。,2、運(yùn)動(dòng)積分力學(xué)量守恒的條件,若：力學(xué)量算符 不顯含時(shí)間t，且與哈米頓算符 對(duì)易,則有,常量,結(jié)論:,即 ，,6.力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律 The dynamical variable w

24、ith respect to time The conservation laws,54,又,故,自由粒子的動(dòng)量是運(yùn)動(dòng)積分動(dòng)量守恒,守恒,例1：自由粒子的動(dòng)量,不顯含時(shí)間,6.力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律 The dynamical variable with respect to time The conservation laws,55,例3：哈米頓算符不顯含時(shí)間的體系能量,當(dāng) 不顯含t時(shí)，,又,即：能量守恒定律！,6.力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律 The dynamical variable with respect to time The conservation laws,56,空間反演算符也稱為宇稱算符,3、哈米頓算符對(duì)空間反演時(shí)的不變宇稱,空間反演：,空間反演算符,反演算符 的本征值,6.力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律 Th