1、第一章 第1.1.1節(jié)：正弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)應(yīng)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、比較推、導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識(shí)，同事通過三角函數(shù)，向量與正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來幫助學(xué)生初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：正弦定理的探索、證明及基本應(yīng)用；難點(diǎn)：正弦定理應(yīng)用中“已知兩角和其中一邊的對(duì)角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。學(xué)法指導(dǎo)

2、通過對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)應(yīng)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、比較推、導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力。D知識(shí)鏈接 本節(jié)內(nèi)容安排在第一章正弦定理第一課時(shí)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸。E自主學(xué)習(xí)提出問題如圖，在RtABC中，A30，斜邊c2，問題1：ABC的其他邊和角為多少？提示：B60，C90，a1，b.問題2：試計(jì)算，的值，三者有何關(guān)系？提示：2，2，2，三者的值相等問題3：對(duì)于任意的直角三角

3、形是否也有類似的結(jié)論？提示：是如圖sin A，c.sin B，c.sin C1，.問題4：在鈍角ABC中，BC30，b，試求其他邊和角提示：如圖，ACD為直角三角形，C30AC，則AD，CD，BC3.AB，BAC120.問題5：?jiǎn)栴}4中所得數(shù)字滿足問題3中的結(jié)論嗎？提示：滿足問題6：若是銳角三角形上述結(jié)論還成立嗎？提示：都成立導(dǎo)入新知1正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.2解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形化解疑難對(duì)正弦定理的理解(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立(2

4、)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系(4)主要功能：正弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化F.合作探究已知兩角及一邊解三角形例1在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.解A180(BC)180(6075)45.由得，b4，由得，c4(1)A45，b4，c4(1)類題通法已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊注意：若已知角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值

5、(這時(shí)應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如754530)，再根據(jù)上述思路求解活學(xué)活用1在ABC中，已知c10，A45，C30，解這個(gè)三角形解：A45，C30，B180(AC)105.由得a10.由得b20sin 75，sin 75sin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，b2055.已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解這個(gè)三角形解，sin C，C60或C120.當(dāng)C60時(shí)，B75，b1；當(dāng)C120時(shí)，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.類題通法已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)的方法(1)

6、首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論活學(xué)活用2在ABC中，若c，C，a2，求A，B，b.解：由，得sin A.A或A.又ca，CA，只能取A，B，b1.判斷三角形的形狀例3在ABC中，sin2 Asin2 Bsin2 C，且sin A2sin Bcos C試判斷ABC的形狀解由正弦定理，得sin A，sin B，sin C.sin2 Asin2 Bsin2 C，222，即a

7、2b2c2，故A90.C90B，cos Csin B.2sin Bcos C2sin2 Bsin A1.sin B.B45或B135(AB225180，故舍去)ABC是等腰直角三角形類題通法1判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷2判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別活學(xué)活用3在ABC中，若bacos C，試判斷該三角形的形狀解：bacos C，2

8、R.(2R為ABC外接圓直徑)sin Bsin Acos C.B(AC)，sin (AC)sin Acos C.即sin Acos Ccos Asin Csin Acos C，cos Asin C0，A、C(0，)，cos A0，A，ABC為直角三角形典例在ABC中，已知a2，b2，A60，則B_.解析由正弦定理，得sin Bb2.0B180，B30，或B150.ba，根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知BA，B150不符合條件，應(yīng)舍去，B30.答案30易錯(cuò)防范1由sin B得B30，或150，而忽視b2a2，從而易出錯(cuò)2在求出角的正弦值后，要根據(jù)“大邊對(duì)大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍成功破障在AB

9、C中，a，b，c分別是角A，B, C所對(duì)應(yīng)的邊，且b6，a2，A30，求ac的值. 解：由正弦定理得sin B.由條件b6，a2，ba知BA.B60或120.(1)當(dāng)B60時(shí)，C180AB180306090.在RtABC中，C90，a2，b6，c4，ac2424.(2)當(dāng)B120時(shí)，C180AB1803012030，AC，則有ac2.ac2212.G.課堂小結(jié)由學(xué)生整理學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？有什么收獲？H達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1在ABC中，下列式子與的值相等的是()A.B.C.D.解析：選C由正弦定理得，所以.2(2013瀏陽(yáng)高二檢測(cè))在ABC中，若sin Asin B，則A與B的大小關(guān)系為()AABB

10、Asin B，2Rsin A2Rsin B，即ab，故AB.3一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別等于120和45，若45角所對(duì)的邊長(zhǎng)是4，那么120角所對(duì)邊長(zhǎng)是()A4 B.12C4 D12解析：選D若設(shè)120角所對(duì)的邊長(zhǎng)為x，則由正弦定理可得：，于是x12，故選D.4ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則()A2 B.2C.D.解析：選D由正弦定理，得sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.所以sin Bsin A.5以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯(cuò)誤的是()A在ABC中，abcsin As

11、in Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，則abC在ABC中，若sin Asin B，則A B，若AB，則sin Asin B都成立D在ABC中，解析：選B由正弦定理易知A，C，D正確對(duì)于B，由sin 2Asin 2B，可得AB，或2A2B，即AB，或AB，ab，或a2b2c2，故B錯(cuò)誤. 二、填空題6在ABC中，若a14，b7，B60，則C_.解析：由正弦定理知，又a14，b7，B60，sin A，ab，AB，A45，C180(BA)180(6045)75.答案：757在ABC中，B30，C120，則abc_.解析：A180BC30，由正弦定理得abcsin Asin Bsin C，即abcsin 30sin 30sin 12011.答案：118在ABC中，若A120，AB5，BC7，則sin B_.解析：由正弦定理，得sin C.可知C為銳角，cos C.sin Bsin(180120C)sin(60C)sin 60cos Ccos 60sin C.答案：三、解答題9(2011安徽高考)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高解：由12cos(BC)0和BCA，得12cos A0，所以cos A，sin A.再由正弦定理，得sin B.由ba知B