1、第5章,塑性力學(xué),塑性本構(gòu)變形,China UNIVERSITY of Mining & Technology,第五章 塑性本構(gòu)關(guān)系,5.1 彈性本構(gòu)關(guān)系 5.2 Drucker公設(shè) 5.3 加載、卸載準(zhǔn)則 5.4 增量理論（流動(dòng)理論） 5.5 全量理論（形變理論） 5.6 巖土力學(xué)中的Coulomb屈服條件和 流動(dòng)法則,塑性力學(xué),5.1 彈性本構(gòu)關(guān)系,在彈性階段，材料的本構(gòu)關(guān)系即廣義Hooke定律：,張量寫法：,其中,其中,（5-1）,（5-2）,為平均正應(yīng)力。,將三個(gè)正應(yīng)變相加，得：,（5-3）,記：平均正應(yīng)變,體積彈性模量,則平均正應(yīng)力與平均正應(yīng)變的關(guān)系：,（5-4）,（5-5）,（5-

2、2）式用可用應(yīng)力偏量 和應(yīng)變偏量 表示為,包含5個(gè)獨(dú)立方程,（5-2）,由（5-5）,由等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的關(guān)系：,或,可得：,（5-8）,當(dāng)應(yīng)力從加載面（后繼屈服面）卸載時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變的全量不滿足廣義Hooke定律，但它們的增量仍滿足廣義Hooke定律。,（5-9）,Mises屈服條件的物理解釋中將彈性應(yīng)變能分解為體積應(yīng)變能和形狀改變比能。這里，由彈性本構(gòu)關(guān)系將三者表示為：,5.2 Drucker公設(shè),兩類力學(xué)量,外變量：能直接從外部可以觀測得到的量。如總應(yīng)變，應(yīng)力等。,內(nèi)變量：不能直接從外部觀測的量。如塑性應(yīng)變，塑性功等。,內(nèi)變量只能根據(jù)一定的假設(shè)計(jì)算出來。,關(guān)于塑性應(yīng)變和塑性功的假設(shè)：,

3、1、材料的塑性行為與時(shí)間，溫度無關(guān)。,2、應(yīng)變可分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。,3、材料的彈性變形規(guī)律不因塑性變形而改變。,根據(jù)以上假設(shè)，內(nèi)變量 可以由外變量 表示出來。,對于各向同性材料：,（5-12）,這樣，內(nèi)變量 也可以由外變量 表示出來。,將總功分解為彈性功和塑性功。,對于各向同性材料：,（5-13）,（5-14）,Drucker公設(shè):,對于處于在某一狀態(tài)下的材料質(zhì)點(diǎn)（或試件），借助一個(gè)外部作用，在其原有的應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應(yīng)力，在這附加應(yīng)力的施加和卸除的循環(huán)內(nèi)，外部作用所做的功是非負(fù)的。,單元體在應(yīng)力狀態(tài) 下處于平衡。,在單元體上施加一附加力，使應(yīng)力達(dá)到 ， 剛好在加

4、載面上，即開始發(fā)生塑性變形。,繼續(xù)加載至 ，在這期間，將產(chǎn)生 塑性應(yīng)變 。,最后，將應(yīng)力又卸回到 。完成應(yīng)力循環(huán)。,應(yīng)力循環(huán)的過程：,圖5-1,以 表示應(yīng)力循環(huán)過程中任一時(shí)刻的瞬時(shí)應(yīng)力狀態(tài)。,按Drucker公設(shè)，附加應(yīng)力 在應(yīng)力循環(huán)中所作的功非負(fù)。,（5-17）,在應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力在彈性應(yīng)變上的功為0，即,（5-18）,故（5-17）式寫成,（5-19）,在整個(gè)應(yīng)力循環(huán)中，只在應(yīng)力從 到 的過程中產(chǎn)生塑性應(yīng)變。,當(dāng) 為小量時(shí)，上述積分變?yōu)椋?（5-20）,這就是圖5-1所示的陰影部分面積。,兩個(gè)重要的不等式：,當(dāng) 處于加載面的內(nèi)部，即 ，由于 是高階小量，則,（5-20）,當(dāng) 正處于加載面上

5、，即 ，則,（5-21）,由此可對屈服面形狀與塑性應(yīng)變增量的特性導(dǎo)出兩個(gè)重要的結(jié)論。,1、屈服曲面的外凸性。,2、塑性應(yīng)變增量向量與加載面的外法線方向一致正交性法則。,當(dāng) 處于加載面上，Drucker公設(shè)導(dǎo)致的（5-21）通常叫作Drucker穩(wěn)定性條件。,1、屈服曲面的外凸性。,圖中，A0和A分別表示應(yīng)力狀態(tài) 和 。,向量 代表 。,用 表示 。,則（5-20）為,（5-22）,可見，應(yīng)力增量向量 與塑性應(yīng)變增量向量 之間的夾角必須小于900,屈服曲面必須是凸的。,如果屈服面是凹的，則5-22式不滿足。,2、塑性應(yīng)變增量向量與加載面的外法線方向一致正交性法則。,n加載面在A點(diǎn)的外法向。,如果

6、 與n不重合，則總可以找到A0， 使5-22式不成立。,因此， 必須與加載面 的外法線重合。,的外法線方向即其梯度方向。,可表示為：,（5-23）,5.3 加載、卸載準(zhǔn)則,Drucker穩(wěn)定性條件：,由于 與外法線n同向，上式改寫成：,只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面外部時(shí)，材料才能產(chǎn)生塑性變形。,（5-25）,（5-26）,判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：,（1） 是否在 上。,（2） 是否指向 的外部。,加卸載準(zhǔn)則,加載：指材料產(chǎn)生新的塑性變形的應(yīng)力改變。 卸載：指材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應(yīng)力改變。,、理想材料的加卸載準(zhǔn)則,理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。,由于屈服面不能擴(kuò)大，所以

7、當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)達(dá)到屈服面上， 應(yīng)力增量 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。,對于Tresca屈服面：,加載,卸載,二、強(qiáng)化材料的加載、卸載準(zhǔn)則,強(qiáng)化材料的加載面在應(yīng)力空間不斷擴(kuò)張或移動(dòng)。,這里，中性變載相當(dāng)于應(yīng)力點(diǎn)沿加載面切向變化， 應(yīng)力維持在塑性狀態(tài)但加載面并不擴(kuò)張的情況。,5.4 增量理論（流動(dòng)理論）,一、概述,塑性本構(gòu)關(guān)系,材料超過彈性范圍之后的本構(gòu)關(guān)系。此時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變之間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，只能建立應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系。,這種用增量形式表示的塑性本構(gòu)關(guān)系，稱為增量理論或流動(dòng)理論。,進(jìn)入塑性階段后，應(yīng)變增量可以分解為彈性部分和塑性部分。,由Hooke定律，,由Drucker公設(shè)

8、，,（5-30）,（5-31）,（5-32）,進(jìn)入塑性階段后，應(yīng)變增量可以分解為彈性部分和塑性部分。,由Hooke定律，,由Drucker公設(shè)，,（5-30）,（5-31）,給出了塑性應(yīng)變增量 與加載函數(shù) 之間的關(guān)系。,流動(dòng)法則,（5-32）,將（5-31）、（5-32）代入（5-30）得：,增量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系：,（5-33）,塑性位勢理論,將塑性應(yīng)變增量表示為塑性位勢函數(shù)對應(yīng)力取微商。,（5-34）,其中 是塑性位勢函數(shù)。,兩種情況：,1、服從Drucker公設(shè)的材料，塑性勢函數(shù)g就是加載函數(shù)， 即 ，此時(shí)（5-34）式稱為與加載條件相關(guān)連的流動(dòng)法則。,由于加載面和塑性應(yīng)變增量正交，也稱

9、為正交流動(dòng)法則。,2、當(dāng)加載面和塑性應(yīng)變增量不正交， 此時(shí)（5-34）式 稱為與加載條件非關(guān)連的流動(dòng)法則。主要用于巖土材料。,二、理想塑性材料與Mises條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則,對于理想塑性材料，屈服函數(shù)f就是加載函數(shù)。,流動(dòng)法則寫成：,（5-35）,Mises屈服條件：,有,故理想塑性材料與Mises條件相關(guān)連的流動(dòng)法則為：,（5-36）,1、理想彈塑性材料,按照廣義Hooke定律求得彈性應(yīng)變增量，再與（5-36）式所得 的塑性應(yīng)變增量疊加，就得到理想彈塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系,Prandtl-Reuss關(guān)系,對理想塑性材料，比例系數(shù) 要聯(lián)系屈服條件來確定。,Mises屈服條件,此時(shí),可見，給定

10、應(yīng)力 和應(yīng)變增量 時(shí)從Prandtl-Reuss關(guān)系可以求出 及應(yīng)力增量 。,但反過來，如果給定的是 則定不出 ，也就求不出 。,給定應(yīng)力求不出應(yīng)變增量，這正反映出理想塑性材料的特點(diǎn)。,（5-38）,由于塑性變形消耗功，所以 ，則 。,2、理想剛塑性材料Levy-Mises關(guān)系,當(dāng)塑性應(yīng)變增量比彈性應(yīng)變增量大得多時(shí)，可略去彈性應(yīng)變增量，從而得到適用于理想剛塑性材料的Levy-Mises關(guān)系,（5-39）,此式表明應(yīng)變增量張量與應(yīng)力偏張量成比例，也可以寫成,（5-40）,如果（5-40）的后三個(gè)分式的分母為零，則其分子必須同時(shí)為零。這說明Levy-Mises關(guān)系要求應(yīng)變增量張量的主軸與主應(yīng)力軸重

11、合。,利用Mises屈服條件,可以得到,將（5-41）式代回（5-39）式，可求出,對于剛塑性材料,將（5-38）式與（5-41）式加以比較就發(fā)現(xiàn)：,（5-41）,（5-44）,（5-45）,3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,理想塑性材料與Mises條件相關(guān)連的流動(dòng)法則：,對應(yīng)于平面上， 與 二向量在由坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的同一條射線上。,Lode（1926）采用薄壁圓管受軸力和內(nèi)壓同時(shí)作用的實(shí)驗(yàn)。,實(shí)驗(yàn)中使用的參數(shù)：,實(shí)驗(yàn)表明， 大致相等，,在消除了實(shí)驗(yàn)用薄管的各向異性后，結(jié)果表明兩個(gè)Lode參數(shù)相等。,三、理想塑性材料與Tresca條件相關(guān)連的流動(dòng)法則,與Mises條件相關(guān)連的流動(dòng)法則相比，與Tresca條件相關(guān)連的

12、流動(dòng)法則有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：,2、在Tresca六角柱的棱線上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的角點(diǎn)上），不存在唯一的外法線。,1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的直邊上），給出沿外法向的 并不能就此確定S，因?yàn)橥粋€(gè)屈服平面上的任一點(diǎn)都具有相同的外法向。,實(shí)際上，角點(diǎn)可以看成是一段光滑曲線無限縮小的極端情況，因此角點(diǎn)的法線不唯一，而可為上述夾角范圍內(nèi)的任一方向。,考察圖5-11中的角點(diǎn)B。它的兩側(cè)面，AB面和BC面的方程分別為：,對AB面,同理，對BC面有,角點(diǎn)B處的塑性應(yīng)變增量可以AB面和BC面上的塑性應(yīng)變增量的線性組合得到。,其中,四、強(qiáng)化材料的增量本構(gòu)關(guān)系,Duck

13、er公設(shè),可令,其中h0稱為強(qiáng)化模量，依賴于加載面的變化規(guī)律，一般不為常數(shù)。,稱為線性增量理論。,這樣就有：,間成線性關(guān)系，這時(shí),具有Mises加載條件的等向強(qiáng)化材料,加載面,在加載時(shí)，雖然 ，但應(yīng)力點(diǎn)始終保持在擴(kuò)大的加載面上，因而 的全微分 為零，即,（5-51）,（5-52）,則,即,代入（5-52）式得,（5-53）,（5-54）,上式左邊自乘求和得 右邊自乘求和得，,比較這二者，可知 =1，或,利用（5-51）和（5-55）式，得出,其中 可由簡單拉伸曲線來決定。事實(shí)上，退化到簡單拉伸情形時(shí)（5-51）式就是 ，即,它就是曲線 的斜率。作為特例，在線性強(qiáng)化時(shí)就有:,（5-55）,（5-

14、56）,（5-57）,5.5 全量理論（形變理論）,認(rèn)為應(yīng)力和應(yīng)變之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，因而用應(yīng)力和應(yīng)變的全量建立起來的塑性本構(gòu)方程，又稱形變理論。,全量理論,在單調(diào)加載的情況下應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，這時(shí)塑性變形相當(dāng)于非線性彈性問題，可用全量理論求解。,一、 理論,基本假定:,1. 物體是各向同性的；,2. 體積改變服從彈性定律:,其中,3. 應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量成正比,(5-58),其中 是一個(gè)標(biāo)量，它是應(yīng)力張量和應(yīng)變張量不變量的待定函數(shù)。,由假設(shè)3可得，主剪應(yīng)變與主剪應(yīng)力成正比,即,(5-59),在（5-58）式中，如果取,可得彈性狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,即Hooke定律。,在彈

15、塑性變形的情況下，若令,則可以認(rèn)為是彈塑性變形時(shí)的折算剪切模量。,（5-58）式可寫成,（5-60）,彈性部分,塑性部分,將 兩邊自乘后開方，有：,（5-61）,（5-62）,于是，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系:,全量建立起來的塑性本構(gòu)關(guān)系理論,（5-63）,二、簡單加載和單一曲線假定,簡單加載：,單元體的應(yīng)力張量各分量之間的比值保持不變， 按同一參量單調(diào)增長。,復(fù)雜加載：不滿足這一條件的加載情形。,對于Mises條件，不論強(qiáng)化模型如何， 加載路徑始終沿半徑方向。即 沿 的方向。,而 的方向可由 表示。,則,加入彈性應(yīng)變增量,此即理想彈塑性材料的Prandtl-Reuss關(guān)系,在簡單加載條件下，將上式積分，得

16、,在簡單加載條件下增量理論同全量理論是等價(jià)的。,單一曲線假定:,實(shí)驗(yàn)證明，只要是簡單加載或偏離簡單加載不大，盡管在主應(yīng)力空間中射線方向不同， 曲線可近似地用單向拉伸曲線表示。,三、簡單加載定理,簡單加載定理（，1946）：,如果滿足下面一組充分條件，物體內(nèi)部每個(gè)單元體都處于簡單加載之中。這組條件是：,1.小變形； 2.材料不可壓縮，即 ； 3.載荷按比例單調(diào)增長，如果有位移邊界條件，則只能是零位移邊界條件； 4.材料的 曲線具有冪函數(shù)的形式。,其中，1、3是必要條件，2、4是充分而非必要條件。,四、幾種理論的總結(jié)與比較,與增量理論相比，全量理論應(yīng)用起來方便得多，因?yàn)樗鼰o須按照加載路徑逐步積分。全量理論的加載路徑允許和簡單加載路徑有一定的偏離。這樣造成的誤差有時(shí)并不大，比如屈曲分析。,5.6 巖土力學(xué)中的Coulomb屈服條件和流動(dòng)法則,巖土材料的特點(diǎn)：,屈服應(yīng)力和破壞應(yīng)力都會隨著靜水壓力的增加而增大。,即使是各向同性，屈服條件也應(yīng)采用下面的一般形式：,巖土材料的破裂準(zhǔn)則：,單元體的任何截面上的剪應(yīng)力 都不能超過某一臨界值。 當(dāng) 超過該臨界值時(shí)，材料就要發(fā)生剪切滑移。,（5-67）,C