1、3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【教學(xué)過(guò)程】2.講授新課1.引例：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？（1）用不等式組表示問(wèn)題中的限制條件：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組： .（1）（2）畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域：如圖，圖中的陰影部分的整點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。（3）提出新問(wèn)題：進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，采用哪種生產(chǎn)安排

2、利潤(rùn)最大？（4）嘗試解答：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為z,則z=2x+3y.這樣，上述問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x,y滿足不等式（1）并且為非負(fù)整數(shù)時(shí)，z的最大值是多少？把z=2x+3y變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線。當(dāng)z變化時(shí)，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個(gè)點(diǎn)，（例如（1，2），就能確定一條直線（），這說(shuō)明，截距可以由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定?？梢钥吹剑本€與不等式組（1）的區(qū)域的交點(diǎn)滿足不等式組（1），而且當(dāng)截距最大時(shí)，z取得最大值。因此，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組（1）確定的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)

3、P，使直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)截距最大。（5）獲得結(jié)果：由上圖可以看出，當(dāng)實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M（4，2）時(shí)，截距的值最大，最大值為，這時(shí)2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)14萬(wàn)元。2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問(wèn)題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題可行解、可行

4、域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解3、 變換條件，加深理解探究：課本第88頁(yè)的探究活動(dòng)（1） 在上述問(wèn)題中，如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，有應(yīng)當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)？在換幾組數(shù)據(jù)試試。（2） 有上述過(guò)程，你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎？（3） 典型分析a) 營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)

5、28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07若設(shè)每天食用x kg食物A，y kg食物B，總成本為z，如何列式？由題設(shè)條件列出約束條件其目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y.二元一次不等式組等價(jià)于考慮z=28x+21y,將它變形為,這是斜率為、隨z變化的一族平行直線.是直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最小值時(shí)，z的值最小.當(dāng)然直線與可行域相

6、交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y取得最小值.由圖可見(jiàn)，當(dāng)直線z=28x+21y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距z28最小，即z最小.解方程組得點(diǎn)M(,)，因此，當(dāng),時(shí)，z=28x+21y取最小值，最小值為16.由此可知每天食用食物A約143克，食物B約571克，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元.例1.設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值【思維導(dǎo)圖】作直線，平移此直線使目標(biāo)函數(shù)取最值作出不等式組表示的平面區(qū)域代入求最值【解答關(guān)鍵】首先作出三條直線，然后判斷不等式組表示的平面區(qū)域，然后作直線，平移此直線確定目標(biāo)函數(shù)取最大值或最小值的點(diǎn)，把最優(yōu)解代入求目標(biāo)函數(shù)的最大

7、（小）值.【規(guī)范解答】作出可行域（如圖）.令，作直線：.把直線向上平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的的函數(shù)值隨之增大，從圖上可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)頂點(diǎn)B、A時(shí)，分別取得最小值、最大值.解方程組，得；解方程組，得.所以， 3.隨堂練習(xí)1請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合課本P91練習(xí)1來(lái)掌握?qǐng)D解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 滿足約束條件解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，z=2x+y=0點(diǎn)（0，0）在直線:2x+y=0上.作一組與直線平行的直線:2x+y=t,tR. 可知，在經(jīng)過(guò)不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，-1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大

8、.所以zmax=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過(guò)不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最小，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=3+5=144.課時(shí)小結(jié)5. 作業(yè)課本第93頁(yè)習(xí)題A組的第2題.五 課堂小結(jié)1了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念。2用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的

9、平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解六 作業(yè)課本P93 習(xí)題3.3 A組 3、4題2.講授新課線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)下面我們就來(lái)看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用：范例講解例3、一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t 、硝酸鹽18 t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t 、硝酸鹽15 t?，F(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10t 、硝酸鹽66 t，在此基礎(chǔ)

10、上生產(chǎn)這兩種混合肥料。若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為5000元。那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x(chóng)車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤(rùn)z萬(wàn)元。目標(biāo)函數(shù)為畫(huà)出可行域。把變形為，得到斜率為，在y 軸上的截距為，隨z變化的一組平行直線。由此觀察出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距為最大，即z最大。 解方程組 得M的坐標(biāo)為由此可知，生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3萬(wàn)元。變式訓(xùn)練2某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為45個(gè)與55個(gè)，所用原料分別為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為

11、2 m2與3 m2.用A種規(guī)格的金屬板可造甲種產(chǎn)品3個(gè)，乙種產(chǎn)品5個(gè)；用B種規(guī)格的金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個(gè).問(wèn)A、B兩種規(guī)格金屬板各取多少?gòu)?，才能完成?jì)劃，并使總的用料面積最??？思路分析：本題屬于給定一項(xiàng)任務(wù)，問(wèn)怎樣統(tǒng)籌安排才能使完成這項(xiàng)任務(wù)的人力、物力資源量最小的題型.解決這類問(wèn)題的方法是：首先根據(jù)題意列出不等式組（線性約束條件），確立目標(biāo)函數(shù)；然后由約束條件畫(huà)出可行域；最后利用目標(biāo)函數(shù)平移，在可行域內(nèi)找出使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的點(diǎn)，從而求出符合題意的解.圖3-3-10解：設(shè)A、B兩種金屬板各取x張、y張，用料面積z,則約束條件為目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，

12、即可行域，如圖3-3-10所示.z=2x+3y變?yōu)閥=-x+，得斜率為-，在y軸上的截距為，且隨z變化的一族平行線.當(dāng)直線z=2x+3y過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最小，z最小.解方程組得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,5).此時(shí)zmin=25+35=25(m2).答：兩種金屬板各取5張時(shí)，用料面積最省.3.隨堂練習(xí)例1.某運(yùn)輸公司向某地區(qū)運(yùn)送物資，每天至少運(yùn)送180噸該公司有8輛載重為6噸的A型卡車與4輛載重為10噸的B型卡車，有10名駕駛員每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型車4次，B型車3次每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型車320元，B型車為504元試為該公司設(shè)計(jì)調(diào)配車輛的方案，使公司花費(fèi)的成本最低解：設(shè)每天調(diào)出A

13、型車輛，B型車輛，公司花費(fèi)成本元，則約束條件為，即， 目標(biāo)函數(shù)為作出可行域（如圖），作直線：，平移此直線當(dāng)經(jīng)過(guò)直線與軸的交點(diǎn)時(shí)，有最小值但不是整點(diǎn)由圖可知，經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最近的直線是，經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是，它是最優(yōu)解因此，公司每天調(diào)出A型車8輛時(shí)，花費(fèi)成本最低4.課時(shí)小結(jié)線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問(wèn)題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)。然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫(huà)出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解，最后，要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解。 5. 作業(yè)課本第93頁(yè)習(xí)題3.3A組的第3題例

14、3已知，求的取值范圍.【解答關(guān)鍵】分別以為橫軸和縱軸建立坐標(biāo)系，則分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，作出可行域，求直線交點(diǎn)，得目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值.【規(guī)范解答】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線：，把直線向下平移時(shí)，隨之增大，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值，由和分別得，所以，所以，【知識(shí)整合】已知幾個(gè)二元一次式的范圍，求另外一個(gè)二元一次式的范圍問(wèn)題，通常有兩種解法，通常有兩種解法：(1).利用線性規(guī)劃知識(shí)求解,(2)把所求式子用.用已知范圍的二元一次式表示后，再利用不等式的性質(zhì)求解.3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（3）三、教學(xué)流程求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值（1）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)均可化為求可行域內(nèi)

15、的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離的最值問(wèn)題；（2）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率的倍的范圍、最值等.（2）舉例分析例1 已知實(shí)數(shù)x、y滿足.(1)求的最大值和最小值;(2)求的最小值.解：畫(huà)出可行域，得出直線交點(diǎn)坐標(biāo)，把轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，通過(guò)求斜率解決；把轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(0,0)之間距離的平方，結(jié)合圖形可知，的最小值為原點(diǎn)到直線BC的距離的平方.【規(guī)范解答】畫(huà)出可行域，通過(guò)解方程組得,，(1)由于，所以z的幾何意義是點(diǎn)與點(diǎn)M連線的斜率，因此的最值就是點(diǎn)與點(diǎn)M連線的斜率的最值，結(jié)合圖形可知：直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，即zmax=kMB=3；zmin=kMC=.(2)由于表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的平方,由圖形可知的最小值為點(diǎn)(0,0)到直線BC:距離的平方,又點(diǎn)(0,0)到直線BC:距離,所以的最小值為.例2、設(shè)滿足約束條件組，求的最大值和最小值。解：由知，代入不等式組消去得，代入目標(biāo)函數(shù)得，作直線：，作一組平行線：平行于，由圖象知，當(dāng)往左上方移動(dòng)時(shí)，隨之增大，當(dāng)往右下方移動(dòng)時(shí)，隨之減小，所以，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，所以，例3、（1）已知