1、四川省古藺縣中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修三：3.3.1幾何概型 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 了解幾何概型的概念及基本特點(diǎn)； 2. 掌握幾何概型中概率的計(jì)算公式； 3. 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算 知識(shí)情境： 1. 基本事件的概念: 一個(gè)事件如果 事件，就稱作基本事件.基本事件的兩個(gè)特點(diǎn):10.任何兩個(gè)基本事件是 的；20.任何一個(gè)事件(除不可能事件)都可以 . 2. 古典概型的定義：古典概型有兩個(gè)特征：10.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件 ；20.各基本事件的出現(xiàn)是 ，即它們發(fā)生的概率相同具有這兩個(gè)特征的概率稱為古典概率模型. 簡(jiǎn)稱古典概型. 3. 古典概型的概率公式, 設(shè)一試驗(yàn)有n個(gè)等可能的基本事件，而事件A恰包含其中

2、的m個(gè) 基本事件，則事件A的概率P(A)定義為： 。問題情境：試驗(yàn)取一根長(zhǎng)度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷 試驗(yàn)射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色,黑色,藍(lán)色,紅色,靶心是金色奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為，靶心直徑為運(yùn)動(dòng)員在外射箭假設(shè)射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的 問題：對(duì)于試驗(yàn)：剪得兩段的長(zhǎng)都不小于的概率有多大？ 試驗(yàn)：射中黃心的概率為多少？3.分析：試驗(yàn)中,從每一位置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長(zhǎng)度為的繩上的任意一點(diǎn)試驗(yàn)2中,射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件,點(diǎn)可以是靶面直徑為的圓內(nèi)的任一點(diǎn)在這兩個(gè)問題中，雖然類似于古典概型的等可能性,但是基本事件有無限多個(gè)，顯然不

3、能用古典概型的方法求解那么, 怎么求解?考慮第一個(gè)問題，記事件剪得兩段的長(zhǎng)都不小于把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件發(fā)生由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的 ，于是事件發(fā)生的概率 第二個(gè)問題，記事件射中黃心為，由于中靶心隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心內(nèi)時(shí)，事件發(fā)生，于是事件發(fā)生的概率 新知生成：1.幾何概型的概念：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概

4、型2.幾何概型的基本特點(diǎn)：（）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；（）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等3.幾何概型的概率公式：在區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn), 記事件該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)，則事件發(fā)生的概率 = 說明：（）的測(cè)度不為；（）其中測(cè)度的意義依確定，當(dāng)分別是線段,平面圖形,立體圖形時(shí)，相應(yīng)的測(cè)度分別是長(zhǎng)度，面積和體積（） 區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無關(guān)例2 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率例3 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大

5、陸架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是多少？例4 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？參考答案:1. 隨機(jī)事件的概念（1）必然事件：每一次試驗(yàn)都一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件；（2）不可能事件：任何一次試驗(yàn)都不可能出現(xiàn)的事件，叫不可能事件；（3）隨機(jī)事件:隨機(jī)試驗(yàn)的每一結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)叫的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱為事件.2.基本事件的概念: 一個(gè)事件如果不能再被分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上事件，就稱作基本事件. 基本事件的兩個(gè)特點(diǎn):10.任何兩個(gè)基本事件是互斥的；20.任何一個(gè)事件(除不可能事件)都可以表示成

6、基本事件的和. 古典概型有兩個(gè)特征：10.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；20.各基本事件的出現(xiàn)是等可能的，即它們發(fā)生的概率相同P（A）=考慮第一個(gè)問題，記剪得兩段的長(zhǎng)都不小于為事件把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件發(fā)生由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的，于是事件發(fā)生的概率 第二個(gè)問題，記射中黃心為事件,因中靶心隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心內(nèi)時(shí)，事件發(fā)生，于是事件發(fā)生的概率例1分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)。解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6

7、6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型例2分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班,他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件.解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于50,60這一時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為小結(jié)：在本例中，到站等車的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從0,60上的均勻分布，X為0,60上的均勻隨機(jī)數(shù)例3分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的, 而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，由幾何概型公式可以求得概率。解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= =0.004答：鉆到油層面的概率是0.004例4分析：病種子在這1升中的分布可以看