1、1.1.1 任意角皰工巧解牛知識巧學(xué)一、正角、負(fù)角、零角1.一條射線的端點是O，它從初始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成一個角，點O是角的頂點，射線OA、OB分別是角的始邊、終邊.我們規(guī)定，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫正角；按順時針旋轉(zhuǎn)形成的角叫負(fù)角；若射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，形成的角叫零角，這樣就把角的概念推廣到了任意角.旋轉(zhuǎn)一周角的大小記為360，如圖1-1-1.圖1-1-12.由于圖1-1-1(1)中的、分別是按逆時針、順時針方向旋轉(zhuǎn)的，所以=45，=-315；圖1-1-1(2)中的=30，=390，=-60.顯然角的大小與旋轉(zhuǎn)的周數(shù)有關(guān)，角的正負(fù)與旋轉(zhuǎn)的方向有關(guān).圖1-1-2如圖1-1-2，

2、射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)90到射線OB的位置，接著再旋轉(zhuǎn)-30到OC的位置，則AOC=AOB+BOC=90+(-30)=60.學(xué)法一得 引入正角、負(fù)角的概念后，角的減法運算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運算，即可以轉(zhuǎn)化-為+(-)，也就是說各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.3.在畫圖表示角時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向，旋轉(zhuǎn)的周數(shù)及角的絕對值的大小，旋轉(zhuǎn)生成的角，又常稱為轉(zhuǎn)角.顯然，如果以第一個角的終邊為始邊作第二個角，以第二個角的終邊為始邊作第三個角，這樣一直作下去，那么所有這些角的和等于以第一個角的始邊為始邊，以最后一個角的終邊為終邊的角的大小.二、象限角1.若把角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非

3、負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除頂點外)在第幾象限，我們說這個角是第幾象限角.圖1-1-3例如：由于圖1-1-3甲中的角45、405、-315都是始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第一象限的角，所以它們都是第一象限角；同理圖1-1-3乙中的角480是第二象限的角，-70、290都是第四象限的角.2.表示各個象限角時，可以先在0360范圍內(nèi)確定角的界限，然后再加上360的整數(shù)倍，如第一象限角，在0360范圍內(nèi)，第一象限角表示為090，然后在兩端加上k360,kZ，即可得到第一象限角的集合：|k360+90k360+90,kZ，其他各象限角同理可得.3.特別地，如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不

4、屬于任何一個象限.例如0、90、-180、630等，這些角都不屬于任何一個象限，我們稱之為非象限角，也叫象限界角.與象限角的確定方法相同,終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為|=k360,kZ.同理可得其他非象限角的集合.深化升華 角以終邊的位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，被分為象限角與非象限角，象限角及非象限角都是相對于坐標(biāo)系而言的.只有在角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合這一前提下，才能討論象限角與非象限角.在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，可以使角的討論得到簡化，還能有效地表示出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.三、與角終邊相同的角1.設(shè)S=|=45+k360,kZ，顯然，所有與45角終邊相同的角都是集

5、合S的元素；反過來，集合S中的任何一個元素也都與45角的終邊相同.把角推廣到一般形式有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S=|=+k360,kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角和的形式.辨析比較 對于這個概念的理解要把握以下三點：kZ；是任意角；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360的整數(shù)倍.2.終邊相同的角的用途：利用與角終邊相同的角的集合，可把任一角轉(zhuǎn)化成=+k360,kZ,0,360)的形式；也可利用與角終邊相同的角化簡終邊落在過原點的某一條直線上的角的集合；或利用與角終邊相同的角寫出各象限角的集合.典題熱題知識點一 各角和的旋轉(zhuǎn)

6、量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和例1 射線OA繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)150到OB位置，接著再按順時針方向旋轉(zhuǎn)60到OC位置，然后再逆時針方向旋轉(zhuǎn)90到OD位置，求AOD的大小.思路分析：我們規(guī)定，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫負(fù)角；若射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，形成的角叫零角，逆時針方向旋轉(zhuǎn)150即+150，順時針方向旋轉(zhuǎn)60即-60，再逆時針方向旋轉(zhuǎn)90即再+90，由此可得結(jié)論.圖1-1-4解：如圖1-1-4，由題意知AOB=150,BOC=-60,COD=90,所以AOD=AOB+BOC+COD=150-60+90=180.方法歸納 在畫圖表示角時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向.

7、顯然，如果以第一個角的終邊為始邊作第二個角，以第二個角的終邊為始邊作第三個角，這樣一直作下去，那么所有這些角的和等于以第一個角的始邊為始邊，以最后一個角的終邊為終邊的角的大小.知識點二 終邊相同的角例2 如圖1-1-5，寫出終邊落在直線y=上的角的集合.(用0到360的角表示)圖1-1-5思路分析：先在0到360之間找到兩個角，使得其終邊分別與射線y=(x0)、y=(x0)重合，再寫出與其終邊相同的角的集合，最后求并集.解：終邊落在y=(x0)上的角的集合是S1=|=60+k360,kZ；終邊落在y=(x0)上的角的集合是S2=|=240+k360,kZ.于是，終邊落在y=上的角的集合是S=S

8、1S2=|=60+k360,kZ|=240+k360,kZ=|=60+2k180,kZ|=60+(2k+1)180,kZ=|=60+180的偶數(shù)倍|=60+180的奇數(shù)倍=|=60+180的整數(shù)倍=|=60+n180,nZ.圖1-1-6巧妙變式：如圖1-1-6，若角的終邊落在y= (x0)與y=(x0)所夾的小區(qū)域內(nèi)，求角的集合.思路點撥：應(yīng)先寫出終邊落在y=(x0)與y=(x0)上的角的集合，再運用不等式寫出所在小區(qū)域內(nèi)的角的集合.所夾的小區(qū)域內(nèi)角的集合是|30+k360150+k360,kZ.方法歸納 若過原點的直線l的傾斜角為，則終邊落在直線l上的角的集合是|=+k180,kZ.當(dāng)k取偶

9、數(shù)時，表示終邊落在直線l所在的上半平面部分；當(dāng)k取奇數(shù)時，表示終邊落在直線l所在的下半平面部分.求兩條射線所夾區(qū)間角的集合的關(guān)鍵是找出與區(qū)間的兩條邊界終邊相同的角的集合.知識點三 象限角的集合例3 試寫出第二象限角的集合.思路分析：表示各個象限角時，可以先在0360范圍內(nèi)確定角的界限，然后再加上360的整數(shù)倍.解：由于第二象限角位于y軸的非負(fù)半軸、x軸的非正半軸之間，而終邊落在y軸的非負(fù)半軸、x軸的非正半軸上的角分別是|=90+k360,kZ與|=k360+180,kZ，所以第二象限角的集合為|k360+90k360+180,kZ.學(xué)法一得 象限角的表示形式并不唯一，還可以有其他的表示形式，如

10、本題的第二象限角的集合，也可以表達(dá)為|k360-180k360-270,kZ.知識點四 各種角的關(guān)系例4 判斷下列命題是否正確，并說明理由.小于90的角是銳角；第一象限的角小于第二象限的角；終邊相同的角一定相等；相等的角終邊一定相同；若90,180，則是第二象限角.思路分析：利用各種角的定義進(jìn)行判斷.解：銳角集合是|090，即(0,90)，它是小于90的正角，而小于90的角還可以是負(fù)角和零角，顯然是錯誤的；由于角的概念的推廣，第一、二象限的角不再局限于0360間的(0,90)與(90,180)，像390是第一象限角，120是第二象限角，顯然390120，所以也是錯誤的；終邊相同的角可能彼此相差

11、360的整數(shù)倍，顯然是錯誤的；由于角的頂點是原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，所以相等的角終邊一定相同，顯然是正確的；由于90、180都不是象限角，顯然是錯誤的.辨析比較 第一象限角、小于90的角、090的角、銳角這四種角的范圍有差別.銳角一定是第一象限角，而第一象限角不都是銳角，小于90的角應(yīng)當(dāng)包括銳角、零角及負(fù)角，在下一節(jié)學(xué)習(xí)了弧度制后，角變?yōu)閷崝?shù)，其大小關(guān)系更加明顯.知識點五 已知角終邊所在的象限，求 (nN,n1)所在的象限例5 是第一象限的角，是第幾象限角？解：是第一象限角，則可以表示為k360k360+90,kZ，于是可得的范圍是k180k180+45,kZ. 當(dāng)k為偶數(shù)時，是第一象

12、限角，當(dāng)k為奇數(shù)時，是第三象限角. 當(dāng)是第一象限角時，位于第一或第三象限.知識點六 終邊不相同的角和區(qū)間角例6 在角的集合|=k90+45,kZ中,(1)有幾種終邊不相同的角？(2)有幾個屬于區(qū)間(-360，360)內(nèi)的角？思路分析：本題主要考查對=k90+45(kZ)所表示的角的認(rèn)識，從代數(shù)角度看，取k=，-2，-1，0，1，2，可以得為，-135，-45，45，135，225，從圖形角度看=k90+45(kZ)，即以角45為基礎(chǔ)，依次加上90的整數(shù)倍，即依次按順時針方向或逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，所得各角如圖1-1-7所示.圖1-1-7解：(1)在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種.(2)由

13、-360k90+45360得k，又kZ，故k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.所以在給定的角的集合中屬于區(qū)間(-360，360)的角共有8個.方法歸納 把代數(shù)計算與對圖形的認(rèn)識結(jié)合起來，會使這類問題處理起來更容易些.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合的方法始終是解決問題的最重要的方法之一，做題時要注意這種思想的應(yīng)用.問題探究誤區(qū)陷阱探究問題 “第一象限角和小于90的角都是銳角.”這句話是否正確？探究過程：角的概念推廣以后，小于90的角由銳角、零角和負(fù)角組成，而第一象限的角包含了銳角和其他終邊在第一象限的角.之所以出現(xiàn)這樣的錯誤，是對任意角的概念理解不夠透徹，認(rèn)為角的范圍是0360.探究結(jié)論：這句話

14、不正確.由于第一象限的角包含了大于90和小于0的角，而小于90的角可能是銳角、零角或負(fù)角，故它們不一定是銳角.思想方法探究問題 已知角的終邊位置，如何判斷的終邊位置？例如，為第一象限角，探求所在的象限.探究過程：因為為第一象限角，即2k2k+,kZ，則+,kZ.當(dāng)k=3n(nZ)，為第一象限角；當(dāng)k=3n+1(nZ)，為第二象限角；當(dāng)k=3n+2(nZ)，為第三象限角.所以為第一、第二、第三象限角.此外，對于確定的終邊位置，還有一種方法八卦圖法.圖1-1-8第一步：畫出直角坐標(biāo)系.如圖1-1-8，將每一象限三等分.第二步：標(biāo)號.從x軸非負(fù)半軸開始，按逆時針方向，在圖中依次標(biāo)上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4.第三步：選號.因為為第一象限角，在圖中將數(shù)字1的范圍畫出，可用陰影表示.第四步：定象