1、第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1對(duì)于導(dǎo)數(shù)的定義，必須明確定義中包含的基本內(nèi)容和x0的方式，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量y與自變量的增量x的比的極限，即 .函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率2曲線的切線方程利用導(dǎo)數(shù)求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程時(shí)應(yīng)注意：(1)判斷P點(diǎn)是否在曲線上；(2)如果曲線yf(x)在P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，可得方程為xx0；P點(diǎn)坐標(biāo)適合切線方程，P點(diǎn)處的切線斜率為f(x0)3利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運(yùn)用法則是關(guān)鍵，有時(shí)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，會(huì)給解題帶來(lái)方便因此觀察式子

2、的特點(diǎn)，對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過(guò)程的關(guān)鍵4判斷函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問(wèn)題的過(guò)程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件5利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意(1)極值是一個(gè)局部概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)領(lǐng)域而言的(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值與極小值沒(méi)有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值小(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但函數(shù)

3、的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn)因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充要條件是加上這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)6求函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)，在a，b上必有最大值與最小值；但在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)x3，x(1,1)(2)求函數(shù)最值的步驟一般地，求函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值7應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)

4、學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x0，使f(x0)0，則f(x0)是函數(shù)的最值.題型一應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與切線相關(guān)的問(wèn)題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)切線的斜率，從而就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一些與切線相關(guān)的問(wèn)題例1(2013福建)已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1. (1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，f(1)1，f(1)1，yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0.當(dāng)a0時(shí)，f

5、(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； 當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，解得xa；x(0，a)時(shí)，f(x)0，x(a，)時(shí)，f(x)0f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無(wú)極大值綜上當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無(wú)極大值跟蹤演練1已知曲線C的方程是yx33x22x.(1)求曲線在x1處的切線方程；(2)若l2：ykx，且直線l2與曲線C相切于點(diǎn)(x0，y0)(x00)，求直線l2的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)解(1)y3x26x2，y|x1316121.l1的斜率為1，且過(guò)點(diǎn)(1,0)直線l1的方程為y(x1)，

6、即l1的方程為xy10.(2)直線l2過(guò)原點(diǎn)，則k(x00)，由點(diǎn)(x0，y0)在曲線C上，得y0x3x2x0，x3x02.y3x26x2，k3x6x02.又k，3x6x02x3x02，整理得2x3x00.x00，x0，此時(shí)y0，k，因此直線l2的方程為yx，切點(diǎn)坐標(biāo)為.題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0時(shí)，x1x2.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)ax2，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x20，函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

7、間為(，)，即f(x)在R上是遞增的綜上，a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為.a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為.a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)題型三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗(yàn)f(x)0的根的兩側(cè)f(x)的符號(hào)若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)2求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1

8、)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值特別地，當(dāng)f(x)在a，b上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(最小)值， 這里(a，b)也可以是(，)例3已知函數(shù)f(x)x2aln x(aR), (1)若f(x)在x2時(shí)取得極值，求a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)x1時(shí)，x2ln xx3.(1)解f(x)x，因?yàn)閤2是一個(gè)極值點(diǎn)，所以20，則a4.此時(shí)f(x)x，因?yàn)閒(x)的定義域是(0，)，所以當(dāng)x(0,2)時(shí)，

9、f(x)0；當(dāng)x(2，)，f(x)0，所以當(dāng)a4時(shí)，x2是一個(gè)極小值點(diǎn)，故a4.(2)解因?yàn)閒(x)x，所以當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(，)；遞減區(qū)間為(0，)(3)證明設(shè)g(x)x3x2ln x，則g(x)2x2x，因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上是增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，所以當(dāng)x1時(shí)，x2ln xx3.跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)

10、在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍解(1)因?yàn)閒(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為：f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(guò)(1,0)點(diǎn)，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22得，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.當(dāng)0t2時(shí)，在區(qū)間(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2t3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t

11、33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè)f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則解得2c0.題型四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時(shí)也以壓軸題的形式出現(xiàn)考查中常滲

12、透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)例4設(shè)函數(shù)f(x)x32ax23a2xb(0a1)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若當(dāng)xa1，a2時(shí)，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍；(3)當(dāng)a時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)0在區(qū)間1,3上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)極小極大f(x)在(，a)和(3a，)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)當(dāng)xa時(shí)，f(x)取得極小值，f(x)極小值f(a)ba3；當(dāng)

13、x3a時(shí)，f(x)取得極大值，f(x)極大值f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2，其對(duì)稱(chēng)軸為x2a.因?yàn)?a1，所以2aa1.所以f(x)在區(qū)間a1，a2上是減函數(shù)當(dāng)xa1時(shí)，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；當(dāng)xa2時(shí)，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.于是有即a1.又因?yàn)?a1，所以a1.(3)當(dāng)a時(shí)，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，即f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在(2，)上是減函數(shù)要使f(x)0在1,3上恒有兩個(gè)相異實(shí)根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個(gè)實(shí)根，于是有即解得0b.跟蹤演練4證明：當(dāng)x2,1

14、時(shí)，x34x.證明令f(x)x34x，x2,1，則f(x)x24.因?yàn)閤2,1，所以f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞減故函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上的最大值為f(2)，最小值為f(1).所以，當(dāng)x2,1時(shí)，f(x)，即x34x成立題型五定積分及其應(yīng)用定積分的幾何意義表示曲邊梯形的面積，它的物理意義表示做變速直線運(yùn)動(dòng)物體的位移或變力所做的功，所以利用定積分可求平面圖形的面積以及變速運(yùn)動(dòng)的路程和變力做功等問(wèn)題利用定積分解決問(wèn)題時(shí)要注意確定被積函數(shù)和積分上下限例5求曲線ysin x與直線x，x，y0所圍成圖形的面積解所求面積Sdxsin xdxsin xdx sin xdx124.跟蹤演練5求由曲線yex，yex及x1所圍成的圖形面積解如圖，由解得交點(diǎn)為(0,1)所求面積為S(exex)dx(exex)e