1、4.1 函數(shù)與方程核心必知1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在(1)函數(shù)零點(diǎn)：函數(shù)yf(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，其就是方程f(x)0的解(2)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理：若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解2利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在區(qū)間a，b上f(x)的圖像是一條連續(xù)的曲線，且f(a)f(b)0，通過不斷地把方程的解所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近方程的解，進(jìn)而得到一個(gè)近似解像這樣每

2、次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱為二分法(2)用二分法求方程近似解的過程(如圖)： 其中“初始區(qū)間”是一個(gè)兩端函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間；“M”的含義：取新區(qū)間，一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)，另一端點(diǎn)是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè)，新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào)；“N”的含義：方程解滿足要求的精確度問題思考1函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎？提示：不是，是一個(gè)使f(x)0的x的取值2函數(shù)的零點(diǎn)、相應(yīng)方程的根、相應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者之間有何關(guān)系？提示：等價(jià)關(guān)系，函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)相應(yīng)方程有幾個(gè)根相應(yīng)函數(shù)的圖像與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)3如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且有

3、f(a)f(b)0，那么在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？什么情況下在(a，b)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)？若f(a)f(b)0，在區(qū)間(a，b)上就沒有零點(diǎn)嗎？提示：若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，當(dāng)f(a)f(b)0時(shí)在(a，b)上一定有零點(diǎn)，但是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能確定；當(dāng)(a，b)是f(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)f(a)f(b)0時(shí)也不一定沒有零點(diǎn)講一講1(1)函數(shù)f(x)4x16的零點(diǎn)為_(2)函數(shù)f(x)x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3(3)函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)(4)已知函數(shù)f(x)

4、2x3x2.問方程f(x)0在區(qū)間1,0內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？為什么？嘗試解答(1)令4x160，則4x42，解得x2，所以函數(shù)的零點(diǎn)為x2.答案：2(2)選C令f(x)0，而x0，x2，故有兩個(gè)(3)選C由f(0)10，f(1)e10，知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)(4)f(1)30，f(0)10，又函數(shù)f(x)2x3x2的圖像是連續(xù)曲線，f(x)在區(qū)間1,0內(nèi)有零點(diǎn)，即f(x)0在區(qū)間1,0內(nèi)有實(shí)數(shù)解(1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的方法：令f(x)0，解方程f(x)0即可(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，常用的方法有：解方程法：當(dāng)能直接求解零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷用定理法：用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函

5、數(shù)的單調(diào)性利用圖像的交點(diǎn)法：有些題目可先畫出某兩個(gè)函數(shù)yf(x)，yg(x)的圖像，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)yf(x)g(x)的零點(diǎn)(3)判斷方程的解所在的區(qū)間常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，當(dāng)方程f(x)0無法解出時(shí)，常用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理：函數(shù)圖像的連續(xù)性；區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)相反練一練1函數(shù)f(x)xlog2x的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B.C. D.解析：選Cfflog20.2試判斷方程x32x在區(qū)間1,2內(nèi)是否有實(shí)數(shù)解解：設(shè)函數(shù)f(x)x32x，則f(1)1210，f(2)8440，f(1)f(2)0.又函數(shù)f(x)x32x的圖像是連續(xù)曲線，函數(shù)f(x)x32x在區(qū)間1,2內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程

6、x32x在區(qū)間1,2內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解講一講2當(dāng)a取何值時(shí)，方程ax22x10的一個(gè)根在(0,1)上，另一個(gè)根在(1,2)上？嘗試解答(1)當(dāng)a0時(shí)，方程即為2x10，只有一根，不符合題意(2)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)f(x)ax22x1，因?yàn)榉匠痰母謩e在區(qū)間(0,1)，(1,2)上，所以即解得a1.(3)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1x20，x1，x2一正一負(fù)，不符合題意綜上，當(dāng)a1時(shí)，方程ax22x10的一個(gè)根在(0,1)上，另一個(gè)根在(1,2)上若將本例中根的存在情況變?yōu)橐桓∮?，另一根大于1，則a的取值如何？解：設(shè)f(x)ax22x1，由已知得：或即或解得0a1. 解決該類問題，有

7、兩種常用途徑：(1)利用零點(diǎn)的判定定理構(gòu)建不等式求解(2)畫出符合題意的草圖，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題數(shù)形結(jié)合構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，從而求解練一練3已知函數(shù)f(x)x2xm在區(qū)間(1,1)上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：法一：當(dāng)函數(shù)f(x)x2xm2m，其對(duì)稱軸x(1,1)，故函數(shù)在區(qū)間(1,1)上只有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，0或或即14m0或或解得m或0m2或m0.當(dāng)函數(shù)f(x)x2xm在區(qū)間(1,1)上有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，即解得m0.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.法二：函數(shù)f(x)x2xm在區(qū)間(1,1)上有零點(diǎn)方程x2xm0在區(qū)間(1,1)上有解方程x2xm在區(qū)間(1,1)上有解函數(shù)yx2x與函數(shù)ym在區(qū)間(

8、1,1)上有交點(diǎn)，函數(shù)yx2x在區(qū)間(1,1)上的值域?yàn)?，m2，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.講一講3求方程lg x3x的近似解(精確到0.1)嘗試解答令f(x)lg xx3，在同一坐標(biāo)系中，作出ylg x 和y3x的圖像如圖所示，觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)lg x3x有唯一解x0，x02,3，且f(2)0，f(3)0，利用二分法可列下表：計(jì)算次數(shù)左端點(diǎn)右端點(diǎn)12322.5332.52.7542.52.62552.562 52.625由于區(qū)間(2.562 5,2.625)內(nèi)的所有值若精確到0.1都為2.6，所以原方程的近似零點(diǎn)為2.6.求方程近似解的步驟：構(gòu)造函數(shù)，利用圖像或單調(diào)性確定方程解所在的大致區(qū)間，通常限

9、制在區(qū)間(n，n1)，nZ；利用二分法求出滿足精確度的方程解所在的區(qū)間M；寫出方程的近似解練一練4求函數(shù)f(x)x32x23x6的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)(精確到0.1)解：由于f(1)60，可取區(qū)間1,2作為計(jì)算的初始區(qū)間用二分法逐次計(jì)算，列表如下：計(jì)算次數(shù)左端點(diǎn)右端點(diǎn)11221.5231.51.7541.6251.7551.687 51.7561.718 751.7571.718 751.734 375由上表可知，區(qū)間1.718 75,1.734 375中的每一個(gè)數(shù)精確到0.1都等于1.7，所以1.7就是函數(shù)的一個(gè)誤差不超過0.1的正數(shù)零點(diǎn)求函數(shù)f(x)2xlg(x1)2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解法一：f(0)10

10、210，f(2)4lg 322lg 30，f(x)在(0,2)上必定存在零點(diǎn)又顯然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)嘗試用另一種方法解題法二：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的圖像由圖像，知ylg(x1)和y22x有且只有一個(gè)交點(diǎn)1函數(shù)yx22x3的零點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()A3,1；(1，4)B3，1；(1,4)C3,1；(1，4) D3,1；(1，4)答案：D2下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是()解析：選C當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)且f(a)f(b)0時(shí)，才能用二分法求其零點(diǎn)，觀察函數(shù)的圖像知：選項(xiàng)A中函

11、數(shù)沒有零點(diǎn)；選項(xiàng)B和D中函數(shù)雖然有零點(diǎn)，但是在零點(diǎn)附近的函數(shù)值符號(hào)相同，故不能用二分法求零點(diǎn)；選項(xiàng)C中函數(shù)有零點(diǎn)，且符合零點(diǎn)存在定理的條件3(北京高考)函數(shù)f(x)xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選B因?yàn)閥在x0，)上單調(diào)遞增，yx在xR上單調(diào)遞減，所以f(x)x在x0，)上單調(diào)遞增，又f(0)10，所以f(x)x在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)4已知函數(shù)f(x)x3x22x2，f(1)f(2)0，用二分法逐次計(jì)算時(shí)，若x0是1,2的中點(diǎn)，則f(x0)_.解析：由題意知f(x0)ff(1.5)，代入解析式易計(jì)算得0.625.答案：0.6255(湖南高考)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，

12、則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析：由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示，則當(dāng)0b2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)答案：(0,2)6判斷下列函數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)(1)f(x)x28x16，x1,8；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3；(3)f(x)，x2,4解：(1)f(1)9，f(8)16，f(1)f(8)0，但是f(4)0且41,8，所以函數(shù)在區(qū)間1,8內(nèi)存在零點(diǎn)4.(2)由于f(1)log2(12)1log20，f(3)log2(32)3log20，因此f(1)f(3)0，又函數(shù)

13、f(x)在區(qū)間1,3上的圖像是連續(xù)曲線，所以函數(shù)在區(qū)間1,3內(nèi)存在零點(diǎn)(3)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，3)(3，)，所以函數(shù)yf(x)的圖像在區(qū)間2,4上不是一條連續(xù)曲線，故不能用零點(diǎn)的存在性定理來判斷是否存在零點(diǎn)函數(shù)的圖像如圖所示，觀察圖像，可得函數(shù)在區(qū)間2,4內(nèi)不存在零點(diǎn)一、選擇題1下列函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的是()Ayx1Byx22x3Cy2log2x Dy解析：選D易知A只有一個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于B，方程x22x30無解；對(duì)于C，令2log2x0，也無解；對(duì)于D，y0有兩解x2 012和x0.2(重慶高考)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A

14、(a，b) 和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a) 和(c，)內(nèi)解析：選A令y1(xa)(xb)(xb)(xc)(xb)2x(ac)，y2(xc)(xa)，由abc作出函數(shù)y1，y2的圖像(圖略)，由圖可知兩函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，即函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)3函數(shù)f(x)ln(x1)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)解析：選Bf(1)ln 220，f(2)ln 310，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(1,2)4若方程|ax|xa(a0)有兩個(gè)解，

15、則a的取值范圍是()A(1，) B(0,1)C(0，) D解析：選A分三種情況，在同一坐標(biāo)系中畫出y|ax|和yxa的圖像如圖：結(jié)合圖像可知方程|ax|xa有兩個(gè)解時(shí)，有a1.二、填空題5用二分法求方程x32x50在區(qū)間2,3內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)為x02.5，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是_解析：令f(x)x32x5，可知，f(2)、f(3)分別等于1、16，又因?yàn)閒(2.5)0，顯然下一個(gè)有根的區(qū)間為2,2.5)答案：2,2.5)6方程2xx23的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為_解析：分別作出函數(shù)f(x)3x2與函數(shù)g(x)2x的圖像，如圖所示f(0)3，g(0)1，從圖像上可以看出它們有2個(gè)交點(diǎn)答案：27已知函數(shù)

16、f(x)則函數(shù)yf(x)2的零點(diǎn)是_解析：當(dāng)x1時(shí)，y3x2，令y0，得xlog321，當(dāng)x1時(shí)，yx2，令y0，得x2不合題意，綜上，零點(diǎn)是log32.答案：log328已知yx(x1)(x1)的圖像如圖所示，今考慮f(x)x(x1)(x1)0.01，則方程式f(x)0有三個(gè)實(shí)根；當(dāng)x1時(shí)，恰有一實(shí)根(有一實(shí)根且僅有一實(shí)根)；當(dāng)1x0時(shí)，恰有一實(shí)根；當(dāng)0x1時(shí)，恰有一實(shí)根；當(dāng)x1時(shí)，恰有一實(shí)根正確的有_解析：函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖像易知，當(dāng)x1時(shí)，方程f(x)0恰有一實(shí)根；當(dāng)1x0時(shí)，方程f(x)0沒有實(shí)根；當(dāng)0x1時(shí)，恰有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)x1時(shí)，沒有實(shí)根答案：三、解答題9判斷方程x3

17、x10在區(qū)間1,1.5內(nèi)有無實(shí)數(shù)解；如果有，求出一個(gè)近似解(精確到0.1)解：設(shè)函數(shù)f(x)x3x1，因?yàn)閒(1)10，f(1.5)0.8750，且函數(shù)f(x)x3x1的圖像是連續(xù)的曲線，所以方程x3x10在區(qū)間1,1.5內(nèi)有實(shí)數(shù)解取區(qū)間(1,1.5)的中點(diǎn)x11.25，用計(jì)算器可算得f(1.25)0，因?yàn)閒(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5)再取(1.25,1.5)的中點(diǎn)x21.375，用計(jì)算器可算得f(1.375)0.220，因?yàn)閒(1.25)f(1.375)0，所以x0(1.25,1.375)同理，可得x0(1.312 5,1.375)，x0(1.312 5,1.343 75)由于區(qū)間(1.312 5,1.343 75)內(nèi)的所有數(shù)精確到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3x10在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個(gè)近似解10已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若函數(shù)h(x)f(x)ax，x2,3時(shí)有唯一零點(diǎn)，且不是重根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)x1,1時(shí)，不等式f(x)2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)設(shè)f(x)ax2bxc，(a0)，由f(0)1，得c1，故f(x)ax2bx1.因?yàn)?/p>