1、牛頓插值公式,n 階差商,其中，,- 牛頓插值多項(xiàng)式,- 牛頓插值余項(xiàng),乘除法次數(shù)大約為:,較L-插值法減少了3-4倍.,4 差商與牛頓插值多項(xiàng)式,5 重節(jié)點(diǎn)差商,定義5 (重節(jié)點(diǎn)差商),若 ,?,則定義,類似的有,分析：,(2)首先,由定義,泰勒展開式,(2)首先,由定義,泰勒展開式,證明：,并記,5 差分，等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式,5.1 差分及性質(zhì),且,即,1、差分,（1）記號(hào), 向前差分算子；, 中心差分算子.,定義6, 向后差分算子；,二階向前差分；,二階向后差分；,若,二階中心差分；,、向后、中心差分.,分別,(3) 一般地，, 階向前差分；, 階向后差分；,I 不變算子（恒等算子）；,

2、（4）設(shè)A與B為兩算子,如,（自己證）,E 位移算子,2、性質(zhì),性質(zhì) 1,的各階差分均可用函數(shù)值表示。,其中,證明：,用算子二項(xiàng)式定理：,得,即,#,用歸納法可證。,性質(zhì) 2 差分與差商的關(guān)系,令,證明：,當(dāng)m=1時(shí)，,假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，有,則,#,自己證,一般地,性質(zhì)3 差分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系,證明：,性質(zhì)2,定理7,5.2 牛頓向前插值，向后插值公式, 被插值點(diǎn)。,以下推導(dǎo)以 為節(jié)點(diǎn)的等距插值公式。,作變換,1、公式,自己證,代入(4.2)：,（牛頓前插公式或表初公式）：,即得牛頓向前插值公式,作變換,又,則,再由,（牛頓后插公式或表末公式）：,即得牛頓向后插值公式,注：（1）（5.2）、(5.3)

3、使用于等距節(jié)點(diǎn)。,（2）（5.2）、(5.3)的系數(shù)分別為 ，,差分表2-7,求解方法見表2-7。,(5.2)的系數(shù),(5.3)的系數(shù),說明:節(jié)點(diǎn)的取法：取與x盡量接近的節(jié)點(diǎn)。注意兩點(diǎn)，首先，若,2、計(jì)算量,（1）計(jì)算差分（計(jì)算量忽略不記）；,（2）由前插（后插）公式計(jì)算近似值：,（計(jì)算步驟）,乘除法次數(shù)大約為: +,秦九韶算法,達(dá)到了誤差要求，則其他一些節(jié)點(diǎn)就用不到了，因此，表中的n,可以相當(dāng)大，牛頓插值公式中的n不一定就是表中的n；另外,表初,式計(jì)算。,在公式中的比重是一樣的。若x不在表初、表末而在表中間，則有,例4。例4還有另外的選取節(jié)點(diǎn)的方法，也可以用牛頓向后插值公,公式中 似乎占有較大比重，而從誤差公式的對(duì)稱性知,表2-8,表2-9,精確值：,說明：也可取節(jié)點(diǎn)為,利用牛頓向后插值公式（5.3）計(jì)算。,本