1、球（二）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點1.利用“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”的思想方法推導(dǎo)球體積公式V=R3.2.球的體積公式V=R3的應(yīng)用.3.幾何體的接切問題.（二）能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生了解這種“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”的思想方法.2.使學(xué)生熟練掌握球體積公式V=R3.3.使學(xué)生能熟練解決幾何體的相接切問題.（三）德育滲透目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生用普遍聯(lián)系的觀點看問題.教學(xué)重點球體積公式V=R3的應(yīng)用.教學(xué)難點了解“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”的思想方法.教學(xué)方法啟發(fā)式由于對推導(dǎo)球體積公式V=R3的過程并不要求學(xué)生準(zhǔn)確掌握，重要的是讓學(xué)生必須了解推導(dǎo)過程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法，即“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”這一重

2、要的數(shù)學(xué)思想方法，這將有利于學(xué)生進一步學(xué)習(xí)微積分和近代數(shù)學(xué)知識.因此教師只需指導(dǎo)學(xué)生體會用“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”這一重要數(shù)學(xué)思想在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用即可.球體積公式V=R3的應(yīng)用尤為重要.本節(jié)通過引入幾何體的接切概念，將球體積公式的應(yīng)用體現(xiàn)在與球有關(guān)的接切問題中.教學(xué)中，在解決與球有關(guān)的接切問題時，教師要啟發(fā)學(xué)生自己歸納：在一般情況下，需要通過作一個怎樣的適當(dāng)截面，就可以將問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決.教具準(zhǔn)備多媒體課件一個.作球O，過球心O作一截面，得一半球，則半球的底面是截面O，把半球的垂直于底面的半徑OA作n等分，過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割成n層.讓學(xué)生觀察得，若n

3、無限大時，每一層都是近似于圓柱形狀的“小圓片”.投影片四張.第一張：本課時教案練習(xí)（記作9.9.2 A)第二張：課本P68例2（記作9.9.2 B)第三張：本課時教案例1（記作9.9.2 C)第四張：本課時教案例2（記作9.9.2 D)教學(xué)過程.復(fù)習(xí)回顧師上節(jié)課我們討論了球及其性質(zhì)，學(xué)會了求地球上兩點間的球面距離，現(xiàn)在請大家思考：若A、B為球面上相異的兩點，則通過A、B可作的大圓個數(shù)為幾個？為什么？（學(xué)生思考，動手畫）生甲一個，因為A、B及球心O三點確定一個平面，所以這樣的大圓只有一個.師有不同意見嗎？生乙一個或無數(shù)個，當(dāng)A、B及球心O不共線時，可作一個大圓；當(dāng)A、B恰是球直徑的兩個端點，即當(dāng)

4、A、B及球心O共線時，這樣的大圓可作無數(shù)個.師生甲只注意到其中的一種情況，漏掉了另一種情況，導(dǎo)致問題分析不全面、不嚴(yán)謹(jǐn)，以后學(xué)習(xí)過程中應(yīng)引起注意.接下來，我們再練習(xí)一題.（打出投影片9.9.2 A,讀題）練習(xí)：設(shè)地球的半徑為R，在北緯45圈上有兩個點A、B，A在西經(jīng)40、東經(jīng) 50，求A、B兩點間的球面距離.師A、B兩點的球面距離，就是球面上兩點之間的最短距離，是一段弦，請大家回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的計算A、B兩點間的球面距離的一般步驟是什么？生(1)計算線段AB的長;(2)計算A、B對球O的張角AOB;(3)計算大圓劣弧AB 的長.師好，下面請同學(xué)們畫出這個題目的圖形，找出A、B所在位置，按照以上步

5、驟完成A、B兩點間的球面距離.（請一位同學(xué)板書，其余學(xué)生練習(xí)，教師查看指導(dǎo)）解：如圖所示,設(shè)45緯度圈中心為O1，地球中心為O，則AO1B=45+45=90.OO1面O1所在平面,OO1O1A，OO1O1B.A、B在北緯45圈上,AOO1與BOO1都等于緯度45的余角45.AO1=BO1=R.在RtAO1B中，AB=AO1=R.AOB為等邊三角形,AOB=.=|R=R.A、B兩點的球面距離為R.師解決這個問題的關(guān)鍵是確定球心角AOB.以上解法是將各分散的已知元素和所求元素都集中在較為熟悉的幾何體四面體之中，從而變未知為已知，使問題獲解.這節(jié)課，我們對球繼續(xù)討論，討論球的體積及其在與球有關(guān)的相接

6、切問題中的應(yīng)用.講授新課師球的體積就是球體所占空間大小的度量，球體積公式的推導(dǎo)過程使用了“分割、求近似和、再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”的方法，即先將半球分割成n部分；再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積；最后通過考慮n變到無窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積.下面，我們一起來體會這種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.（教師邊講邊演示多媒體課件，學(xué)生觀察、思考）師由以上的演示過程，我們得到被分成n層的半球的每一層都是近似于圓柱形的“小圓片”.顯然，這些“小圓片”的體積之和就是半球的體積.那么如何計算這些“小圓片”的體積呢？生由于這些“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相

7、應(yīng)的圓柱的體積.師好！思路很正確，大家順著這一思路自己閱讀課本P67P68，完成“求和”及“化為準(zhǔn)確和”的學(xué)習(xí)過程.（學(xué)生自學(xué)，教師指導(dǎo)，可能有的學(xué)生對于第三步“化為準(zhǔn)確和”中的“當(dāng)n變得無窮大時，0”的理解有困難，教師要及時地指導(dǎo)學(xué)生通過“n=100,1000,10000,時, 的相應(yīng)變化趨勢”去直觀地認(rèn)識）師同學(xué)們理解了用“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”這一思想方法推導(dǎo)球體積公式的過程了，那么對球的體積V與球的半徑R之間的函數(shù)關(guān)系就搞清了，即V=R3,下面，我們來體會一下它的作用.（板書球體積公式）（打出投影片9.9.2 B,讀題）師怎樣利用球體積公式處理這個問題呢？生因為鋼球的質(zhì)量等于鋼球的密

8、度乘以鋼球的體積，而鋼球的體積又等于倍的外半徑的立方減去倍的內(nèi)半徑的立方.解：設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2x cm,那么鋼球的質(zhì)量是7.9()3-x3=142,x3=()3-11.3,由計算器算得x2.24.2x4.5 cm.答：空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5 cm.師兩個幾何體相接或相切的問題是立體幾何中的重要內(nèi)容.一般情況下，兩個幾何體相接是指一個幾何體的所有頂點（包括某一個面的周線上所有點或某一個面上的所有點），都在另一個幾何體的表面上.兩個幾何體相切是指一個幾何體的各個面與另一個幾何體的各面相切.下面，我們研究與球有關(guān)的相接切問題.（打出投影片9.9.2 C,讀題）例1求球與它的外切圓柱、外切等邊圓

9、錐的體積之比.師解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)問題的題設(shè)和所求，將問題的空間圖形想清楚.那么，該如何去畫呢？生畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐的公共軸截面，再尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系.（師生共同分析圖形，教師板書解答過程）解：如圖所示，等邊SAB為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圓圓O1.設(shè)球的半徑O1O=R，則它的外切圓柱的高為2R，底面半徑為R，則有OB=O1Ocot30=R,SO=OBtan60=R=3R,V球=R3,V柱=R22R=2R3,V錐=(R)23R=3R3.V球V柱V錐=469.師以上題目，通過作球及外切圓柱、等邊圓錐的公共截面暴露這些幾何體之間的相

10、互關(guān)系.讓我們繼續(xù)體會有關(guān)球的相接切問題.（打出投影片9.9.2 D,讀題）例2半徑為R的球的內(nèi)接四面體內(nèi)有一內(nèi)切球，求這兩球的體積比.師同學(xué)們分析題目，整理你的思路.生先用R表示正四面體的棱長，再求內(nèi)切球的半徑.師內(nèi)切球的半徑怎樣求呢？生根據(jù)幾何體相切的定義知內(nèi)切球O到正四面體各面距離為內(nèi)切球的半徑，故可以通過等體積法求之.（學(xué)生分析，教師板書解答過程）解：如圖所示，大球O的半徑為R；設(shè)正四面體ABCD的棱長為a,它的內(nèi)切球半徑為r,依題意知,BO1=a=a,AO1=）=a.又BO2=BO12+OO12，R2=（a)2+(a-R)2.a=R.連結(jié)OA、OB、OC、OD，內(nèi)切球球心到正四面體各

11、面距離為r,VOBCD=VOABC+VOACD+ VOAOB+VOBCD.SBCDAO1=4SBCDr.r=.r=a=R=R.V小球V大球=(R)3R3=127.內(nèi)切球與外接球的體積比為127.師整個解題過程中，最關(guān)鍵的是什么？生關(guān)鍵在于求正四面體的高.師好！本例題的難點顯然是利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，突破這一難點需要同學(xué)們有較強的空間想象和分析能力.所以，同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)過程中就應(yīng)該注重培養(yǎng)自己的觀察、判斷推理的數(shù)學(xué)技能.課堂練習(xí)課本65練習(xí)1、2.1.球的直徑伸長為原來的2倍，計算球的體積變?yōu)樵瓉淼膸妆?答案：設(shè)原來球體積為R3,則當(dāng)球的直徑伸長為原來的2倍時，體積變?yōu)?2R)3,所以，球的體積變?yōu)樵瓉淼?倍.2.一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是4 cm,求這個球的體積.答案：因正方體的頂點都在球面上，所以正方體的體對角線長等于球的直徑，即4=2R.又有V=R3=()3=32 cm3.課時小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了球體積公式及與球有關(guān)的相接切的問題，對于前者，要求同學(xué)們要理解并能體會出“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”這種重要數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,對于處理后者的問題時，一般可通過作一適當(dāng)?shù)慕孛?，使得問題轉(zhuǎn)化為平面問題而獲解，這類截面常常是圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對角面等，在這個截面中應(yīng)包括每一