1、1.2.2 函數(shù)的表示法課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、函數(shù)的三種表示方法【例1】 作出下列函數(shù)的圖象：（1）y=2-x,xZ;（2）y=2x2-3x-2(x0);（3）y=思路分析：作函數(shù)圖象主要有兩種思路：利用列表描點(diǎn)法，轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)函數(shù)，利用基本函數(shù)圖象作復(fù)雜函數(shù)圖象.解：（1）這個(gè)函數(shù)圖象是由一些點(diǎn)組成的，這些點(diǎn)都在直線(xiàn)y=2-x上.如圖1所示.圖1 （2）這個(gè)函數(shù)圖象是拋物線(xiàn)的一部分，可先利用描點(diǎn)法作出y=2x2-3x-2的圖象，然后截出需要的圖象，如圖2所示.圖2 (3)這個(gè)圖象是由兩部分組成的，當(dāng)x1時(shí)，為雙曲線(xiàn)y=的一部分，當(dāng)x1時(shí)，為拋物線(xiàn)y=x2的一部分，如圖3所示.圖3溫馨提示 1.從

2、本題可以看出，函數(shù)的圖象不一定是一條或幾條平滑曲線(xiàn)，也可是一些孤立的點(diǎn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)等，這要由定義域?qū)?yīng)關(guān)系確定. 2.函數(shù)的圖象對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)和解決有關(guān)問(wèn)題十分重要，它是研究函數(shù)性質(zhì)的直觀圖，也是數(shù)形結(jié)合的有力工具.【例2】 由函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函數(shù)解析式.思路分析：由于f(x)是一次函數(shù)，因此可設(shè)f(x)=ax+b(a0)，然后利用條件列方程(組)，再求系數(shù).解：f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)=ax+b(a0).由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 因此3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+1

3、7,則得 即故函數(shù)解析式為f(x)=2x+7.溫馨提示 求已知函數(shù)的解析式通常利用待定系數(shù)法.由于常見(jiàn)的已知函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等)的解析式結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式，即若已知函數(shù)類(lèi)型，可設(shè)所求函數(shù)解析式，然后利用已知條件列方程(組)，再求系數(shù).二、根據(jù)已知關(guān)系,寫(xiě)出函數(shù)的解析式【例3】 在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，從B點(diǎn)開(kāi)始，沿折線(xiàn)BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(如右圖)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的距離為x，ABP的面積為y,求函數(shù)y=f(x)及其定義域.思路分析：由于P點(diǎn)在折線(xiàn)BCDA上位置不同時(shí)，ABP各有特征，計(jì)算它們的面積也有不同的方法，因此這里

4、要對(duì)P點(diǎn)位置進(jìn)行分類(lèi)討論，由此y=f(x)很可能是分段函數(shù).解：如上圖，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，即0x4,y=4x=2x; 當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段CD上時(shí)，即4x8,y=44=8; 當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段DA上時(shí)，即8x12,y=4(12-x)=24-2x. y=f(x)= 且f(x)的定義域是(0,12).溫馨提示 分段函數(shù)作為一類(lèi)重要的函數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系不能用統(tǒng)一的對(duì)應(yīng)法則來(lái)表示，處理分段函數(shù)的問(wèn)題時(shí)除要用到分類(lèi)討論思想外，還要注意其中整體和局部的關(guān)系.【例4】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x);(2)已知f(x)滿(mǎn)足af(x)+f()=ax(xR且x0,a為常數(shù),且a1),求f(x).解：(1)解法一：

5、令t=+1,則x=(t-1)2,t1 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. f(x)=x2-1(x1).溫馨提示 此種解法稱(chēng)為換元法，所謂換元法即將接受對(duì)象“+1”換作另一個(gè)字母“t”，然后從中解出x與t的關(guān)系，代入原式中便可求出關(guān)于“t”的函數(shù)關(guān)系，此即為所求函數(shù)解析式. 解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1, f(+1)=(+1)2-1(+11),即f(x)=x2-1(x1).溫馨提示 此方法為直接變換法或稱(chēng)配湊法，通過(guò)觀察，分析將右端的表達(dá)式變?yōu)椤敖邮軐?duì)象”的表達(dá)式，即變?yōu)殛P(guān)于+1的表達(dá)式. (2)af(x)+f()=ax,將

6、原式中的x與互換得af()+f(x)=, 于是得關(guān)于f(x)的方程組： 解得f(x)=(a1).溫馨提示 本題求解析式的方法稱(chēng)為方程法.函數(shù)是定義域到值域上的映射，定義域中的每一個(gè)元素都應(yīng)滿(mǎn)足函數(shù)表達(dá)式，在已知條件下，x滿(mǎn)足已知的式子，那么在定義域內(nèi)也滿(mǎn)足這個(gè)式子，這樣得到兩個(gè)關(guān)于f(x)與f()的方程，因而才能解出f(x).三、映射的概念【例5】 下面的對(duì)應(yīng)哪些是從集合M到集合N的映射？哪些是函數(shù)？(1)設(shè)M=R，N=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f:y=,xM;(2)設(shè)M=平面上的點(diǎn)，N=(x,y)|x,yR，對(duì)應(yīng)關(guān)系f:M中的元素對(duì)應(yīng)它在平面上的坐標(biāo)；(3)設(shè)M=高一年級(jí)全體同學(xué)，N=0,1，對(duì)應(yīng)關(guān)系f:

7、M中的男生對(duì)應(yīng)1，女生對(duì)應(yīng)0;(4)設(shè)M=R，N=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f(x)=2x2+1,xM;(5)設(shè)M=1,4，9，N=-1,1，-2,2，3，-3，對(duì)應(yīng)關(guān)系：M中的元素開(kāi)平方.思路分析：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成映射，關(guān)鍵是看M中的任一元素在N中按照給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，是映射但不一定構(gòu)成函數(shù)，只有M、N都是非空數(shù)集，且從M到N構(gòu)成映射時(shí)，才能確定構(gòu)成從M到N的函數(shù)；不是映射的，更不可能構(gòu)成函數(shù).解：(1)M中的0在N中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，從M到N的對(duì)應(yīng)構(gòu)不成映射. (2)(3)都符合映射定義，能構(gòu)成從M到N的映射，但由于M不是非空數(shù)集，因此構(gòu)不成函數(shù). (4)從M到N的對(duì)應(yīng)既能構(gòu)成映

8、射，又能構(gòu)成函數(shù). (5)M中的元素在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以構(gòu)不成映射.溫馨提示 1.映射概念中的兩個(gè)集合A、B，它們可以是數(shù)集、點(diǎn)集或其他集合，而函數(shù)不同，A、B必須是非空數(shù)集. 2.A到B的映射與B到A的映射是不同的，同學(xué)們判斷時(shí)應(yīng)注意“方向性”否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.各個(gè)擊破類(lèi)題演練1作出下列函數(shù)的圖象.(1)y=x,|x|1;(2)y=1-x,xZ且|x|2;(3)y=;解：(1)此函數(shù)圖象是直線(xiàn)y=x的一部分. (2)此函數(shù)的定義域?yàn)?2，-1，0，1，2，所以其圖象是由五個(gè)點(diǎn)組成，這些點(diǎn)都在直線(xiàn)y=1-x上.(這樣的點(diǎn)叫做整點(diǎn)) （3）先求定義域，在定義域上化簡(jiǎn)函數(shù)式y(tǒng)=x,x(-,

9、1)(1,+).如下圖所示.變式提升1設(shè)x是不超過(guò)x的最大整數(shù)，作下列函數(shù)的圖象.(1)f(x)=x;(2)h(x)=x-x,x-2,2.解：(1)f(x)=x=n(nxn+1,nZ),即 f(x)=n(nxn+1,nZ). f(x)=x的圖象是無(wú)數(shù)條線(xiàn)段，不包括線(xiàn)段的右端點(diǎn).注意在x軸上的線(xiàn)段的端點(diǎn)是（0，0）、（1，0）.見(jiàn)下圖（A）. (2)h(x)=x-x x-2,2化為 h(x)= h(x)的圖象是四條線(xiàn)段和點(diǎn)（2，0），注意均不含線(xiàn)段上面的端點(diǎn)，見(jiàn)下圖（B）.圖（A）圖（B）類(lèi)題演練2已知f(x)是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).解析：設(shè)f(

10、x)=ax2+bx+c(a0), 由f(0)=1得c=1,而f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b. 由已知f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x.所以解得a=1,b=-1. 故f(x)=x2-x+1.變式提升2求函數(shù)y=2|x-1|-3|x|的最大值.思路分析：本題為絕對(duì)值函數(shù)，應(yīng)先由零點(diǎn)分段討論法去掉絕對(duì)值符號(hào)，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，再畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，然后解之.解: 作出函數(shù)圖象如右上圖,由圖象可知x=0時(shí),ymax=2.類(lèi)題演練3國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過(guò)800元的不納稅；超過(guò)800元不超過(guò)4 000元的按超過(guò)800

11、元部分的14%納稅；超過(guò)4 000元的按全部稿費(fèi)的11%納稅.（1）試根據(jù)上述規(guī)定建立某人所得稿費(fèi)x(元)與納稅額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）某人出了一本書(shū)，共納稅420元，則這個(gè)人的稿費(fèi)是多少元？答案：（1） （2）3 800變式提升3某商場(chǎng)因拆遷將庫(kù)存的原價(jià)100元/套的時(shí)裝50套作減價(jià)處理，規(guī)定：不超過(guò)5件按八五折(即原價(jià)的85%)；6件到20件(包含20件)按六五折；20件以上打五折.（1）你能表示出上述規(guī)定中的單價(jià)與所買(mǎi)件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？（2）你能表示出上述規(guī)定中付出與購(gòu)買(mǎi)件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式嗎？答案：（1）y= （2）y=類(lèi)題演練4如果f()=,則f(x)=_.解法一:f()

12、=,f(x)=.解法二：設(shè)t=,則x=, 代入f()=, 得f(t)=, 故f(x)=.變式提升4已知f()=+,求f(x).解法一：f()=+ =()2-+=()2-=()2-+1, f(x)=x2-x+1.解法二：設(shè)=u, 則x=,u1. 則f(u)=f()=+=1+=1+(u-1)2+(u-1). f(x)=x2-x+1(x1).溫馨提示 解決這類(lèi)考查求函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清楚對(duì)一個(gè)自變量“x”而言，“f”是怎樣的對(duì)應(yīng)規(guī)律.類(lèi)題演練5（1）下列對(duì)應(yīng)是從A到B的函數(shù)的是（ ）A=x|x0,xR,B=R,f:xy2=x A=N,B=-1,1,f:x(-1)x A=三角形，B=圓，f:三角形三角形的外接圓 A=R,B=R,f:xy=x3A. B. C. D.答案：A（2）f:AB是集合A到集合B的映射，A=B=(x,y)|xR，yR,f:(x,y)(kx,y+b)，若B中的元素（6，2），在此映射下的原象是（3，1），則k=_,b=_.解析：由答案：2 1變式提升5已知集合A=a|a5,aN到集合B的對(duì)應(yīng)法則是“乘3加2”，集合B到集合C的對(duì)