1、課 題：函數的單調性教材：人教版全日制普通高級中學教科書（必修）數學第一冊（上）P57P60【教學目標】1使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法2通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力 3通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性【教

2、學方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習【教學手段】 計算機、投影儀【教學過程】一、創(chuàng)設情境，引入課題課前布置任務：(1) 由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考問題：觀察圖形，能得到什么信息？預案：(1)當天的最高

3、溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規(guī)律，了解這些數據的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？預案：水位高低、燃油價格、股票價格等歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小設計意圖由生活情境引入新課，激發(fā)興趣二、歸納探索，形成概念對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1借助圖象，直觀感知問題1：分別作出函數的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變

4、化規(guī)律？預案：(1)函數在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數在整個定義域內 y隨x的增大而減小(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小(3)函數在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小引導學生進行分類描述 (增函數、減函數)同時明確函數的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，是函數的局部性質問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數?預案：如果函數在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區(qū)間上為增函數；如果函數在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數在該區(qū)間上為減函數教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，

5、描述性的認識設計意圖從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識2探究規(guī)律，理性認識問題1：下圖是函數的圖象,能說出這個函數分別在哪個區(qū)間為增函數和減函數嗎？學生的困難是難以確定分界點的確切位置通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究設計意圖使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性問題2：如何從解析式的角度說明在為增函數？預案： (1) 在給定區(qū)間內取兩個數，例如1和2，因為1222,所以在為增函數(2) 仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以在為增函數(3) 任取,因為,即，所以在為增函數對于學生錯誤

6、的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取兩個自變量設計意圖把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3抽象思維，形成概念問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義(1)板書定義(2)鞏固概念判斷題：若函數若函數在區(qū)間和(2,3)上均為增函數，則函數在區(qū)間(1,3)上為增函數因為函數在區(qū)間上都是減函數，所以在上是減函數.通過判斷題，強調三點：單調性是對定義域內

7、某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性對于某個具體函數的單調區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區(qū)間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)函數在定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數思考：如何說明一個函數在某個區(qū)間上不是單調函數?設計意圖讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展例 證明函數在上是增函數1分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流證明：任取, 設元求差 變形,斷號即函數在上是增函數 定

8、論2歸納解題步驟引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論練習：證明函數在上是增函數問題：要證明函數在區(qū)間上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對任意的，且有可以嗎?引導學生分析這種敘述與定義的等價性讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在上是增函數設計意圖初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟等價形式進一步發(fā)展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆四、歸納小結，提高認識學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結1小結(1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性(2) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、

9、定論(3) 數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等2作業(yè)書面作業(yè)：課本第60頁 習題2.3 第4，5，6題課后探究：(1) 證明：函數在區(qū)間上是增函數的充要條件是對任意的，且有 (2) 研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖函數的單調性說課稿北京景山學校 許云堯一、 教學內容的分析1教材的地位和作用首先，從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函

10、數的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續(xù)和深化，又為高三的學習奠定基礎其次，從函數角度來講. 函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規(guī)律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.最后，從學科角度來講.函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題

11、的常用工具，也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材.2教學的重點和難點對于函數的單調性,學生的認知困難主要在兩個方面:首先，要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降,把對單調性直觀感性的認識上升到理性的高度, 這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說比較困難.其次，單調性的證明是學生在函數學習中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的. 根據以上的分析和教學大綱對單調性的教學要求，本節(jié)課的教學重點是函數單調性的概念，判斷、證明函數的單調性；難點是引導學生歸納并抽象出函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性.二、 教學目標的確定根

12、據本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，我從三個方面確定了以下教學目標：1學生能從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法2通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養(yǎng)觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力 3通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程三、 教學方法的選擇1教學方法本節(jié)課是函數單調性的起始課，根據教學內容、教學目標和學生的認知水平，主要采取教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教

13、學方法.教學過程中，根據教材提供的線索，安排適當的教學情境，讓學生展示相應的數學思維過程，使學生有機會經歷數學概念抽象的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而創(chuàng)造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養(yǎng)能力.2教學手段 教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識四、 教學過程的設計為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為四個階段：創(chuàng)設情境，引入課題；歸納探索，形成概念；掌握證法，適當延展；歸納小結，提高認識.具體過程如下： (一)創(chuàng)設情境，引入課題概念的形成主要

14、依靠對感性材料的抽象概括，只有學生對學習對象有了豐富具體經驗以后，才能使學生對學習對象進行主動的、充分的理解，因此在本階段的教學中，我從具體材料有關奧運會天氣的例子出發(fā)，而不是從抽象語言入手來引入函數的單調性.使學生體會到研究函數單調性的必要性，明確本課我們要研究和學習的課題，同時激發(fā)學生的學習興趣和主動探究的精神在課前，我給學生布置了兩個任務：(1) 由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. 課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較

15、適宜大型國際體育賽事.(2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上我引導學生觀察2006年8月8日的氣溫變化曲線圖，引導學生體會在某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.然后，我指出生活中我們關心很多數據的變化，并讓學生舉出一些實際例子（如燃油價格等）. 隨后進一步引導學生歸納：所有這些數據的變化，用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小 (二)歸納探索，形成概念在本階段的教學中，為使學生充分感受數學概念的發(fā)生與發(fā)展過程和數形結合的數學思想，經歷觀察、歸納、抽象的探究過程，加深對函數單調性的本質的認識，我設計了三個環(huán)節(jié),引導學生分別完成對單調性定義的三次認

16、識.1借助圖象，直觀感知本環(huán)節(jié)的教學主要是從學生的已有認知出發(fā)，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發(fā)，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.在本環(huán)節(jié)的教學中，我主要設計了兩個問題：問題1：分別作出函數的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規(guī)律？在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規(guī)律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.而后兩個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的

17、，是函數的局部性質對于概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好的理解和掌握概念，因此我設計了問題2.問題2：能否根據自己的理解說說什么是增函數、減函數?教學中，我引導學生用自己的語言描述增函數的定義：如果函數在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區(qū)間上為增函數然后讓學生類比描述減函數的定義.至此，學生對函數單調性就有了一個直觀、描述性的認識2探究規(guī)律，理性認識在此環(huán)節(jié)中，我設計了兩個問題，通過對兩個問題的研究、交流、討論，將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式，使學生對單調性的認識由感性認識

18、上升到理性認識的高度，使學生完成對概念的第二次認識問題1：右圖是函數的圖象,能說出這個函數分別在哪個區(qū)間為增函數和減函數嗎？對于問題1，學生的困難是難以確定分界點的確切位置通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.問題2：如何從解析式的角度說明在上為增函數？在前邊的鋪墊下，問題2是形成單調性概念的關鍵.在教學中，我組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋，評價，對普遍出現的問題組

19、織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種： (1)在給定區(qū)間內取兩個數，例如1和2，因為,所以在上為增函數(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以在上為增函數對于這兩種錯誤，我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析.引導學生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉.在充分討論的基礎上，引導學生從給定的區(qū)間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取,有,即，所以在為增函數這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小.事實上,這種回答也給出了證明單調性的方法，為后續(xù)用定義證

20、明其他函數的單調性做好鋪墊,降低難度.至此，學生對函數單調性有了理性的認識.3抽象思維，形成概念本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程,完成對概念的第三次認識.教學中，我引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后我指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時我設計了一組判斷題：判斷題：若函數滿足f(2)f(3),則函數在2,3上為增函數.若函數在和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數因為函數在上都是減函數，所以在上是減函數.通過對判斷題

21、的討論，強調三點：單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區(qū)間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區(qū)間(如常函數)函數在定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數從而加深學生對定義的理解，完成本階段的教學.（三）掌握證法，適當延展本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握根據單調性定義證明函數單調性的方法，同時引導學生探究定義的等價形式，對證明方法做適當延展.例 證明函數在上是增函數在引入導數后，用定義證明單調性的

22、作用已經有所降低，我選擇一個較難的例子，主要是考慮讓學生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認識.證明過程的教學分為三個環(huán)節(jié)：難點突破、詳細板書、歸納步驟.1難點突破對于函數單調性的證明，由于前邊有對函數在上為增函數的研究作鋪墊, 大部分學生能完成取值和求差兩個步驟:證明：任取, ，因此學生的難點主要是兩個函數值求差后的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個方面:一方面部分學生不知道如何變形,不敢動筆；另一方面部分學生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結論.針對這兩方面的問題，教學中，我組織學生討論，引導學生回顧函數在上為增函數的說明過程，明確變形的主要思路是因式分解.然后我引導學生從

23、已有的認知出發(fā)，考慮分組分解法，即把形式相同的項分在一起，變形后容易找到公因式,提取后即可考慮判斷符號.2詳細板書在上面分析的基礎上，我對證明過程進行規(guī)范、完整的板書，引導學生注意證明過程的規(guī)范性和嚴謹性，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣.證明：任取, 設元 求差 變形.由得 斷號又由，得于是即.所以，函數在上是增函數定論3歸納步驟在板書的基礎上，我引導學生歸納利用定義證明函數單調性的方法和步驟(設元,求差,變形,斷號,定論).通過對證明過程的分析，使學生明確每一步的必要性和目的，特別是第三步，讓學生明確變形的方法以及變形的程度，幫助學生掌握方法，提高學生的推理論證能力為了鞏固用定義證明函數單調性的方法，