1、23.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)提出問(wèn)題問(wèn)題1：拋物線(xiàn)有幾個(gè)焦點(diǎn)？提示：一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題2：有人說(shuō)“拋物線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的一支”，這句話(huà)對(duì)嗎？提示：不對(duì)問(wèn)題3：拋物線(xiàn)y22px有對(duì)稱(chēng)性嗎？提示：有，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 導(dǎo)入新知拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)類(lèi)型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e1開(kāi)口方向向右向左向上向下化解疑難1拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線(xiàn)無(wú)對(duì)稱(chēng)中心，無(wú)漸近線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，不同于橢圓、雙曲線(xiàn)2p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離它的大小，影響拋物線(xiàn)開(kāi)口大小.

2、拋物線(xiàn)方程及其幾何性質(zhì)例1已知A，B是拋物線(xiàn)y22px(p0)上不同的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，求直線(xiàn)AB的方程解如圖所示設(shè)A(x0，y0)，由題意可知B(x0，y0)，又F是AOB的垂心，則AFOB，kAFkOB1，即1，yx0，又y2px0，x02p.因此直線(xiàn)AB的方程為x.類(lèi)題通法根據(jù)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)求拋物線(xiàn)的方程，一般利用待定系數(shù)法，先“定形”，再“定量”但要注意充分運(yùn)用拋物線(xiàn)定義，并結(jié)合圖形，必要時(shí)還要進(jìn)行分類(lèi)討論活學(xué)活用已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F在x軸上，直線(xiàn)l過(guò)F且垂直于x軸，l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4，求

3、此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程解：由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y22px(p0)，則焦點(diǎn)F，直線(xiàn)l：x，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，|AB|2|p|.OAB的面積為4，2|p|4，p2.拋物線(xiàn)方程為y24x.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系例2若拋物線(xiàn)y24x與直線(xiàn)yx4相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求證：OAOB.證明：由消去y，得x212x160.直線(xiàn)yx4與拋物線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn)A，B，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x212，x1x216.x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.類(lèi)題通法將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可通

4、過(guò)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)判別式或者對(duì)向量數(shù)量積的限制條件，利用限制條件建立不等式或等式，利用根與系數(shù)的關(guān)系運(yùn)算求解活學(xué)活用過(guò)點(diǎn)(3,2)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y24x只有一個(gè)公共點(diǎn)，求此直線(xiàn)方程解：顯然，直線(xiàn)斜率k存在，設(shè)其方程為y2k(x3)，由消去x，整理得ky24y812k0.(1)當(dāng)k0時(shí)，方程化為4y80，即y2，此時(shí)過(guò)(3,2)的直線(xiàn)方程為y2，滿(mǎn)足條件(2)當(dāng)k0時(shí)，方程應(yīng)有兩個(gè)相等實(shí)根由即得k或k1.所以直線(xiàn)方程為y2(x3)或y2(x3)，即x3y90或xy10.故所求直線(xiàn)有三條，其方程分別為：y2，x3y90，xy10.拋物線(xiàn)中的最值問(wèn)題例3在拋物線(xiàn)y22x上求一點(diǎn)P，使P

5、到直線(xiàn)xy30的距離最短，并求出距離的最小值解法一：設(shè)P(x0，y0)是y22x上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d，當(dāng)y01時(shí)，dmin，P.法二：設(shè)與拋物線(xiàn)相切且與直線(xiàn)xy30平行的直線(xiàn)方程為xym0，由得y22y2m0，(2)242m0，m.平行直線(xiàn)的方程為xy0，此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離轉(zhuǎn)化為兩平行線(xiàn)之間的距離，則dmin，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.類(lèi)題通法解決與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，一方面注意從幾何方面觀(guān)察、分析，并利用拋物線(xiàn)的定義解決問(wèn)題；另一方面，還要注意從代數(shù)角度入手，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)知識(shí)求解總之，與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題主要有兩種方法：(1)定義法；(2)函數(shù)法活學(xué)活用點(diǎn)P在拋物線(xiàn)2

6、y2x上，點(diǎn)Q在圓(x2)2y21上，求|PQ|的最小值解：圓(x2)2y21的圓心為M(2,0)，設(shè)P(2y，y1)，則|PM|2(2y2)2y4y7y442，|PM|，|PQ|min|PM|min11.典例已知AB是拋物線(xiàn)y22px(p0)的焦點(diǎn)弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p.證明(1)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)AB的方程為yk或x.當(dāng)直線(xiàn)AB的方程為ykx時(shí)，由消去x，得ky22pykp20.AB與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，k0.由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2p2.又y2px1，y2px2，x1x2.當(dāng)直線(xiàn)AB的方程為x時(shí)

7、，x1x2，y1p，y2p，y1y2p2.(2)由拋物線(xiàn)的焦半徑可知：|AF|x1，|BF|x2，|AB|AF|BF|x1x2p.多維探究解決過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一是注意將直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得方程組，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題；二是注意焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、焦半徑公式的應(yīng)用解題時(shí)注意整體代入思想的運(yùn)用，簡(jiǎn)化運(yùn)算1若本例中，AB是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)l被拋物線(xiàn)所截得的弦，其弦長(zhǎng)為6，求拋物線(xiàn)方程解：直線(xiàn)l的方程可寫(xiě)為yx.因|AB|AF|BF|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得22px，即x23px0.x1x23p，代入式，得3p6p，p.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y23x.2在本例

8、條件下，試求的值解：設(shè)直線(xiàn)AB：yk或x.當(dāng)直線(xiàn)AB的方程為yk時(shí)，由消去y，得k2x2p(k22)x0.AB與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，k0.x1x2，x1x2.又|AF|x1，|BF|x2，|AF|BF|x1x2p.|AF|BF|x1x2(x1x2)(x1x2)(x1x2p)(|AF|BF|)，即|AF|BF|AF|BF|，.當(dāng)直線(xiàn)AB的方程為x時(shí)，x1x2，y1p，y2p.|AF|BF|p.3在本例條件下，若M是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B，M向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l作垂線(xiàn)，垂足分別為A1，B1，M1.試證：(1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l相切；(2)AM1B90；(3)A1FB190.證明：如圖(1)|MM1

9、|(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l相切(2)由(1)知，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l相切于點(diǎn)M1，則AM1B90.(3)如圖：|AA1|AF|，|BB1|BF|，AA1FAFA1，BB1FBFB1.又AA1x軸，BB1x軸，AA1FA1FO，BB1FB1FO.AFA1A1FO，BFB1B1FO.A1FOB1FO90，即A1FB190.隨堂即時(shí)演練1設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的取值范圍是()A(6，)B6，)C(3，) D3，)解析：選D拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，3，即p6.又拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的最小值為，拋物線(xiàn)上的

10、點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的取值范圍為3，)2直線(xiàn)ykx2交拋物線(xiàn)y28x于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k等于()A2或1 B1C2 D3解析：選C由得k2x2(4k8)x40.由(4k8)216k20，得k1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，解得k2或k1(舍去)3過(guò)拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1x26，則|AB|_.解析：|AB|x1x2p628.答案：84線(xiàn)段AB是拋物線(xiàn)y2x的一條焦點(diǎn)弦，且|AB|4，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C到直線(xiàn)x0的距離為_(kāi)解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|x1x2p4，x1x2

11、4，中點(diǎn)C(x0，y0)到直線(xiàn)x0的距離為x0.答案：5已知拋物線(xiàn)y24x截直線(xiàn)y2xm所得弦長(zhǎng)|AB|3，求m的值解：由得4x24(m1)xm20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x21m，x1x2，|AB| .由|AB|3 ，即 3 ，解得m4.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線(xiàn)2x4y110上，則此拋物線(xiàn)的方程是()Ay211xBy211xCy222x Dy222x解析：選C在方程2x4y110中，令y0得x，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，即，p11，拋物線(xiàn)的方程是y222x.2過(guò)點(diǎn)(2,4)作直線(xiàn)l，與拋物線(xiàn)y28x只有一個(gè)公共點(diǎn)

12、，這樣的直線(xiàn)l有()A1條 B2條C3條 D4條解析：選B可知點(diǎn)(2,4)在拋物線(xiàn)y28x上，過(guò)點(diǎn)(2,4)與拋物線(xiàn)y28x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有兩條，一條是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，另一條與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行3設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)，A為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：選B設(shè)A(x，y)，則y24x，(x，y)，(1x，y)，xx2y24，由可解得x1，y2.4設(shè)F為拋物線(xiàn)y22x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，若F為ABC的重心，則| | | |的值為()A1 B2C3 D4解析：選C依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B

13、(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦點(diǎn)F，所以x1x2x33，則|x3(x1x2x3)3.5(全國(guó)乙卷)以?huà)佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為()A2 B4C6 D8解析：選B設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4.二、填空題6頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4的拋物線(xiàn)方程是_解析：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸的拋物線(xiàn)方程有兩個(gè)：x22py或x22py

14、(p0)由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4知p8，故所求拋物線(xiàn)的方程為x216y或x216y.答案：x216y或x216y7過(guò)拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)解析：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1.由拋物線(xiàn)的定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.因此，點(diǎn)M到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1.答案：8過(guò)拋物線(xiàn)x22py(p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè))，則_.解析：由題意可得焦點(diǎn)F，故直線(xiàn)AB的方程為yx

15、，與x22py聯(lián)立得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xAp，xBp，故Ap，p，Bp，p，所以|AF|p，|BF|2p，所以.答案：三、解答題9正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)y22px(p0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)解：如圖所示，設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，且坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y2px1，y2px2.又|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.因?yàn)閤10，x20,2p0，所以x1x2，由此可得|y1|y2|，即點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)由此得AOx30，所以y1x1，與y2px1聯(lián)立，解得y12p.所以|AB|2y14p.10已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)(1)若|AF|4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)的最小值解：由y24x，得p2，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1，焦點(diǎn)F(1,0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由拋