1、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析 學(xué)案【基礎(chǔ)知識精講】1.向心力的來源向心力并不是一種特殊的、另外的力，它可以由一個(gè)力或幾個(gè)力的合力來提供.在解決圓周運(yùn)動(dòng)有關(guān)問題時(shí)，分析向心力的來源是非常重要的，以下是幾類典型情況.1)水平面的圓周運(yùn)動(dòng)汽車轉(zhuǎn)彎汽車在水平的圓弧路面上的做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)(如圖6-1甲所示)，是什么力作為向心力的呢?如果不考慮汽車翻轉(zhuǎn)的情況，我們可以把汽車視為質(zhì)點(diǎn).汽車在豎直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一對平衡力；如果不考慮汽車行駛時(shí)受到的阻力，則汽車所受的地面對它的摩擦力就是向心力，如圖6-1乙所示.如果考慮汽車行駛時(shí)受到的阻力Ff，則靜摩擦力沿圓周切線方向的分Ft(通常叫

2、做牽引力)與阻力Ff平衡，而靜摩擦力指向圓心的分力Fn就是向心力，如下圖丙所示，這時(shí)靜摩擦力指向圓心的分力Fn也就是汽車所受的合力.火車轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，是什么力作為向心力呢?如果轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌一樣高，外側(cè)車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發(fā)生彈性形變，外軌對輪緣的彈力F就是使火車轉(zhuǎn)彎的向心力(如下左圖所示).設(shè)轉(zhuǎn)彎半徑為r，火車質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)彎時(shí)速率為v，則，F(xiàn)=m.由于火車質(zhì)量很大，靠這種辦法得到向心力，輪緣與外軌間的相互作用力要很大，鐵軌容易受到損壞. 實(shí)際在修筑鐵路時(shí)，要根據(jù)轉(zhuǎn)彎處的半徑r和規(guī)定的行駛速度v0，適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力來提供，如上右圖

3、所示.必須注意，雖然內(nèi)外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtg=mgtg，故mgtg=m,通常傾角不太大，可近似取tg=h/d，則hr=d.我國鐵路轉(zhuǎn)拐速率一般規(guī)定為v0=54km/h,即v0=15m/s,軌距d=1435mm,所以hr為定值.鐵路彎道的曲率半徑r是根據(jù)地形條件決定的.2)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)汽車過凸橋我們先來分析汽車過拱橋最高點(diǎn)時(shí)對橋的壓力.設(shè)汽車的質(zhì)量為m，過最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，橋面半徑為r.汽車在拱橋最高點(diǎn)時(shí)的受力情況如上圖所示，重力G和橋?qū)λ闹С至1的合力就是汽車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向豎直向下(指

4、向圓心)所以G-F1=m，則F1=G-m.汽車對橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚ψ饔昧头醋饔昧蕢毫1F1G-m.水流星水流星中的水在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中均由重力和壓力提供向心力，如下圖所示，要使水在最高點(diǎn)不離開杯底，則N0由 Nmg=m.則 V2.離心現(xiàn)象及其原因物體作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果m、r、v已確定，那么它所需要的向心力Fm就已確定.當(dāng)外界不能滿足它所需的向心力時(shí)，物體必將偏離圓軌道，其中有兩種情況F法0，沿切線離開圓心.F法m沿曲線遠(yuǎn)離圓心.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】本節(jié)重點(diǎn)是具體問題中分析向心力，綜合運(yùn)用牛頓定律解決問題.難點(diǎn)是在解決實(shí)際問題時(shí)仍然混淆向心力與合力，抓不住臨界點(diǎn)的特征，如豎直面內(nèi)圓

5、周的最高點(diǎn)等，這都要通過反復(fù)的比較分析和訓(xùn)練才能逐步提高能力.例1 長度不同的兩根細(xì)繩，懸于同一點(diǎn)，另一端各系一個(gè)質(zhì)量相同的小球，使它們在同一水平面內(nèi)作圓錐擺運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，則( )A.它們的周期相同B.較長的繩所系小球的周期較大C.兩球的向心力與半徑成正比D.兩繩張力與繩長成正比分析 設(shè)小球作圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長為L，擺角為，小球受到拉力為T0與重力mg的作用，由于加速度a水平向右，拉力T0與重力mg的合力ma的示意圖如下圖所示，由圖可知mgtg=ma因 a=2R=Lsin得T=2，Lcos為旋轉(zhuǎn)平面到懸點(diǎn)的高度，容易看出兩球周期相同T0sin=mLsinT0= L一定，T0LF向 r，F(xiàn)向

6、r故正確選項(xiàng)為A、C、D例2 質(zhì)量為m的汽車，以速度V通過半徑R的凸形橋最高點(diǎn)時(shí)對橋的壓力為 ，當(dāng)速度V 時(shí)對橋的壓力為零，以速度V通過半徑為R凹型最低點(diǎn)時(shí)對橋的壓力為 .分析 汽車以速率V作勻速圓周運(yùn)動(dòng)通過最高點(diǎn)時(shí)，牽引力與摩擦力相平衡，汽車在豎直方向的受力情況如下圖所示.汽車在凸橋的最高點(diǎn)時(shí)，加速度方向向下，大小為a=v2/R,由F=mamg-N1=mv2/R所以，汽車對橋的壓力N1=N1=mg-mv2/R當(dāng)N1=N1=0時(shí)，v=.汽車在凹橋的最低點(diǎn)時(shí)，豎直方向的受力如下圖所示，此時(shí)汽車的加速度方向向上，同理可得，N2=N2=mgmv2/R.小結(jié) 由分析可以看出，圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問題只是

7、牛頓第二定律的應(yīng)用中的一個(gè)特例，與直線運(yùn)動(dòng)中動(dòng)力學(xué)的解題思路，分析方法完全相同，需要注意的是其加速度a=v2/R或a=2R方向指向圓心.【難題巧解點(diǎn)撥】例3 在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放一個(gè)質(zhì)量為M的木塊，靜摩擦因數(shù)為，轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩一端系住木塊M，另一端通過轉(zhuǎn)臺(tái)中心的小孔懸一質(zhì)量為m的木塊，如下圖所示，求m與轉(zhuǎn)臺(tái)能保持相對靜止時(shí)，M到轉(zhuǎn)臺(tái)中心的最大距離R1和最小距離R2.分析 M在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平臺(tái)對M的支持力與Mg相平衡，拉力與平臺(tái)對M的摩擦力的合力提供向心力.設(shè)M到轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離為R，M以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力為M2R，若M2RTmg，此時(shí)平臺(tái)對M的摩擦力為零.若R1R，M2R1mg，平

8、臺(tái)對M的摩擦力方向向左，由牛頓第二定律f+mg=M2R1，當(dāng)f為最大值Mg時(shí)，R1最大.所以，M到轉(zhuǎn)臺(tái)的最大距離為R1=(Mg+mg)/M2.若R2R，M2R2mg，平臺(tái)對M的摩擦力水平向右，由F=ma.mg-f=M2R2f=Mg時(shí)，R2最小，最小值為R2=(mg-Mg)/M2.小結(jié) 本例實(shí)際上屬于一個(gè)簡單的連接體，直線運(yùn)動(dòng)中關(guān)于連接體的分析方法，在圓周運(yùn)動(dòng)中同樣適用.例4 長L=0.5m，質(zhì)量可忽略的桿，其下端固定于O點(diǎn)，上端連接一個(gè)零件A，A的質(zhì)量為m=2kg，它繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，在A通過最高點(diǎn)時(shí)，求下列兩種情況下桿受的力：(1)A的速率為1m/s，(2)A的速率為4m/s.分

9、析 桿對A的作用力為豎直方向，設(shè)為T，重力mg與T的合力提供向心力，由F=ma，a=v2/R，得mg+T=mv2/R T=m(v2/R-g)(1)當(dāng)v=1m/s時(shí)，T=2(12/0.5-10)N=-16N(2)當(dāng)v=4m/s時(shí)，T=2(42/0.5-10)N=44N(1)問中T為負(fù)值，表明T與mg的方向相反，桿對A的作用力為支持力.討論(1)由上式，當(dāng)v=時(shí)，T0，當(dāng)v時(shí)，T為正值，對A的作用力為拉力，當(dāng)v時(shí)，T為負(fù)值，對A的作用力為支持力.(2)如果把桿換成細(xì)繩，由于T0，則有v.例5 如下圖甲所示，質(zhì)量為m的物體，沿半徑為R的圓形軌道自A點(diǎn)滑下，A點(diǎn)的法線為水平方向，B點(diǎn)的法線為豎直方向，

10、物體與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，物體滑至B點(diǎn)時(shí)的速度為v，求此時(shí)物體所受的摩擦力.解析：物體由A滑到B的過程中，受到重力、軌道對其彈力及軌道對其摩擦力的作用，物體一般做變速圓周運(yùn)動(dòng).已知物體滑到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，它在B點(diǎn)時(shí)的受力情況如圖6-12乙所示.其中軌道的彈力FN、重力G的合力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向一定指向圓心.故 甲 乙FN-G=mFN=mg+m，則滑動(dòng)摩擦力為F1=FN=(mg+m).這里的分析和計(jì)算所依據(jù)的仍是普遍的運(yùn)動(dòng)規(guī)律牛頓第二定律，只是這里的加速度是向心加速度.向心力和向心加速度的公式雖然是從勻速圓周運(yùn)動(dòng)得出的，但向心力公式Fm實(shí)際上就是牛頓第二定律的一種特殊形式，

11、因此也適用于變速圓周運(yùn)動(dòng).在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，上式中的v必須用對應(yīng)位置的瞬時(shí)速度值.由圖6-12乙可知，物體所受的合力是軌道的彈力FN、摩擦力F1重力G這三個(gè)力的合力，方向應(yīng)斜向上，在此我們再次看到物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力與其所受的合力是不同的.【典型熱點(diǎn)考題】例1 如下圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M0.6kg的物體，靜止在水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m0.3kg的物體，M的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度在什么范圍m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)?(g10m/s2)解析：fm2Nmg3N 故水平面必須轉(zhuǎn)動(dòng)，m才能靜止.據(jù)靜摩擦力的可變性，有

12、兩種情況mg+fmMR12，1mg-fmMR22,2例2 如下圖所示，光滑水平面上釘兩個(gè)釘子A和B，相距為20cm。用長度為1m的細(xì)繩，一端系一只質(zhì)量為0.4kg的小球，另一端固定在釘子上。開始時(shí)小球與釘子A、B均在同一直線上，然后使小球以2m/s的速率，開始在水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若繩子能承受的最大張力是4N，那么從開始到繩斷所經(jīng)歷的時(shí)間是( )A.0.9s B.1.2s C.1.4s D.2.4s解析：由F大m得R小0.4(m)，即小球作圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為0.4m。由圖可知，小球每轉(zhuǎn)動(dòng)半圈運(yùn)動(dòng)半徑縮短0.2m。小球從圖示位置轉(zhuǎn)過一圈半運(yùn)動(dòng)半徑將達(dá)0.4m，接著尚可繼續(xù)轉(zhuǎn)半圈而繩子不斷。

13、從開始到繩斷小球應(yīng)轉(zhuǎn)滿兩圈。t1.4(S)。故C正確.注意：向心力公式實(shí)質(zhì)上是牛頓第二定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的具體表達(dá)式?！就竭_(dá)綱練習(xí)】1.若火力按規(guī)定速率轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌對車輪皆無側(cè)壓力，則火車以較小速率轉(zhuǎn)彎時(shí)( )A.僅內(nèi)軌對車輪有側(cè)壓力B.僅外軌對車輪有側(cè)壓力C.內(nèi)、外軌對車輪都有側(cè)壓力D.內(nèi)、外軌對車輪均無側(cè)壓力2.把盛水的水桶拴在長為l的繩子一端，使這水桶在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)，要使水在水桶轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)不從桶里流出來，這時(shí)水桶的線速度至少應(yīng)該是( )A. B. C. D.2E.03.A、B、C三個(gè)物體放在旋轉(zhuǎn)圓臺(tái)上，靜摩擦系數(shù)均為，A的質(zhì)量為2m，B、C的質(zhì)量均為m， A、B離軸為R，C離

14、軸為2R，則當(dāng)圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)：(設(shè)A、B、C都沒有滑動(dòng)，如下圖所示)( )A.C物的向心加速度最大B.B物的靜摩擦力最小C.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，C比A先滑動(dòng)D.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，B比A先滑動(dòng)4.如下圖所示：在以角速度旋轉(zhuǎn)的光滑的細(xì)桿上穿有質(zhì)量分別為m和M的兩球，兩球用輕細(xì)線連接.若Mm,則( )A.當(dāng)兩球離軸距離相等時(shí)，兩球都不動(dòng)B.當(dāng)兩球離軸的距離之比等于質(zhì)量之比時(shí)，兩球都不動(dòng)C.若轉(zhuǎn)速為時(shí)兩球不動(dòng)，那么轉(zhuǎn)速為2時(shí)兩球也不會(huì)動(dòng)D.若兩球滑動(dòng)，一定向同一方向，不會(huì)相向滑動(dòng)5.如下圖所示，一小球套在光滑輕桿上，繞著豎直軸OO勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，下列關(guān)于小球的說法中正確的是( )A.小球受到重力、彈力和摩擦力B.

15、小球受到重力、彈力C.小球受到一個(gè)水平指向圓心的向心力D.小球受到重力、彈力的合力是恒力6.m為在水平傳送帶上被傳送的物體，A為終端皮帶輪.如下圖所示，A輪半徑為r，則m可被平拋出去時(shí)，A輪的角速度至少為 .7.如下圖所示，在光滑的水平面上釘兩個(gè)釘子A和B，相距20cm.用一根長1m的細(xì)繩，一端系一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的小球，另一端固定在釘子A上，開始時(shí)球與釘子A、B在一直線上，然后使小球以2m/s的速率開始在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).若繩子能承受的最大拉力為4N，那么從開始到繩斷所經(jīng)歷的時(shí)間是多少?【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.寬闊的路面上，假設(shè)汽車和地面的滑動(dòng)摩擦力F等于靜摩擦力，汽車的質(zhì)量為m，汽車以

16、速度v行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前面不遠(yuǎn)處有一深溝垂直于汽車的前進(jìn)方向，如果汽車急剎車，則汽車滑行距離s1等于多少可停車?如果司機(jī)急轉(zhuǎn)彎做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑R多大?為了避開深溝，試計(jì)算并討論司機(jī)應(yīng)采取上述兩種方式中的哪一種方式來避免事故的發(fā)生.2.如下圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)P，與穿過中央小孔H的輕繩一端連著.平板與小孔是光滑的，用手拉著繩子下端，使質(zhì)點(diǎn)做半徑為a、角速度為1的勻速圓周運(yùn)動(dòng).若繩子迅速放松至某一長度b而拉緊，質(zhì)點(diǎn)就能在以半徑為b的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng).求質(zhì)點(diǎn)由半徑a到b所需的時(shí)間及質(zhì)點(diǎn)在半徑為b的圓周上運(yùn)動(dòng)的角速度.【生活實(shí)際運(yùn)用】汽車沿半徑為R的圓跑道勻速行駛，設(shè)跑道的路面是水平的，路面作用于車的摩擦力的最大值是車重的1/10，要使汽車不致沖出圓跑道，車速最大不能超過多少?如右圖甲所示是汽車沿圓跑道行駛時(shí)的背影簡圖，試根據(jù)圖中車箱的傾側(cè)情況和左右輪胎受擠壓后的形變情況判斷圓跑道的圓心位置在左側(cè)還是右側(cè)?解析：如果不考慮汽車行駛時(shí)所受的阻力，那么汽車在圓跑道勻速行駛時(shí)，輪胎所受的靜摩擦力F(方向指向圓心)