1、1,第九章 數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),9.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng)及量化誤差 9.2 數(shù)字濾波器系數(shù)量化誤差分析 9.3 定點(diǎn)運(yùn)算IIR和FIR數(shù)字濾波器誤差分析 9.4 浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)字濾波器和FFT算法中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),2,內(nèi)容提要,量化誤差 (1) A/D變換器中的量化誤差。 (2) 濾波器的系數(shù)量化誤差。 (3) 運(yùn)算中的量化誤差。 研究有限字長(zhǎng)效應(yīng)目的： （1）若字長(zhǎng)固定，進(jìn)行誤差分析，可知結(jié)果的可信度，否則若可信度差，要采取改進(jìn)措施。 （2）用專用DSP芯片實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，定點(diǎn)與硬件采用字長(zhǎng)有關(guān)。,3,9.1有限字長(zhǎng)效應(yīng)及量化誤差,9.1.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng) 9.1.2 信號(hào)的量化誤差

2、9.1.3 A/D變換器中的量化效應(yīng),4,9.1.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng),信號(hào)處理在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，字長(zhǎng)總是有限的，因?yàn)榇鎯?chǔ)器是有限字長(zhǎng)的，所以有限字長(zhǎng)效應(yīng)有DF的有限字長(zhǎng)效應(yīng)、DFT（FFT）有限字長(zhǎng)效應(yīng)、A/D變換器的量化誤差。即有限字長(zhǎng)意味著：有限運(yùn)算精度和有限動(dòng)態(tài)范圍。在量化和運(yùn)算過(guò)程中，由于有限字長(zhǎng)必然產(chǎn)生誤差，這些誤差會(huì)給數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)精度和濾波器穩(wěn)定性帶來(lái)不良影響。 如一個(gè)線性、非移變、因果系統(tǒng)的差分方程為：,5,輸入序列x(n)、輸出序列y(n)以及方程中的系數(shù)ai、bi等，認(rèn)為它們的數(shù)值是可以連續(xù)變化的，即：無(wú)限精度。 但當(dāng)具體實(shí)現(xiàn)一個(gè)離散系統(tǒng)時(shí)，無(wú)論用軟件方式還是硬件方式，都是以

3、數(shù)字形式實(shí)現(xiàn)，因而都要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行量化處理，即用有限字長(zhǎng)來(lái)表示。 下面從數(shù)據(jù)的量化角度來(lái)分析誤差來(lái)源及其影響。 數(shù)的表示方法有定點(diǎn)制和浮點(diǎn)制。 定點(diǎn)制指的是數(shù)碼中小數(shù)點(diǎn)的位置固定不變，其不足是動(dòng)態(tài)范圍小，有溢出問(wèn)題。而浮點(diǎn)制可以避免這個(gè)缺點(diǎn)，它的動(dòng)態(tài)范圍大，可以避免溢出，不需要比例因子。 浮點(diǎn)制是將一個(gè)數(shù)表示成尾數(shù)和指數(shù)兩部分。在浮點(diǎn)制運(yùn)算中，不論是相乘還是相加，尾數(shù)的位數(shù)都可能超過(guò)寄存器長(zhǎng)度，都要做尾數(shù)的量化處理，因而都有量化誤差。,9.1.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng),6,9.1.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng),數(shù)的二進(jìn)制編碼形式有原碼、反碼和補(bǔ)碼。 二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度比寄存器長(zhǎng)度長(zhǎng)時(shí)，要進(jìn)行尾數(shù)處理，處理的方法有舍入法

4、和截尾法。 量化誤差的大小及性質(zhì)與數(shù)的表示方法、二進(jìn)制編碼形式及具體尾數(shù)處理方法有關(guān)，更與寄存器的長(zhǎng)度有關(guān)。另外系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不同，將會(huì)明顯地影響系統(tǒng)輸出的量化誤差。,7,對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，有限字長(zhǎng)效應(yīng)造成數(shù)字信號(hào)處理輸出的誤差表現(xiàn)為：（一）如果被處理的是模擬信號(hào),則需經(jīng)過(guò)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器變成某一種編碼方式的二進(jìn)制數(shù)序列。 取樣和量化是模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的兩個(gè)主要過(guò)程。 量化過(guò)程可以模型化為取樣序列疊加上量化噪聲，從而得到量化信號(hào)。對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，量化后的信號(hào)經(jīng)濾波后得到的輸出信號(hào)y(n)為兩部分之和，一部分是輸入信號(hào)x(n)通過(guò)濾波器產(chǎn)生的輸出:y(n)= x(n) *h(n),另一部分是量化噪聲e(n

5、)通過(guò)濾波器產(chǎn)生的輸出:e0=e(n)*h(n),這里h(n)為是濾波器的沖激響應(yīng)。即，輸入信號(hào)的量化在濾波器輸出端引起了噪聲，這個(gè)噪聲的大小與輸入信號(hào)量化時(shí)的字長(zhǎng)有關(guān)系。,9.1.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng),8,（二）系統(tǒng)中濾波器系數(shù)的量化處理，即用有限位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示，則必然會(huì)引入量化誤差。 對(duì)于某些結(jié)構(gòu)類型的濾波器（例如，具有反饋支路的遞歸濾波器結(jié)構(gòu)）來(lái)說(shuō)，其零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置對(duì)于濾波器系數(shù)的變化特別敏感，因而濾波器系數(shù)由于量化誤差引起的微小改變，都有可能對(duì)濾波器的頻率響應(yīng)特性產(chǎn)生很大的影響，尤其是在單位圓內(nèi)且非?？拷鼏挝粓A的極點(diǎn)，一旦由于濾波器系數(shù)的量化誤差，使這些極點(diǎn)跑到單位圓上或圓外時(shí)，濾波器

6、就失去了其原有的穩(wěn)定性。,9.1.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng),9,（三）采用“截尾”或“舍入”的處理方法將運(yùn)算結(jié)果依據(jù)寄存器字長(zhǎng)的大小進(jìn)行處理，這會(huì)引入截尾誤差或舍入誤差。 有限字長(zhǎng)效應(yīng)造成的誤差，與以下幾個(gè)問(wèn)題有關(guān)： 量化方式是截尾還是舍入； 負(fù)數(shù)用二進(jìn)制數(shù)的原碼表示，還是用反碼或補(bǔ)碼表示； 算術(shù)運(yùn)算是用定點(diǎn)運(yùn)算還是用浮點(diǎn)運(yùn)算； 采用什么類型的系統(tǒng)結(jié)構(gòu) (例如，對(duì)于數(shù)字濾波器來(lái)說(shuō)，是采用遞歸結(jié)構(gòu)還是非遞歸結(jié)構(gòu)，是采用高階直接實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)還是采用由低階節(jié)組成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)或并聯(lián)結(jié)構(gòu))。,9.1.1 有限字長(zhǎng)效應(yīng),10,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,在實(shí)際應(yīng)用中待處理信號(hào)往往都是一些模擬信號(hào)： 聲音、圖像、電壓、

7、水流、氣溫、壓力、心電圖等。 借助A/D轉(zhuǎn)換將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變成數(shù)字信號(hào)，然后再進(jìn)行后續(xù)的相關(guān)處理。如有必要再通過(guò)D/A轉(zhuǎn)換，將數(shù)字信號(hào)還原為可聽(tīng)、可視的模擬信號(hào)。 在這種轉(zhuǎn)換過(guò)程當(dāng)中，時(shí)域采樣是數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號(hào)的重要環(huán)節(jié)。采樣就是指利用“采樣器”從連續(xù)信號(hào)中“抽取”信號(hào)的離散序列樣值，即稱之為“采樣”信號(hào)。“采樣”也稱“取樣”、“抽樣”。采樣信號(hào)在時(shí)間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號(hào)，還須經(jīng)過(guò)量化編碼才能轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號(hào)。即要將模擬信號(hào)抽樣和量化，使之轉(zhuǎn)換成一定字長(zhǎng)的數(shù)字序列值信號(hào)。,11,數(shù)字序列值用有限長(zhǎng)的二進(jìn)制數(shù)表示 例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101

8、)2， 若限制用八位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示，則為（0.10111010）2，而（0.10111010）2=（0.7265625）10，那么， 引起的誤差為：0.729156-0.7265625=0.0025935，該誤差稱為量化誤差。 這是在二進(jìn)制數(shù)的存儲(chǔ)方面。 另一方面，在定點(diǎn)制的乘法以及浮點(diǎn)制的加法和乘法在運(yùn)算結(jié)束后都會(huì)使字長(zhǎng)增加，因而都需要再對(duì)尾數(shù)進(jìn)行處理，其誤差取決于所用的二進(jìn)制的位數(shù)b、數(shù)的運(yùn)算方式（定點(diǎn)制或浮點(diǎn)制）、負(fù)數(shù)的表示法以及對(duì)尾數(shù)的處理方法。,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,12,假設(shè)序列值用b+1位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示，其中用1位來(lái)表示符號(hào)，用b位表示尾數(shù)，最小碼位所表示的數(shù)值稱為“量化步

9、階”或“量化寬度”，用來(lái)表示，則q=2-b 。 如果二進(jìn)制編碼的尾數(shù)長(zhǎng)于b，則必須要進(jìn)行尾數(shù)處理，且處理成b位，也即量化。尾數(shù)處理有兩種方法，即截尾法和舍入法。,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,13,截尾法是將尾數(shù)的第b+1位以及后面的二進(jìn)制碼全部略去。 舍入法是按最接近的值取b位值，即將第b+1位按逢1進(jìn)位，逢0不進(jìn)位，然后略去后面的b+1位。 顯然這兩種處理方法所引起的誤差是不同的。 對(duì)于定點(diǎn)制二進(jìn)制數(shù)的舍入法，原碼、反碼和補(bǔ)碼的量化誤差ei是相同的，范圍是：-q/2eiq/2。 對(duì)于截尾法，不同的編碼其量化誤差ei的范圍也不相同： 定點(diǎn)制正數(shù)原碼的量化誤差ei的范圍為：-q ei 0； 定點(diǎn)

10、負(fù)數(shù)原碼的量化誤差ei的范圍為：0 ei q 。 定點(diǎn)補(bǔ)碼的量化誤差ei的范圍為：-q ei 0。,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,14,1下面是定點(diǎn)制運(yùn)算中的截尾誤差和舍入誤差。,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,（a）補(bǔ)碼 （b）原碼、反碼 圖9-1 截尾處理的量化特性（q=2-b）,圖9-2 舍入處理的量化特性,15,表9-1 定點(diǎn)運(yùn)算中的截尾和舍入誤差（q=2-b）,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,16,2浮點(diǎn)制運(yùn)算中的截尾誤差和舍入誤差。 表9-2 浮定點(diǎn)運(yùn)算中的相對(duì)誤差,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,17,由以上分析可以看出，舍入和截尾都產(chǎn)生非線性關(guān)系。 定點(diǎn)補(bǔ)碼截尾法量化噪聲的統(tǒng)計(jì)平均值為-q/

11、2，相當(dāng)于給信號(hào)增加了一個(gè)直流分量，從而改變了信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)； 而舍入法的統(tǒng)計(jì)平均值為0，這一點(diǎn)比定點(diǎn)補(bǔ)碼截尾法好。為了研究量化誤差對(duì)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)精度的影響，必須了解舍入和截尾誤差的特型，一般最方便的方法是把這些量化誤差看成隨機(jī)變量，對(duì)每種誤差求出概率密度函數(shù)，并進(jìn)行較為合理的假設(shè)，即量化誤差在整個(gè)可能出現(xiàn)的范圍內(nèi)是等概率的，也就是均勻分布的。對(duì)于定點(diǎn)制，變量為絕對(duì)誤差ET ，對(duì)于浮點(diǎn)制，變量為相對(duì)誤差R。,9.1.2 信號(hào)的量化誤差,18,9.1.3 A/D變換器中的量化效應(yīng),A/D（模/數(shù)）變換器完成的是將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)的作用，即將輸入的模擬信號(hào)x(t)轉(zhuǎn)換為b位二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)

12、。變換器位數(shù)有限，因此存在量化誤差。分析A/D變換器 量化效應(yīng)的目的在于選擇合適的字長(zhǎng)，以滿足信噪比指標(biāo)。 假設(shè)用e(n)表示量化誤差，x(n)表示沒(méi)有量化誤差的抽樣序列數(shù)字信號(hào)（即無(wú)限精度），量化器對(duì)每個(gè)抽樣序列x(n)進(jìn)行截尾或舍入的量化處理，用表示量化編碼后的信號(hào)，則 = x(n)+ e(n) x(n)是有用信號(hào)，e(n)呈現(xiàn)噪聲的特點(diǎn)，相當(dāng)于在A/D變換器中引入一個(gè)噪聲源。這樣A/D變換器的輸出中除了有用信號(hào)以外，還增加了一個(gè)噪聲信號(hào)。,19,A/D變換器的統(tǒng)計(jì)模型如圖9-3所示。圖中的理想A/D變換器沒(méi)有量化誤差，實(shí)際中的量化誤差是在輸出端疊加一個(gè)等效的噪聲源e(n)。 圖9-3 A

13、/D變換器的統(tǒng)計(jì)模型,9.1.3 A/D變換器中的量化效應(yīng),20,由于在抽樣模擬信號(hào)的數(shù)字處理中，把量化噪聲看成相加性噪聲序列，量化過(guò)程看成是無(wú)限精度的信號(hào)與量化噪聲的疊加，因而信噪比是一個(gè)衡量量化效應(yīng)的重要指標(biāo)。,9.1.3 A/D變換器中的量化效應(yīng),21,一般A/D變換器采用定點(diǎn)制，尾數(shù)采用舍入法。若共有b+1位，符號(hào)占1位，尾數(shù)為b位，量化步階為q=2-b。為了簡(jiǎn)化分析，對(duì)該模型做如下假設(shè)： （1）e(n)是白噪聲序列； （2）e(n)與x(n)不相關(guān)； （3）e(n)在自己的取值范圍 內(nèi)呈均勻分布。,9.1.3 A/D變換器中的量化效應(yīng),22,圖9-4給出的是舍入量化噪聲概率密度函數(shù)曲

14、線。e(n)的統(tǒng)計(jì)平均值為 =0，平均功率（即均方差）為 。A/D變換器的輸出信噪比S/N 用信號(hào)平均功率與舍入量化噪聲的平均功率之比 表示，即 則信噪比的分貝數(shù)為： （9-1）,9.1.3 A/D變換器中的量化效應(yīng),23,上式表明： （1）A/D變換器輸出的信噪比與A/D變換器的字長(zhǎng)有關(guān)；（2）與輸入信號(hào)的平均功率有關(guān)。 結(jié)論為：（1）A/D變換器量化字長(zhǎng)每增加1位，輸出信噪比約可以提高6dB。但是b受到輸入信號(hào)的信噪比的限制；（2）輸入信號(hào)越大則輸出信噪比越高。但一般A/D變換器的輸入都有一定的動(dòng)態(tài)范圍限定，否則過(guò)大的動(dòng)態(tài)范圍，會(huì)發(fā)生限幅失真。實(shí)際應(yīng)用中線性A/D一般要求12位以上滿足通信

15、要求，非線性A/D一般要求8位以上滿足通信要求。,9.1.3 A/D變換器中的量化效應(yīng),24,9.2.1 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響 9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,9.2 數(shù)字濾波器系數(shù)量化誤差分析,25,前面討論中，在設(shè)計(jì)理想數(shù)字濾波器時(shí)，各濾波器系數(shù)bk，ak都是無(wú)限精度的。 但實(shí)際實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，濾波器系數(shù)都是被量化了的，所有系數(shù)只能用有限字長(zhǎng)的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示。 系數(shù)的量化誤差，在不同程度上使濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)偏離設(shè)計(jì)中預(yù)定的位置，從而影響到濾波器的頻率特性偏離設(shè)計(jì)的要求，在量化誤差嚴(yán)重時(shí)，如果z平面單位圓內(nèi)極點(diǎn)偏移到單位圓外，使濾波器性能不穩(wěn)定而無(wú)法使用。

16、系數(shù)量化效應(yīng)對(duì)濾波器性能的影響與寄存器的字長(zhǎng)有直接的關(guān)系，并且和濾波器結(jié)構(gòu)形式也同樣密切相關(guān)。選擇合適的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可以減小系數(shù)量化帶來(lái)的影響，幫助我們選擇合適的字長(zhǎng)，為濾波器的工程實(shí)現(xiàn)提供依據(jù)，從而設(shè)計(jì)出符合頻率響應(yīng)指標(biāo)要求的系統(tǒng)。,9.2 數(shù)字濾波器系數(shù)量化誤差分析,26,濾波器的穩(wěn)定性取決于極點(diǎn)的位置，如果系數(shù)量化誤差使單位圓內(nèi)的極點(diǎn)移到了單位圓上或圓外，則濾波器的特性與所要求的頻率響應(yīng)不同，濾波器的穩(wěn)定性就受到了破壞，顯然，單位圓內(nèi)最靠近單位圓的極點(diǎn)最容易出現(xiàn)這種情況。,9.2.1 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響,27,FIR濾波器僅在Z=0處有高階極點(diǎn)，沒(méi)有其他極點(diǎn)，因而系數(shù)量化誤差

17、將主要影響零點(diǎn)的位置，不會(huì)影響濾波器的穩(wěn)定性。但對(duì)于IIR濾波器，一般存在著許多極點(diǎn)，情況則不同，所以可以用系數(shù)量化引起極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置誤差來(lái)衡量一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)系數(shù)量化靈敏度的影響。不同形式的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，在相同的系數(shù)“量化步距”情況下，其量化靈敏度是不同的。,9.2.1 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響,（9-2）,28,（9-2）式表示了一個(gè)無(wú)限精度的N階直接型結(jié)構(gòu)的IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它具有窄帶低通頻率特性。因此，該濾波器的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)聚集在z=1附近。系數(shù)ak和bk是系統(tǒng)直接結(jié)構(gòu)所求出的無(wú)限精度的系數(shù)，量化造成的系數(shù)誤差為ar和br，量化后的系數(shù)用 和 表示，即 （9-3）,9

18、.2.1 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響,29,則實(shí)際的系統(tǒng)函數(shù)可表示為:,9.2.1 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響,（9-4）,30,從式（9-4）可以看出，系數(shù)量化后的頻率響應(yīng)已不同于最初設(shè)計(jì)的頻率響應(yīng)。 當(dāng)用直接型結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)該濾波器時(shí)，系數(shù)ak和bk都將直接出現(xiàn)在信號(hào)流程圖中，其中ak影響著極點(diǎn)的位置。當(dāng)由于系數(shù)量化誤差使一個(gè)極點(diǎn)從單位圓內(nèi)移動(dòng)到單位圓上或單位圓外時(shí)，濾波器的穩(wěn)定性即受到破壞。所以，只要有一個(gè)系數(shù)由于量化產(chǎn)生很微小的誤差，就有可能使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。反饋支路的階次N越高，使濾波器失去穩(wěn)定的系數(shù)量化誤差的絕對(duì)值就越小，則越容易使濾波器變得不穩(wěn)定。,9.2.1 系數(shù)量化誤差

19、對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響,31,系數(shù)量化誤差導(dǎo)致實(shí)際的頻率響應(yīng)與理論上要求的頻率響應(yīng)不同，或者說(shuō)表現(xiàn)在零點(diǎn)和極點(diǎn)位置偏離了理論上規(guī)定的位置。 引入極點(diǎn)位置靈敏度的概念，來(lái)衡量每個(gè)極點(diǎn)位置對(duì)各系數(shù)量化偏差的敏感程度。 不同形式的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，在相同的系數(shù)“量化步距”的情況下，其量化靈敏度是不同的。用同樣的方法可以分析零點(diǎn)位置靈敏度，但極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響更大，直接影響到系統(tǒng)得穩(wěn)定性，所以更為人們所注意和研究。因此，為了得到與理想頻率特性盡可能接近的實(shí)際頻率特性，應(yīng)當(dāng)選擇極點(diǎn)和零點(diǎn)位置對(duì)系數(shù)量化誤差最不敏感的那些結(jié)構(gòu)形式。,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,32,設(shè)濾波器的傳輸函數(shù) 由式（9

20、-4）給出，系數(shù)ak 和bk經(jīng)舍入量化后由式（9-3）給出，這里ak和bk是量化誤差。 有N個(gè)極點(diǎn)，用 （=1,2, N）表示。這樣，實(shí)際的濾波器的傳輸函數(shù)為:,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,（9-5）,33,上式中， 是第i個(gè)極點(diǎn)位置的偏移，稱為極點(diǎn)誤差，它是由 系數(shù)量化誤差引起的。 與 之間的關(guān)系是:,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,式中， 得大小直接影響第k個(gè)系數(shù)偏差 所引起的第i個(gè)極點(diǎn)偏差 的大?。?越大， 越大。 也即 是說(shuō)明第i個(gè)極點(diǎn)的位置對(duì)分母多項(xiàng)式中第k個(gè)系數(shù)的量化誤差的敏感程度的一個(gè)量，稱為極點(diǎn)敏感度 。,34,經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可以得出靈敏度

21、和極點(diǎn)的關(guān)系：,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,（9-6）,35,上式即是系數(shù)量化偏差引起的第i個(gè)極點(diǎn)的偏差。 說(shuō)明了濾波器的第i個(gè)極點(diǎn)的位置對(duì)傳輸函數(shù)分母多項(xiàng)式的第k個(gè)系數(shù)的量化誤差的敏感程度與極點(diǎn)分布的關(guān)系。此式只對(duì)單階極點(diǎn)有效，多階極點(diǎn)可進(jìn)行類似的推導(dǎo)。對(duì)于直接型結(jié)構(gòu)，由于它的零點(diǎn)只取決于分子多項(xiàng)式的系數(shù)，因而對(duì)于零點(diǎn)可得到完全相似的結(jié)果。,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,36,具體來(lái)說(shuō)，由式（9-6）可以得出以下結(jié)論： （1）分母多項(xiàng)式中， 是極點(diǎn) 指向極點(diǎn) 的矢量，整個(gè)分母是所有極點(diǎn)與第i個(gè)極點(diǎn)之間的矢量乘積。如果這些距離都很小即如果所有N個(gè)極

22、點(diǎn)都聚集在一起，那么距離的矢量乘積就很小，第i個(gè)極點(diǎn)的位置對(duì)系數(shù)量化誤差就非常敏感，即極點(diǎn)位置靈敏度高，相應(yīng)的極點(diǎn)偏差就大。,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,37,（2）極點(diǎn)偏差與系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)N有關(guān)，階數(shù)越高，濾波器的極點(diǎn)位置對(duì)系數(shù)量化誤差越敏感，極點(diǎn)偏差也大。高階直接型結(jié)構(gòu)濾波器的極點(diǎn)數(shù)目多而密，低階直接型結(jié)構(gòu)濾波器的極點(diǎn)數(shù)目少而稀疏，因而前者對(duì)系數(shù)量化誤差要更加敏感，同理，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)比直接型結(jié)構(gòu)要好得多。因此，高階結(jié)構(gòu)時(shí)，由于各二階節(jié)相互獨(dú)立級(jí)聯(lián)或并聯(lián)的結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而很少采用直接型結(jié)構(gòu)。,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,38,（3）當(dāng)采

23、用二階節(jié)級(jí)聯(lián)或并聯(lián)結(jié)構(gòu)時(shí)，由于各二階節(jié)相互獨(dú)立，各有一對(duì)復(fù)共軛極點(diǎn)，特別是對(duì)于窄帶帶通濾波器來(lái)說(shuō)，每對(duì)復(fù)共軛極點(diǎn)的兩極點(diǎn)都相距較遠(yuǎn)，因而系數(shù)量化誤差對(duì)極點(diǎn)置的影響格外小。 綜上以上考慮，為了減小系數(shù)量化誤差對(duì)極點(diǎn)位置的影響，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)避免采用高階的直接型結(jié)構(gòu)，而最好采用由一階或二階節(jié)構(gòu)成的級(jí)聯(lián)或并聯(lián)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)。這樣可避免較多的零、極點(diǎn)集中在一起。通常為了能夠獨(dú)立地控制各節(jié)的極點(diǎn)或零點(diǎn)，多選用級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。,9.2.2 系數(shù)量化誤差對(duì)濾波器零、極點(diǎn)位置的影響,39,9.3定點(diǎn)運(yùn)算IIR和FIR數(shù)字濾波器誤差分析,9.3.1 有限字長(zhǎng)定點(diǎn)運(yùn)算IIR濾波器的誤差分析 9.3.2 定點(diǎn)FIR濾波器的有

24、限字長(zhǎng)效應(yīng),40,9.3 定點(diǎn)運(yùn)算IIR和FIR數(shù)字濾波器誤差分析,通過(guò)前面的討論我們知道，系統(tǒng)的系數(shù)量化對(duì)零、極點(diǎn)位置的改變，將導(dǎo)致系統(tǒng)頻響特性的改變。利用零、極點(diǎn)位置敏感度無(wú)法直接得到頻響特性的偏差，尤其當(dāng)系統(tǒng)為高階的情況，其系數(shù)多且量化誤差具有隨機(jī)特點(diǎn)，所以可以將系數(shù)量化誤差等效為隨機(jī)變量，通過(guò)采用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)高階系統(tǒng)的性能偏差。,41,實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器所包含的基本運(yùn)算有延時(shí)、乘系數(shù)和相加三種。 延時(shí)運(yùn)算由寄存器來(lái)完成，并不造成字長(zhǎng)的變化，而通常信號(hào)和濾波器的系數(shù)用有限字長(zhǎng)定點(diǎn)二進(jìn)制小數(shù)表示，因此，濾波器主要涉及乘系數(shù)和相加乘法和加法運(yùn)算造成的影響。 定點(diǎn)小數(shù)相加后字長(zhǎng)不會(huì)增加，因此無(wú)需進(jìn)

25、行截尾或舍入處理；定點(diǎn)小數(shù)相加的溢出問(wèn)題可以通過(guò)乘以適當(dāng)?shù)谋壤蜃拥霓k法來(lái)解決。定點(diǎn)小數(shù)相乘沒(méi)有溢出問(wèn)題，但字長(zhǎng)會(huì)增加，因此必須采用截尾或舍入處理。,9.3 定點(diǎn)運(yùn)算IIR和FIR數(shù)字濾波器誤差分析,42,每次進(jìn)行定點(diǎn)小數(shù)乘法運(yùn)算后，都會(huì)引入截尾或舍入噪聲，并最終在濾波器輸出端反映出來(lái)。 浮點(diǎn)制運(yùn)算中，相加和相乘都有可能使尾數(shù)增加，故都會(huì)有舍入或截尾，引起運(yùn)算量化誤差，但不存在動(dòng)態(tài)范圍問(wèn)題。 舍入或截尾的處理是非線性過(guò)程，分析起來(lái)非常麻煩，精確計(jì)算不僅不大可能，也沒(méi)有必要，因而采用統(tǒng)計(jì)方法，得到舍入或截尾的平均效果即可。下面通過(guò)討論運(yùn)算中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)來(lái)分別分析定點(diǎn)運(yùn)算IIR和FIR數(shù)字濾波器

26、誤差情況。,9.3 定點(diǎn)運(yùn)算IIR和FIR數(shù)字濾波器誤差分析,43,9.3.1 有限字長(zhǎng)定點(diǎn)運(yùn)算IIR濾波器的誤差分析,在定點(diǎn)制中，把定點(diǎn)乘法運(yùn)算后的截尾或舍入處理過(guò)程模型化為在精確乘積上疊加一個(gè)截尾或舍入量化噪聲。 根據(jù)疊加原理，濾波器輸出端的噪聲等于作用于濾波器結(jié)構(gòu)中不同位置上的量化噪聲在輸出端發(fā)生的響應(yīng)的總和，這樣仍可以用線性流圖來(lái)表示，由此不難計(jì)算濾波器輸出端的信噪比。采用圖9-5的統(tǒng)計(jì)模型。,44,在分析數(shù)字濾波器由于乘法舍入的影響時(shí)，需對(duì)各種噪聲源作相關(guān)假設(shè)： 系統(tǒng)中所有的運(yùn)算量化噪聲都是平穩(wěn)的白噪聲（均值為零）； 所有的運(yùn)算量化噪聲，以及和信號(hào)之間均不相關(guān)； 量化噪聲在自己的量化

27、范圍內(nèi)均勻分布。,9.3.1 有限字長(zhǎng)定點(diǎn)運(yùn)算IIR濾波器的誤差分析,45,9.3.1 有限字長(zhǎng)定點(diǎn)運(yùn)算IIR濾波器的誤差分析,圖9-5 定點(diǎn)制相乘運(yùn)算模型,（b） 實(shí)際乘法支路 及其量化的線性模型,（a）理想相乘,46,當(dāng)信號(hào)波形越復(fù)雜，量化步距越小時(shí)，這些假定越接近實(shí)際。根據(jù)這些假定，可認(rèn)為舍入噪聲是在范圍 內(nèi)均勻分布，均值為 ， 方差為 ， 。,9.3.1 有限字長(zhǎng)定點(diǎn)運(yùn)算IIR濾波器的誤差分析,然后按照統(tǒng)計(jì)模型，利用白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)來(lái)求解每一個(gè)噪聲源所產(chǎn)生的輸出噪聲，為總輸出噪聲。,47,下面分別寫出噪聲源 所造成的輸出噪聲的方差和均值： 也可以利用Z變換中的巴塞伐爾定理（Parse

28、val）得出下式,9.3.1 有限字長(zhǎng)定點(diǎn)運(yùn)算IIR濾波器的誤差分析,（9-8）,（9-9）,總的輸出噪聲的方差也等于每個(gè)輸出噪聲方差之和,48,9.3.2 定點(diǎn)FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng),用直接型或級(jí)聯(lián)型等非遞歸結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器，由于舍入噪聲沒(méi)有反饋環(huán)節(jié)的積累，故其影響也就比同階的IIR濾波器小，通常采用統(tǒng)計(jì)模型方法來(lái)分析有限字長(zhǎng)效應(yīng)。下面以橫截型結(jié)構(gòu)為例，分析FIR濾波器的量化噪聲。 N階FIR數(shù)字濾波器直接型結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)模型如圖9-9所示，系統(tǒng)函數(shù)為:,49,系統(tǒng)差分方程為:,9.3.2 定點(diǎn)FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng),（9-12）,圖9-9 FIR 系統(tǒng)直接形式舍入運(yùn)算誤差統(tǒng)計(jì)模

29、型,50,同樣對(duì)各噪聲作如下假設(shè)： 系統(tǒng)中所有的運(yùn)算量化噪聲都是平穩(wěn)的白噪聲（均值為零）； 所有運(yùn)算量化噪聲，以及和信號(hào)之間均不相關(guān)； 量化噪聲在自己的量化范圍內(nèi)均勻分布。 則此時(shí)輸出為:,9.3.2 定點(diǎn)FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng),（9-13）,51,其中， 分別為無(wú)限精度與乘積為有限精度情況下的輸出， 為輸出噪聲,9.3.2 定點(diǎn)FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng),（9-14）,從式（9-13）可以知 :,故輸出噪聲的方差（功率）為:,（9-15),52,結(jié)果表明: FIR系統(tǒng)定點(diǎn)舍入運(yùn)算誤差直接到達(dá)輸出端，與系統(tǒng)的參數(shù)無(wú)關(guān)； 由于q=2-L，故輸出噪聲與字長(zhǎng)有關(guān)，也與濾波器階數(shù)有關(guān)。 濾波器階數(shù)

30、越高，字長(zhǎng)越短，量化噪聲也越大。,9.3.2 定點(diǎn)FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng),53,9.4 浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)字濾波器和FFT算法中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),9.4.1 浮點(diǎn)運(yùn)算IIR數(shù)字濾波器 9.4.2 浮點(diǎn)運(yùn)算FIR數(shù)字濾波器 9.4.3 浮點(diǎn)運(yùn)算FFT算法,54,9.4 浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)字濾波器和FFT算法中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),浮點(diǎn)計(jì)算中，不論加法或乘法，每次運(yùn)算之后，都要做一次尾數(shù)的舍入或截尾處理，由此引入誤差。 浮點(diǎn)運(yùn)算具有以下特點(diǎn)： 浮點(diǎn)數(shù)的動(dòng)態(tài)范圍寬，因而浮點(diǎn)運(yùn)算一般不需要考慮溢出問(wèn)題； 進(jìn)行浮點(diǎn)運(yùn)算時(shí)，乘法和加固法運(yùn)算結(jié)果的尾數(shù)字長(zhǎng)都會(huì)增加，因而必須進(jìn)行截尾或舍入處理以限制字長(zhǎng)，通常用得較多的是舍入處理

31、； 量化誤差不僅用絕對(duì)誤差，而且較多的情況下要用相對(duì)誤差來(lái)分析。,55,當(dāng)用有限字長(zhǎng)浮點(diǎn)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器和FFT算法時(shí)，加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都會(huì)引入舍入量化噪聲，這些噪聲可以用絕對(duì)誤差來(lái)表示，這與定點(diǎn)運(yùn)算的分析方法相同，即把舍入量化作用等效為理想的精確計(jì)算結(jié)果之上疊加一個(gè)噪聲源。 這個(gè)噪聲源就舍入量化絕對(duì)誤差序列 ，即： 是精確計(jì)算結(jié)果， 是舍入量化后的結(jié)果。,9.4 浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)字濾波器和FFT算法中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),56,浮點(diǎn)運(yùn)算后的舍入量化作用，也可以用 作為模型， 是精確計(jì)算結(jié)果， 是舍入量化后的結(jié)果， 是舍入量化的相對(duì)誤差 ：,9.4 浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)字濾波器和FFT算法中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),（

32、9-16）,57,對(duì)浮點(diǎn)運(yùn)算來(lái)說(shuō)，它有兩種統(tǒng)計(jì)模型： 一種是以絕對(duì)誤差與精確值相加來(lái)表示量化后的值，常稱為加性誤差模型或非移變模型，因?yàn)檫@種模型是非移變系統(tǒng)。 另一種是以相對(duì)誤差形成的系數(shù)與精確值相乘來(lái)表示量化后的值，常稱為乘性誤差模型或移變模型，因?yàn)檫@種模型是移變系統(tǒng)。 無(wú)論對(duì)數(shù)字濾波器或FFT算法，只要將以上兩種模型的任一種引入算法流程圖，即可對(duì)數(shù)字濾波器或FFT的浮點(diǎn)實(shí)現(xiàn)進(jìn)行誤差分析。,9.4 浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)字濾波器和FFT算法中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),58,浮點(diǎn)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)模型，有非移變（加性噪聲）模型。與定點(diǎn)運(yùn)算時(shí)的統(tǒng)計(jì)模型相比較，其主要差別是在浮點(diǎn)運(yùn)算統(tǒng)計(jì)模型中增加了兩次加法運(yùn)算后引入的舍

33、入誤差（噪聲）。假設(shè)所有噪聲源都是白噪聲序列，它們與信號(hào)x(n)和y(n)不相關(guān)，且它們?cè)谧约旱娜≈捣秶鷥?nèi)均勻分布， 是浮點(diǎn)運(yùn)算舍入誤差的 方差，根據(jù)假設(shè)， 在 內(nèi)均勻分布，因此,9.4.1 浮點(diǎn)運(yùn)算IIR數(shù)字濾波器,其中，q是量化間隔， 。這里b是尾數(shù)字長(zhǎng)（不包含符號(hào)位）。 ，,59,例如有一個(gè)IIR低通濾波器，傳遞函數(shù)為 采用浮點(diǎn)舍入尾數(shù)處理，假設(shè)x(n)也是零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。則可以求得總的輸出噪聲的方差： 所以，計(jì)算濾波器的輸出信噪比為：,9.4.1 浮點(diǎn)運(yùn)算IIR數(shù)字濾波器,（9-17）,60,由這個(gè)例子可看出，用浮點(diǎn)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器，其輸出信噪比只與字長(zhǎng)有關(guān)，而與輸入信號(hào)的

34、強(qiáng)度無(wú)關(guān)，這與用定點(diǎn)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的情況不同，后者信噪比與輸入信號(hào)的強(qiáng)度有直接關(guān)系。 具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)輸入信號(hào)幅度下降時(shí)，輸出信噪比將隨之下降。因此，在定點(diǎn)IIR數(shù)字濾波器中，為得到高的輸出信噪比，應(yīng)盡可能增大輸入信號(hào)的幅度，唯一的限制是不能發(fā)生溢出。,9.4.1 浮點(diǎn)運(yùn)算IIR數(shù)字濾波器,61,圖9-11所示的是浮點(diǎn)運(yùn)算N階FIR數(shù)字濾波器的乘性噪聲（移變）統(tǒng)計(jì)模型。這里采用直接型結(jié)構(gòu)，進(jìn)行浮點(diǎn)乘法運(yùn)算后引入的舍入量化噪聲用乘以移變系數(shù) 來(lái)等效，進(jìn)行浮點(diǎn)加法運(yùn)算后引入的舍入量化噪聲，用乘以移變系數(shù) 來(lái)等效。 和 是舍入量化的相對(duì)誤差，它們對(duì)應(yīng)的絕對(duì)誤差都滿足前面曾做過(guò)的幾個(gè)假設(shè)條件；噪

35、聲源都是白噪聲序列；噪聲源互不相關(guān)也與濾波器輸入信號(hào)和輸出信號(hào)不相關(guān)；噪聲源在誤差取值范圍內(nèi)均勻分布。,9.4.2 浮點(diǎn)運(yùn)算FIR數(shù)字濾波器,62,濾波器的輸出：,9.4.1 浮點(diǎn)運(yùn)算IIR數(shù)字濾波器,圖9-11 FIR數(shù)字濾波器乘性噪聲（移變）統(tǒng)計(jì)模型,（9-18）,（9-19）,y(n)是所有舍入量化噪聲源在輸出端產(chǎn)生的響應(yīng)。,63,濾波器輸出w(n)的表達(dá)式為：,9.4.1 浮點(diǎn)運(yùn)算IIR數(shù)字濾波器,（9-20）,f(n)的均值為：,其中， 是x(n)的方差。由于,64,故有 ： 這樣，估計(jì)濾波器輸出信噪比的下限： 浮點(diǎn)運(yùn)算FIR濾波器的這個(gè)性質(zhì)與定點(diǎn)運(yùn)算FIR濾波器不同，后者輸出噪聲方差的大小與乘積h(k)x(n-k)的計(jì)算次序和累加次序無(wú)關(guān)。,9.4.1 浮點(diǎn)運(yùn)算IIR數(shù)字濾波器,（9-33),65,與定點(diǎn)情況相同，對(duì)不同的FFT算法，相應(yīng)的有限字長(zhǎng)效應(yīng)不同。仍以時(shí)間抽選基2FFT為例，圖9-12所示的是單個(gè)蝶形浮點(diǎn)運(yùn)算統(tǒng)計(jì)模型，圖中符號(hào)意義與定點(diǎn)運(yùn)算統(tǒng)計(jì)模型相同。,9.4.3 浮點(diǎn)運(yùn)算FFT算法,圖9-12 浮點(diǎn)運(yùn)算統(tǒng)計(jì)模型,66,省略推導(dǎo)過(guò)程, 介紹幾點(diǎn)結(jié)論： （1）浮點(diǎn)運(yùn)算不論加法、乘法都產(chǎn)生誤差。 （2）