1、第二章 光學(xué)中的矩陣方法,2.1 變換矩陣ABCD定律 2.2 變換矩陣示例 2.3 幾何光學(xué)中的矩陣方法 2.4 復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的菲涅耳數(shù)和程函數(shù) 2.5 ABCD矩陣的分解 2.6 共軸球面腔的約束穩(wěn)定性 2.7 光腔的本征方程 微擾穩(wěn)定性 2.8 多程反射室,2.1 變換矩陣 ABCD矩陣,一、空間近軸光線的變換 圖2.1.1空間近軸光線的傳輸 如圖2.1.1所示，空間光線經(jīng)過(guò)任意光學(xué)系統(tǒng)變換后的位置和方向用四個(gè)量表示。對(duì)近軸光線， 都很小，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使這種變化是線性的，于是可以用一個(gè)44的 變換矩陣表示為：,（2.1.1）,式2.2.1是用幾何方法研究空間近軸光線變化的基本方程

2、，變化矩陣一般是44的，但對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)光學(xué)系統(tǒng)， 和 經(jīng)歷的變化相同，只需要一個(gè)22矩陣（稱(chēng)為軸對(duì)稱(chēng)光學(xué)系統(tǒng)的變化矩陣或者ABCD矩陣）如2.1.2來(lái)描述這一變化：,（2.1.2）,（2.1.3）,即,（2.1.4）,式中,式（2.1.3），（2.1.4）或（2.1.5）都是近軸光線ABCD定律的數(shù)學(xué)表示式。對(duì)于近軸球面波，曲率半徑R等于,可簡(jiǎn)寫(xiě)為,（2.1.5）,（2.1.6）,（2.1.7）,由式（2.1.4）立即可得,（2.1.8）,或,（2.1.9）,式（2.1.8），（2.1.9）都稱(chēng)為球面波的ABCD定律。 若光纖順次通過(guò)變換矩陣為,的光學(xué)系統(tǒng)，利用矩陣乘法規(guī)則得到,（2.1.10）

3、,式中,（2.1.11）,簡(jiǎn)寫(xiě)為,（2.1.12）,式（2.1.10）又可寫(xiě)為,（2.1.13）,二、符號(hào)規(guī)則,（1）對(duì)x（光線離軸距離）、（光線與光軸夾角）正負(fù)號(hào)規(guī)定如圖2.1.2，即光軸上方為正，下方為負(fù)，光線出射方向指向光軸上方為正，指向下方為負(fù)。,圖2.1.2 x、 符號(hào)法則示意圖,（2）反射面曲率半徑 ，對(duì)凸面反射鏡0. （3）反射面曲率半徑 ，對(duì)凸折射面0. （4）球面波波面曲率半徑R，對(duì)發(fā)散球面波R0,會(huì)聚球面波R0. （5）光學(xué)元件和系統(tǒng)的長(zhǎng)度量，如光學(xué)系統(tǒng)的基點(diǎn)（基面）位置，物距和像距 等，情況比較復(fù)雜，將在后面結(jié)合具體問(wèn)題說(shuō)明。 （6）公式中文字符號(hào)均表示代數(shù)量。 注意：對(duì)

4、公式中物理量的正負(fù)號(hào)或數(shù)值運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)正負(fù)號(hào)問(wèn)題最好除使用確定的符號(hào)規(guī)則外，還應(yīng)當(dāng)從物理角度加以分析和取舍，才能得出正確的結(jié)果。,三、變換矩陣的基本性質(zhì),1.detM ABCD矩陣一個(gè)重要性質(zhì)是它的行列式之值detM僅由入射光線和出射光線所在空間折射率 決定，即 當(dāng)入射光線和出射光線位于折射率相同空間時(shí),（2.1.14）,（2.1.15）,2.ABCD矩陣的反向變換矩陣和逆矩陣 若規(guī)定由左向右光線傳輸方向?yàn)檎?dāng)光線由右向左即反向傳輸時(shí)有,（2.1.16）,式中 為 的逆矩陣，由矩陣代數(shù)知,（2.1.17）,將式（2.1.17）代入（2.1.16），得到,（2.1.18）,式中反向變換矩陣 為

5、,（2.1.19）,討論：（1）detM=1時(shí),（2.1.20）,（2.1.21）,（2）折射率突變平界面,由表2.2.1知,（2.1.22）,則,（2.1.23）,（2.1.24）,四、歸一化變換矩陣,空間光線在橫平面上的位置x，y和方向可用正則坐標(biāo) 、 和正則動(dòng)量 、 來(lái)描述：,（2.1.25）,式中n為介質(zhì)折射率。在近軸近似下有,（2.1.26）,與式（2.1.1）、（2.1.3）相應(yīng)的變換公式分別為,（2.1.27）,（2.1.28）,且,（2.1.29）,式中,（2.1.30）,稱(chēng)為歸一化變換矩陣。當(dāng)入射空間和出射空間折射率 和 不相等時(shí)，使用歸一化變換矩陣是比較方便的，證得式（2.

6、1.2）和式（2.1.30 ）矩陣元間有關(guān)系：,（2.1.31）,第二章 光學(xué)中的矩陣方法,2.1 變換矩陣ABCD定律 2.2 變換矩陣示例 2.3 幾何光學(xué)中的矩陣方法 2.4 復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的菲涅耳數(shù)和程函數(shù) 2.5 ABCD矩陣的分解 2.6 共軸球面腔的約束穩(wěn)定性 2.7 光腔的本征方程 微擾穩(wěn)定性 2.8 多程反射室,2.2 變換矩陣示例,舉例說(shuō)明變換矩陣推導(dǎo)方法 （1）光線通過(guò)距離 的自由空間（n=1） 由圖2.2.1可得：,圖2.2.1 自由空間傳輸,圖2.2.2 球面反射,所以,（2.2.1）,（2.2.2）,（2）球面反射 如圖2.2.2，設(shè)球面反射曲率半徑為 ，考慮球面上A

7、點(diǎn)，由反射定律知入射光線 與反射光線 間有關(guān)系,（2.2.3）,故,（2.2.4）,因?yàn)榻咕?的薄透鏡對(duì)近軸光線的折射與曲率半徑為 凹面鏡對(duì)同一近軸光線的反射室等效的，所不同的僅僅是傳輸方向而已，于是得到薄透鏡對(duì)近軸光線的變換矩陣,（2.2.5）,（3）調(diào)焦望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng) 由圖2.2.3，利用式（2.2.1）、式（2.2.5）,（2.2.6）,式中,（2.2.7）,為望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的放大鏡，,（2.2.8）,為望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的兩透鏡間的距離。,（4）薄透鏡序列 （i）謝爾威斯特（Sylvester）定理 設(shè)矩陣 滿足,則有,（2.2.9）,（2.2.10）,式中,（2.2.11）,（ii）薄透鏡序列,圖2

8、.2.4 薄透鏡序列,圖2.2.4中由m個(gè)焦距為f，間隔均為L(zhǎng)的薄透鏡組成的序列，其中一個(gè)單程的變換矩陣為,（2.2.15）,于是,由謝爾威斯特定理得到,（2.2.16）,（2.2.17）,式中,（2.2.18）,第二章 光學(xué)中的矩陣方法,2.1 變換矩陣ABCD定律 2.2 變換矩陣示例 2.3 幾何光學(xué)中的矩陣方法 2.4 復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的菲涅耳數(shù)和程函數(shù) 2.5 ABCD矩陣的分解 2.6 共軸球面腔的約束穩(wěn)定性 2.7 光腔的本征方程 微擾穩(wěn)定性 2.8 多程反射室,2.3 幾何光學(xué)中的矩陣方法,一、幾何成像的ABCD定律,圖2.3.1 幾何成像系統(tǒng)的矩陣表示,圖2.3.1中，參考面 ，

9、設(shè)其變換矩陣為 ，在折射率 的物空間 中與 相距u的入射面上的光線 經(jīng)該光學(xué)系統(tǒng)變換后，在折射率 的像空間中與 相距 處對(duì)應(yīng)光線矢量為 ，由 總的 變換矩陣為,（2.3.1）,（2.3.2）,式（2.3.1）可稱(chēng)為幾何成像的特性矩陣，若B 0，由式（2.3.2）知,（2.3.3）,這表示在物空間中入射面上 ， 在近軸條件下可取任意值的光線，經(jīng)該光學(xué)系統(tǒng)變換后，在像空間中會(huì)聚于出射面上的同一點(diǎn) 處。顯然，B0即為幾何光學(xué)意義下的成像條件，此時(shí)入射面和出射面構(gòu)成一對(duì)物像共軛面，u和 分別為物距和像距。 在式（2.3.1）中令B 0，得,（2.3.4）,這即幾何成像的ABCD定律。,二、三個(gè)放大率公

10、式和拉格朗日亥姆霍茲不變式,1.角放大率 在式（2.3.2）中令C0，得,（2.3.5）,按角放大率 定義，有,（2.3.6）,2.橫向放大率 在式（2.3.2）中令B0，得,（2.3.7）,由橫向放大率 定義，有,（2.3.8）,3.軸向放大率,軸向放大率 通常是用導(dǎo)數(shù)定義的，即,（2.3.9）,由式（2.3.2）和式（2.1.14），得,（2.3.10）,4.拉格朗日亥姆霍茲不變式,由式（2.3.6）和式（2.3.8）,（2.3.11）,故,（2.3.12）,這即幾何光學(xué)中著名的拉格朗日亥姆霍茲不變式。,三、高斯光學(xué)基本參數(shù)的變換矩陣元表示,高斯光學(xué)的基本參數(shù)為物像空間中共軛的焦點(diǎn)、主點(diǎn)和

11、節(jié)點(diǎn)（基點(diǎn)），或其所在的平面（基面），即焦面、主面和節(jié)面，它們都可用變換矩陣元的形式簡(jiǎn)單表示出來(lái)。 1、角放大率 在式（2.3.2）中令D0，得,（2.3.13）,說(shuō)明物空間入射面上 ， 取任意值的近軸光線，經(jīng)變換矩陣 的光學(xué)系統(tǒng)后，在像空間出射面上成為平行光線。顯然，這時(shí)入射面為物方焦面。 以 為參考，物方焦面位置為,（2.3.14）,在式（2.3.2）中令A(yù)=0，得,（2.3.15）,類(lèi)似的推理得知，這時(shí)出射面為像方焦面，以 為參考，像方焦面位置為,（2.3.16）,2、主面,主面為橫向放大率 的平面 （ 稱(chēng)主面、 常稱(chēng)為反主面。對(duì)主面“+”號(hào)常略去 ），由式（2.3.1）知，應(yīng)有,（2.

12、3.17）,由此得物、物方主面位置（分別以 為參考）,（2.3.18）,3、節(jié)面,節(jié)面定義為角放大率 的平面 （ 常稱(chēng)為反節(jié)面），應(yīng)有,（2.3.19）,于是求得節(jié)面位置（分別以 為參考）,（2.3.20）,4、焦距,焦距是以主面為參考計(jì)算的，由式（2.3.14）、式（2.3.16）和式（2.3.18）求得物、像方焦距分別為,（2.3.21）,圖2.3.2 變換矩陣元,（1）A=0；（2）B=0；（3）C=0；（4）D=0的物理意義,四、薄透鏡,設(shè)焦距為f 的薄透鏡置于折射率均勻的介質(zhì)中，其變換矩陣為,（2.3.22）,將式（2.3.22）代入式（2.3.4），得,（2.3.23）,這即幾何光學(xué)中的高斯成像公式。,若以焦面為參考，令,（2.3.24）,得到牛頓公式,（2.3.25）,五、厚透