1、1.5 事件的獨立性,一、兩個事件的獨立性 二、三個事件的獨立性 三、n個事件的獨立性 四、伯努利(Bernoulli)概型,一、兩個事件的獨立性,設A、B是試驗E的兩事件，若P(A)0，則我們可以定義P(B|A)。 一般，A的發(fā)生對B發(fā)生的概率是有影響的，也就是說，P(B|A)不等于P(B)。 如果這種影響不存在，那么P(B|A)=P(B)。 這時有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)。,兩個事件獨立性的定義,設 A、B 是兩個隨機事件，如果,則稱 A 與 B 是相互獨立的隨機事件,事件獨立性的性質,1）如果事件A 與 B 相互獨立，而且P(A)0 則 P(B|A)=P(B),

2、證明： 由于事件 A 與 B 相互獨立，故,2）必然事件與任意隨機事件A相互獨立； 不可能事件與任意隨機事件A相互獨立,可知必然事件與任意事件 A 相互獨立；,可知不可能事件與任意隨機事件A相互獨立.,由,證明：由,證：為方便起見，只證,相互獨立即可,由于,4) 對概率不等于0的兩個事件，互不相容與相 互獨立不能同時成立。即,1)若事件 A 與 B 相互獨立，則 AB ；,2)若 AB = ，則事件 A 與 B 不相互獨立,證明：1),設事件 A 與 B 滿足：,4)(續(xù)),2) 由于AB = ，所以,但是，由題設,這表明，事件 A 與 B 不相互獨立,例2,甲、乙二人各投籃一次，設甲投中的概

3、率為0.7，乙投中的概率為0.8，求甲、乙兩人至少有一人投中的概率.,解：,記A=“甲投中”，,B=“乙投中”,甲、乙兩人至少有一人投中的概率,例1,設試驗E為“拋甲、乙兩枚均勻硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況”。設事件A為“甲幣出現(xiàn)H”，事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”。E的樣本空間為：,=HH，HT，TH，TT,P(A)=2/4=1/2,P(B | A)=P(AB) / P(A),P(B | A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B),B=HH，TH,A=HH，HT,AB=HH,P(B)=2/4=1/2,P(AB)=1/4,=1/2,由題意可知，甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)正面顯然是互不影響的。,這表

4、明，事件 A 是否發(fā)生對事件 B 是否發(fā)生在概率上是沒有影響的，即事件 A 與 B 呈現(xiàn)出某種獨立性,由此，我們引出事件獨立性的概念,注意,兩事件A與B是否獨立依賴于概率測度P()。如在例1中，取事件A=HH，HT(甲幣出現(xiàn)H), C=HT，TH(甲、乙兩硬幣不出現(xiàn)同一面)，并設兩硬幣出現(xiàn)正面H的概率均為p，出現(xiàn)反面T的概率均為q=1-p，則,P(A)=p2+pq=p，,P(C)=2pq，,P(AC)=pq，,P(A)P(C)=2p2q,因此，只有當p=1/2時，才有 P(AC)=P(A)P(C)，即才有A與C獨立。,在實際應用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義

5、來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨立性作為條件告訴我們，要求直接應用定義中的公式進行計算。,二、三個事件的獨立性,設A、B、C是三個隨機事件，如果,則稱隨機事件A、B、C是相互獨立的,注 意,在三個事件獨立性的定義中，四個等式是缺一不 可的即：前三個等式的成立不能推出第四個等 式的成立；反之，最后一個等式的成立也推不出 前三個等式的成立,例3,袋中裝有 4 個外形相同的球，其中三個球分別涂有 紅、白、黑色，另一個球涂有紅、白、黑三種顏 色現(xiàn)從袋中任意取出一球，令： A= 取出的球涂有紅色 B= 取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 則：,例3(續(xù)),由此可見,但是,這表明A、B、C這三個

6、事件是兩兩相互獨立的，但不是相互獨立的,三、n個事件的相互獨立性,則稱 A1，A2，An這n個隨機事件相互獨立。,說 明,在上面的公式中，,n個獨立隨機事件的性質,1)任意k (1 k n ) 個事件也是相互獨立的。,若A1，A2，An 是相互獨立的事件，則,相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率的計算,注 意,例4 三個臭皮匠，合成一個諸葛亮,甲、乙、丙三人在同一時間分別破譯某一個密碼，設甲譯出的概率為0.8，乙譯出的概率為0.7，丙譯出的概率為0.6，求密碼能譯出的概率。,=1 (1-0.2)(1-0.3)(1-0.4),=0.976,=1 0.8*0.7*0.6,解：設A、B、C分別表示甲、乙、

7、丙譯出密碼的 事件，顯然A、B、C相互獨立，且密碼能譯 出的概率為,上例中若改為n個人組成的小組，同一時間分別破譯某一個密碼，并假定每人能譯出的概率都是0.7，若以99.9999%的把握能夠譯出，問n至少為幾？,例5,解：記Ai=“第i人能譯出”，i=1,2,n, 顯然A1，A2， An 是相互獨立的事件，且密碼能譯出的概率為,事件序列的相互獨立性,任何有限個事件都是相互獨立的，則稱該事件序列,A1，A2，An，為相互獨立的.,四、伯努利(Bernoulli)概型,稱多個或可數(shù)無窮多個試驗的集合為試驗序列。,如果一個試驗序列的各試驗的結果之間是相互獨立的，則稱該試驗序列為一個獨立試驗序列。,稱

8、只有兩個基本結果的試驗為伯努利試驗。,有些試驗的基本結果雖然不只兩個，但若我們感興趣的是某個事件A是否發(fā)生，那么可以把A作為一個基本結果，A的對立事件作為另一個基本結果，從而也可歸結為伯努利試驗。若試驗結果是A發(fā)生，那么我們稱試驗成功，而A發(fā)生的概率則稱為成功概率。,由一個伯努利試驗獨立重復進行所形成的試驗序列稱為伯努利試驗序列，如果重復的次數(shù)是n，則稱該試驗序列為n重伯努利試驗。,伯努利定理,其中q=1-p.,若在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p(0p1)，則在n重伯努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率(記為b(k;n,p)的為：,定理 在伯努利試驗序列中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，

9、則“事件A在第k次試驗中才首次發(fā)生”(k1)這一事件的概率為,一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，每次從中隨意取出一球，取后放回。,例6,(1) 如果共取10次，求10次中能取到黒球的概率及10次中恰好取到3次黒球的概率。,(2) 如果未取到黒球就一直取下去，直到取到黑球為止，求恰好3次的概率及至少取3次的概率。,一輛飛機場的交通車載有25名乘客途經9個站，每個乘客都等可能在這9站中任意一站下車(且不受其它乘客下車與否的影響)，交通車只在有乘客下車時才停車，求交通車在第i站停車的概率以及在第i站不停車的條件下在第j站停車的概率。并判斷“第i站停車”與“第j站停車”兩個事件是否獨立。,例

10、7,科學世家伯努利家族(17-18世紀),瑞士數(shù)學家族，祖孫三代出過十余位數(shù)學家和物理學家。原籍比利時安特衛(wèi)普。1583年移居德國法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾。,老尼古拉 伯努利(Nicolaus Bernoulli，1623 - 1708年)生于巴塞爾，受過良好教育，曾在當?shù)卣退痉ú块T任高級職務。他有3個有成就的兒子。其中長子雅各布(Jocob，1654 - 1705年)和第三個兒子約翰(Johann，1667 - 1748年)成為著名的數(shù)學家，第二個兒子小尼古拉(Nicolaus I，1662 - 1716年)在成為彼得堡科學院數(shù)學界的一員之前，是伯爾尼的第一個法律學教授。,在伯努利家

11、族中，成就最大的三個人是：,科學世家伯努利家族(雅各布),雅各布 伯努利（Jacob Bernoulli），1654年12月27日生于巴塞爾，1705年8月16日卒于同地。1671年獲哲學學位，1676年又取得了神學學位。受笛卡兒、沃利斯等人的著作影響，轉向數(shù)學研究。,雅各布對數(shù)學最重大的貢獻是在概率論研究方面。他從1685年起發(fā)表關于賭博游戲中輸贏次數(shù)問題的論文，后來寫成巨著猜度術，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。,科學世家伯努利家族(約翰),約翰 伯努利（Johann Bernoulli），1667年 8月6日生於巴塞爾，1748年1月1日卒于同地，雅各布之弟。早年學醫(yī)，同時隨

12、兄研習數(shù)學。1690年獲醫(yī)學碩士學位，1696年又獲得博士學位。,約翰的數(shù)學成果比雅各布還要多。例如解決懸鏈線問題(1691年)，提出洛必達法則(1694年)、最速降線(1696年)和測地線問題(1697年)，給出求積分的變量替換法(1699年)，研究弦振動問題(1727年)，出版積分學教程(1742年)等。,約翰的另一大功績是培養(yǎng)了一大批出色的數(shù)學家，其中包括18世紀最著名的數(shù)學家歐拉、瑞士數(shù)學家克萊姆、法國數(shù)學家洛必達，以及他自己的兒子丹尼爾和侄子尼古拉二世等。,科學世家伯努利家族(丹尼爾),丹尼爾 伯努利（Daniel Bernoulli），1700年2月9日生于荷蘭的格羅寧根，1782年3月17日卒于巴塞爾，約翰之子。1716年獲哲學碩士學位。1721年獲巴塞爾大學醫(yī)學博士學位。,在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學領域較多的