1、求分式函數(shù)值域的幾種方法摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)、乃至高中畢業(yè)會考題和高考中，經(jīng)常遇到求分式函數(shù)值域的問題.關(guān)于分式函數(shù)的值域的求法，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點.通過對分式函數(shù)的研究總結(jié)了求其值域的常見幾種方法：配方法，反函數(shù)法，判別式法，單調(diào)性法，換元法（根式代換、三角代換等），不等式法，方程法，斜率法等.關(guān)鍵詞：分式函數(shù) 值域 方法.1 引言 求分式函數(shù)值域是函數(shù)值域問題中的一個重要內(nèi)容，它不僅是一個難點、重點，而且是解決函數(shù)最值問題的一個重要工具關(guān)于求函數(shù)值域與最值的方法也是多種多樣的，歸納起來，常用的方法有：配方法，反函數(shù)法，判別式法，單調(diào)性法，換元法（根式代換、三角代換等），不等式法，方

2、程法，斜率法等.本文就中學(xué)階段出現(xiàn)的各種類型的分式函數(shù)值域問題運用以上初等方法進行分析2 求分式函數(shù)值域的常見方法2.1 用配方法求分式函數(shù)的值域如果分式函數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為的形式則我們可以將它的分母配方，用直接法求得函數(shù)的值域.例1 求的值域.解：，因為，所以函數(shù)的值域為：.例2 求函數(shù)的值域.解：，因為，所以，故函數(shù)的值域為.先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“”的條件.2.2 利用判別式法求分式函數(shù)的值域我們知道若有實根，則常常利用這一結(jié)論來求分式函數(shù)的值域.例1 求的值域.解：將函數(shù)變形為，當(dāng)時式是一個關(guān)于的一元二次方程.因為可以是任意實數(shù)，所以，即，解得，或，

3、又當(dāng)時，故函數(shù)的值域為.例2 函數(shù)的值域為，求，的值.解：化為，當(dāng)時，由已知的兩根為1，3，由韋達(dá)定理得，.當(dāng)時有解綜上和，.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數(shù)的值域時要注意下列問題：1、函數(shù)定義域為（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當(dāng)不能取某些實數(shù)時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使的判別式的值進行檢驗.3、轉(zhuǎn)換后的一元二次方程若二次項系數(shù)中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.2.3 利用函數(shù)單調(diào)性求分式函數(shù)的值對于求函數(shù)的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數(shù)本質(zhì)特征的通性通法即利用函數(shù)的單調(diào)性來求其值域.例1求函

4、數(shù)的值域.解：，當(dāng)時，是減函數(shù)進而是的增函數(shù)，于是；當(dāng)時，同樣是的增函數(shù)，于是；所以的值域為.在求分式函數(shù)時我們常運用函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)論：當(dāng)時在和上增函數(shù)，在和上是減函數(shù).當(dāng)時在和上是增函數(shù).例2 求函數(shù)（13）的值域.解：所以.令在上是減函數(shù)，在是上增函數(shù)，所以時，；時，；所以，故值域為.2.4 利用反函數(shù)法求分式函數(shù)的值域設(shè)有反函數(shù)，則函數(shù)的定義域是它反函數(shù)的值域，函數(shù)的值域是其反函數(shù)的定義域.那么如果一個分式函數(shù)的反函數(shù)存在，我們就可以通過求反函數(shù)的定義域來求其值域.例1 求函數(shù)的值域.解：由于函數(shù)的映射是一一映射因此反函數(shù)存在，其反函數(shù)為 明顯知道該函數(shù)的定義域為 ，故函數(shù)的值域為.說

5、明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用(c0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種方法目的是找關(guān)于的不等式所以反函數(shù)求值域的實質(zhì)是反函數(shù)的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數(shù)的思想比較通用的方法.2.5 利用方程法求分式函數(shù)的值域在1999年第2期數(shù)學(xué)教學(xué)第38頁給出了下面的結(jié)論和證明.對函數(shù) 將其視為方程若能通過同解變形得到單值函數(shù)即則即為的值域利用這一結(jié)論函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題.又在2006年第2期數(shù)學(xué)教學(xué)“用方程法求函數(shù)值域”一文中給出了這樣的引理及其證明.引理：設(shè)函數(shù)的定義域為值域為，又設(shè)關(guān)于的方程在中有解的

6、的取值集合為，則.例1 （2005年全國高考理科卷第22題）已知函數(shù)求函數(shù)的值域解：，所以，即，.這樣函數(shù)的值域即為關(guān)于的方程在內(nèi)有解的的取值集.令，則關(guān)于的方程在內(nèi)有解或或，即所求函數(shù)的值域為.2.6 利用換元法求分式函數(shù)的值域當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠(yuǎn)）時，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換

7、元形式有式代換、三角代換、點代換、參數(shù)代換等.例1 求函數(shù)的值域解：令，則因為，所以函數(shù)的值域是例2 求函數(shù)的值域解：令，則.當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立.所以函數(shù)的值域為.在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數(shù)來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求能求出函數(shù)的值域 .在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發(fā)生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準(zhǔn)確地求出值域.2.6 利用不等式法求分式函數(shù)的值域“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質(zhì)和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數(shù)的值域.若原函數(shù)通過變形后的分子分母符和下列條件各變數(shù)為正；各變數(shù)

8、的和或積為常數(shù).則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結(jié)論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數(shù)的值域.解：.因為，所以，則，所以（當(dāng)時取等號），故函數(shù)的值域為.例2 設(shè)，求的最大值.（2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）解：，即化為了求分式函數(shù)最值的問題.又因為，當(dāng)即時“”成立，所以對任何有，故的最大值為.例2表面上看是數(shù)列的問題而實際是我們可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質(zhì)來求其值域就使得整個解題過程利用數(shù)更簡單.2.8 斜率法求分式函數(shù)的值域數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚先生指出：數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)

9、時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中，在求函數(shù)的值域與最值時也有良好的反映.聯(lián)想到過，的直線的斜率為，我們可以考慮把分式函數(shù)化為斜率式并利用數(shù)形結(jié)合法來求函數(shù)的值域.例1 求函數(shù)的最小值.解：函數(shù)可變形為，設(shè)，則看作是直線的斜率，令，則.在直角坐標(biāo)系中點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點直線方程為：將它代入，有，則推算出此時，即時，.例2 求的值域.解：，令，則，點的軌跡方程為，所以，即函數(shù)的值域為.斜率法同樣可以運用在形如的分式函數(shù)中，函數(shù)的值域就轉(zhuǎn)化為求直線斜率的范圍給出了這樣的結(jié)論：對于函數(shù)，若記，則當(dāng)時值域為.當(dāng)時，值域為.3 結(jié)論整篇文章介紹了求分式函數(shù)八種比較常用的方法，可以根據(jù)題目不同的特點靈活選取不同的方法，而實際上在我們通常遇到的題目中并不是只用一種方法就能解決問題，而是要綜合幾種方法.當(dāng)然有一些特殊的分式函數(shù)，在求值域的時就會用到特殊的方法.但是最重要的是每種方法都要注意其函數(shù)的定義域.參考文獻：1賈士代.用方程法求函數(shù)值域j . 數(shù)學(xué)教學(xué)，2006（2）：212王習(xí)建. 型函數(shù)值域的求法j .數(shù)理化解題研究 ，2003（6）：253張蓮生. 的值域的求法j .數(shù)理天地（高中版），2001（10）：19-20 4王建海. 活用均值不等是巧解數(shù)學(xué)題j .數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2003（12）：175鐘國雄