1、第二章 隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,1.隨機(jī)變量,問(wèn)題：為什么引入隨機(jī)變量？,將隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量化！,實(shí)例 1 拋擲骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).,S=1，2，3，4，5，6,樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量,我們用e代表樣本空間的元素，將樣本空間簡(jiǎn)記成S=e。,實(shí)例 2 拋一枚均勻硬幣，觀察出現(xiàn)正面 H 和反面 T 的情況。,S=正面、反面 ,非數(shù)量,將 S 數(shù)量化,正面,反面,定義 2.1.1（隨機(jī)變量） 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間為=。如果對(duì)于每一個(gè)，有一個(gè)實(shí)數(shù)()與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在樣本空間上的單值實(shí)值

2、函數(shù)=() ，稱 =()為隨機(jī)變量。 注：隨機(jī)變量一般用大寫字母(如 X,Y,Z,W)表示；小寫字母表示實(shí)數(shù)。 注：隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果變化而變化,不同的取值對(duì)應(yīng)不同的事件。因此,隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律。,例 2.1.1 將一枚均勻硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正面的情況。 S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT. = = 3, =; 2, =,; 1, =,; 0, =.,注：隨機(jī)變量X=X(e)不一定是單射,具體如何定義要看隨機(jī)試驗(yàn)的目的.一次隨機(jī)試驗(yàn)中,可定義不同的隨機(jī)變量.,例 2.1.2 某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過(guò), 假設(shè)

3、某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，若要考察其候車時(shí)間，定義合適的隨機(jī)變量。,定義隨機(jī)變量X, 表示此人的候車時(shí)間. 顯然, 0X5.,隨機(jī)變量的分類,(2)連續(xù)型 隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間，叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。,例 2.1.3 若隨機(jī)變量X記為 “連續(xù)射擊, 直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”, 則X的可能值是:,例 2.1.4 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量 X 記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,則X的可能值是:,例 2.1.5 隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”，則X的取值范圍是： 對(duì)隨機(jī)變量，不僅要知道它取什么值，還要知道它取這些值的概率！,隨機(jī)變量的概率分布,2

4、.離散型隨機(jī)變量及其分布律,離散型隨機(jī)變量的分布律 常見(jiàn)的幾種離散型隨機(jī)變量的概率分布 兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 超幾何分布 幾何分布 ,一、離散型隨機(jī)變量的分布律,定義 2.2.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為 (=,)，X取各個(gè)可能值的概率，即事件= 的概率，為 稱此為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，也稱分布律。, = = , =,例 2.2.1 設(shè)汽車開往目的地途中經(jīng)過(guò)4組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以p=0.5的概率禁止汽車通過(guò)。以X表示汽車首次停下時(shí)，已經(jīng)通過(guò)的信號(hào)燈組數(shù)，求X的分布律。,二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布,兩點(diǎn)分布 注：兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,可用來(lái)描述任何一個(gè)只有兩

5、種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、某次試驗(yàn)中關(guān)心的事件A是否發(fā)生等。,例 2.2.2 200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，檢驗(yàn)是否合格。,隨機(jī)變量 X 服從(0 1)分布.,二項(xiàng)分布 定義 2.2.2（重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)） 將試驗(yàn) E 重復(fù)進(jìn)行 n 次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響 ，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，或稱為 n 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。,定義 2.2.3（n重伯努利試驗(yàn)） 設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：、 ，且 =, =，則稱E為伯努利試驗(yàn)。若將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行 n 次，則稱這一串重復(fù)

6、的獨(dú)立試驗(yàn)為 n 重伯努利試驗(yàn)。 比如：將一枚硬幣連拋n次、從一只裝有a只紅球b只白球的袋子里有放回的取n次球,n重伯努利試驗(yàn)中，以 X 記事件A出現(xiàn)的次數(shù),C 種方式 且兩兩互斥,q, ;, =(;,1),例 2.2.3 已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2，現(xiàn)從中抽取20件，求其中恰有 k 件一級(jí)品的概率，其中 k=0,1,20., 二項(xiàng)分布的圖形,(;,)何時(shí)達(dá)到極大值？,例 2.2.4（最可能成功次數(shù)） 設(shè)每顆子彈打中飛機(jī)的概率為0.01，問(wèn)在500發(fā)中打中飛機(jī)的最可能次數(shù)是多少？求其相應(yīng)的概率。,例 2.2.5 保險(xiǎn)業(yè)是最早使用概率論的行業(yè)。保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)，需要計(jì)算各種各樣

7、的概率，下面是典型問(wèn)題之一。若一年中某類保險(xiǎn)者中每個(gè)人死亡的概率為0.005，現(xiàn)有一萬(wàn)人參加這類保險(xiǎn)，試求未來(lái)一年中在這些投保者里面， （1）有40個(gè)人死亡的概率； （2）死亡人數(shù)不超過(guò)70個(gè)人的概率。,n太大，實(shí)際計(jì)算困難,泊松分布,設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為 0,1,2, 而取各個(gè)值的概率為 其中0是常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為的泊松分布，記為()，其中=還被記為(;)。 注： = 0. 注： =0 + = = =0 + ! = =0 + ! = =1. 注： = =0 ! 的值可以從附表3直接查到。, = = ! , =0,1,2,泊松分布的背景及應(yīng)用,二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在

8、觀察 與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他 們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射 性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), 其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布.,在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及 公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中 , 泊松分布是常見(jiàn)的. 例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電 話呼喚次數(shù)、交通事故次數(shù)等, 都服從泊松分布.,例 2.2.6（查表計(jì)算） 某城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)=0.8的泊松分布，求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率。,單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出,定理 2.2.1 （泊松定理） 設(shè)是一個(gè)常數(shù)，n 是任意正整數(shù)， =，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù) k

9、，有 注：實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)20, 0.05時(shí)，記=，則用 ; 近似(;,)的效果很好；當(dāng)100, 10時(shí)，效果更好。,lim p (1 ) = ! .,例 2.2.7(用泊松分布近似二項(xiàng)分布) 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品300件。根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知該種產(chǎn)品的廢品率為0.01，問(wèn)這300件產(chǎn)品中廢品數(shù)大于5的概率是多少？,=300, =0.01, =3. 用泊松分布近似二項(xiàng)分布,1 =0 5 ;3 10.9161=0.0839,超幾何分布,對(duì)某批N件產(chǎn)品進(jìn)行不放回抽樣檢查，若假設(shè)這批產(chǎn)品中有M件次品?，F(xiàn)從整批產(chǎn)品中隨機(jī)抽出n件產(chǎn)品，那么在這n件產(chǎn)品中出現(xiàn)的次品數(shù)X是隨機(jī)變量，取值X=0,1,2,n，其概率

10、分布稱為超幾何分布。 注：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不大()時(shí),超幾何分布可用二項(xiàng)分布近似,即不放回抽樣可用放回抽樣來(lái)近似。 =(;, ), = = ,次品率,幾何分布,在多重伯努利試驗(yàn)中，以隨機(jī)變量X表示事件A首次出現(xiàn)時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，那么X的分布律可以寫為： 稱這樣的分布為幾何分布，記為()， = 也被記為(;). 注：(;)0 且 =1 + (;) =1. 注：幾何分布的無(wú)記憶性： + = , = = 1 , =1,2,例 2.2.8 某人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把可以開門。他每次隨機(jī)選取一把鑰匙開門，失敗后放回。問(wèn)此人在第s次試開時(shí)成功的概率多大？ 每次開門是一次伯努利試驗(yàn)，用

11、 X 表示成功開門時(shí)的試開次數(shù)，那么,3.隨機(jī)變量的分布函數(shù),問(wèn)題：為什么引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)？ 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X，我們無(wú)法將所有可能取值一一列出，所以不能像離散隨機(jī)變量那樣用分布律 = 來(lái)描述。這時(shí)，我們通常感興趣的是隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間( 1 , 2 的概率。,分布 函數(shù),定義 2.3.1（分布函數(shù)） 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) 稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 注:對(duì)于任意實(shí)數(shù),()的取值是事件的概率. 注:如果隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知,那么我們就可以知道隨機(jī)變量落在任一區(qū)間的概率. 從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō),隨機(jī)變量的分布函數(shù)完整的描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性., = , +,解,分布

12、函數(shù)的性質(zhì),分布函數(shù)()是一個(gè)不減函數(shù); 0()1，且 = lim () =0, + = lim + () =1; ()是右連續(xù)的，即 +0 =().,右連續(xù),兩個(gè)重要公式,(1) =1 .,例 2.3.1（離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)） 將一枚硬幣連擲三次，以X來(lái)記正面出現(xiàn)的次數(shù)。求X的分布律及分布函數(shù)，并求 13 , 5.5 , 13 . S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT.,分布函數(shù),分布律,離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系,思考：,不同的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)一定也不相同嗎？,注: 不同的隨機(jī)變量可以服從相同的分布; 隨機(jī)變量的分布類型由

13、分布函數(shù)決定.,例 2.3.2（連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)） 一個(gè)靶子是半徑為2m的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并且所有射擊都能中靶。若以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。,2m,注：這里的隨機(jī)變量X取值范圍 是0,2,屬于連續(xù)型隨機(jī)變量。,F(x)圖形為一連續(xù)曲線,X 的分布函數(shù)為：,4.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,概率密度函數(shù)的定義與性質(zhì) 幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布 ,一、概率密度的定義與性質(zhì),定義 2.4.1（概率密度） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得對(duì)任意 ，都有 則稱

14、X是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。 注：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。, = ,概率密度的性質(zhì)：,非負(fù)性：()0 ； 規(guī)范性： + () =1； 概率計(jì)算公式：對(duì)于任意實(shí)數(shù) 1 , 2 1 2 , 1 2 = 2 1 = 1 2 ； 導(dǎo)數(shù)關(guān)系：,1,若X的分布函數(shù)()可導(dǎo), 則密度函數(shù) = .,結(jié)論1 若非負(fù)可積函數(shù)()滿足規(guī)范性，定義 = () ，則G(x)一定是某一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，并且該隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為(). 結(jié)論2 連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一指定實(shí)數(shù)值的概率為零，即 = =0. 注： = = .,例 2.4.1,例 2.4.2,二、常見(jiàn)的連續(xù)型

15、隨機(jī)變量的分布,均勻分布 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 = 1 , 0, 其他 則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為XU(a,b)。 注：易知()0且 + () =.,注：X的分布函數(shù)是,例 2.4.3 設(shè)KU(0,5)，求方程 有實(shí)根的概率。,指數(shù)分布 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 = 1 / , 0, 0, 其他. 其中0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。,通常用指數(shù)分布來(lái)作為各種“壽命”分布的近似。例如無(wú)線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等都常假定服從指數(shù)分布。,應(yīng)用與背景,指數(shù)分布的無(wú)記憶性 注：指數(shù)分布是唯一具有“無(wú)記憶性”的連續(xù)型分布。,對(duì), 0,

16、 有+|=.,正態(tài)分布（高斯分布） 若隨機(jī)變量X的概率密度為 = 1 2 () 2 2 2 , 0)是參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為, 的正態(tài)分布或高斯分布，記為XN(, 2)。 注：()0.,正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征,正態(tài)分布的分布函數(shù),+,正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布，例如 測(cè)量誤差，人的身高、體重，測(cè)量誤差，海洋波浪的高度，農(nóng)作物的收獲量，工廠產(chǎn)品的尺寸：直徑、長(zhǎng)度、重量、高度等都近似服從正態(tài)分布.,正態(tài)分布的應(yīng)用與背景,另外，有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布)的極限分布是正態(tài)分布。,二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換,正態(tài)分布下的概率計(jì)算,被積函數(shù)不是 初等函數(shù),方法一:利用MATLAB軟件包計(jì)算,

17、方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng)正態(tài)分布N(, 2)中的=0, =1時(shí)，這樣的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1)，其概率密度和分布函數(shù)分別用(x)和(x)表示： 注： = ; =1 . 注：若XN(, 2)，則Y=(X- )/ N(0,1).,附表2,標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,例 2.4.4（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下概率計(jì)算） 設(shè)XN(0,1)，計(jì)算P1X2, P-1X1, PX-1.24。,例 2.4.5（一般正態(tài)分布下概率計(jì)算） 設(shè)XN(,2)，求PaXb。,重要關(guān)系式,例 2.4.6（“3”法則 ） 設(shè)XN(,2)，則 + + +,例 2.4.7 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液

18、體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器值定在d, 液體的溫度X是一個(gè)隨機(jī)變量，且XN(d,0.52). (1)若d=90，求X小于89的概率； (2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問(wèn)d至少為多少？,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn) 設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，若 滿足 則稱點(diǎn) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。 =1. 1 = . P /2 /2 =1., =, 01, ,4. 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,Y是X的函數(shù),當(dāng)X取 0 值時(shí)， Y的取值是( 0 ).,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,例 2.5.1 設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律，試求Y=X2的分布律。,由此歸納出離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法: “列舉+合并”,離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,例 2.5.2 設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律，試求Y=X2-5的分布律。,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分