1、1,習(xí) 題 課,基本內(nèi)容,典型例題,第七章 多元函數(shù)微分學(xué),教學(xué)要求,2,一、基本內(nèi)容,1. 多元函數(shù)的概念,2. 多元函數(shù)的極限,一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要,和一元函數(shù)極限的差異：,必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨,而多元函數(shù),于P0時(shí),多元函數(shù)的基本概念,條件是左右極限都存在且相等;,都有極限,且相等.,3,3. 多元函數(shù)的連續(xù)性,4. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),高階偏導(dǎo)數(shù)：,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),最值定理 介值定理,4,5. 全微分,可微的必要條件,可微必連續(xù)，可微必可導(dǎo)。,可微的充分條件,偏導(dǎo)連續(xù)必可微。,偏導(dǎo)連續(xù) 可微 連續(xù),有偏導(dǎo),5,6. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,（三種情況）

2、,(1) 抽象函數(shù)的情形,(2) 高階復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),特別注意,7. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,(1) 一個(gè)方程情形(二元方程、三元方程),(2) 方程組情形,隱函數(shù)的個(gè)數(shù)=方程的個(gè)數(shù),隱函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)=總自變量個(gè)數(shù) 方程的個(gè)數(shù),6,8. 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用,(1) 空間曲線的切線與法平面(三種情形),(2) 空間曲面的切平面與法線(三種情形),9. 方向?qū)?shù)與梯度,方向?qū)?shù),梯度,7,方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大(即增長最快)，且方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。,10. 多元函數(shù)的極值與最值,(1) 極值的必要條件,極值的充分條件,(2) 求條件極值的方法,代入法，Lagra

3、nge乘數(shù)法,(3) 求最值的方法,8,二、教學(xué)要求,與可微之間的關(guān)系.,掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法.,二元函數(shù)極限、,2.熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)的定義與求法,特別要,會(huì)求函,數(shù)的全微分(尤其是判定分段函數(shù)分段點(diǎn)的可微性).,連續(xù)、,1. 掌握,存在偏導(dǎo),9,5.了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì),會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的,3.熟練掌握空間曲線的切線與法平面,曲面的切平面與法線方程的求法.,方程、,4.熟練掌握二元函數(shù)的極值理論及其,求法,極值以及有關(guān)應(yīng)用題.,算方法.,10,例,解,分析,拉格朗日乘數(shù)法.,三、典型例題,11,得,12,即得唯一駐點(diǎn),根據(jù)題意距離的最小值一定存在,且有,故必在,取得最小值.,唯一駐點(diǎn),13,試求 和 .,解題思路,再代入上式即得.,例,14,上海交大考試題(97級(jí)),解,則,設(shè)曲面上的任意點(diǎn)為,且在此點(diǎn)的,法向量,上的任意一點(diǎn)處的切平面,練習(xí),都過原點(diǎn).,15,則,切平面方程為:,即證.,上的任意一點(diǎn)處的切平面都過原點(diǎn).,16,解,例,此方向?qū)?shù)等于梯度的模?,17,此方向?qū)?shù)等于梯度的模?,18,19,作業(yè),自測(cè)題七,(61頁),4. 5. 6. 7. 8. 11. 12.,20,例,解,三、典型例題,21,22,解,例,法一,方程組各方程兩邊微分, 得,分析,變量