1、第四章 三角函數(shù),高考文數(shù),4.4解三角形,考點(diǎn)用正、余弦定理解三角形 1.正、余弦定理,知識(shí)清單,2.解三角形的類型 (1)已知兩角及一邊,用正弦定理,有解時(shí),只有一解. (2)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,用正弦定理,有解時(shí)可分為幾種情況.在ABC中,已知a、b和角A時(shí),解的情況如下:,上表中A為銳角時(shí),absin A無解;A為鈍角時(shí),a=b,ab均無解. (3)已知三邊,用余弦定理,有解時(shí),只有一解. (4)已知兩邊及夾角,用余弦定理,必有一解. 3.三角形的面積 設(shè)ABC的三邊為a,b,c,所對(duì)的三個(gè)內(nèi)角為A,B,C,其面積為S,外接圓半徑為R. (1)S=ah(h為BC邊上的高); (2

2、)S=absin C=acsin B=bcsin A; (3)S=2R2sin Asin Bsin C; (4)S=;,(5)S=. 4.實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平線上方的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線下方的角叫俯角 (如圖a).,(2)方位角 方位角是指從某點(diǎn)的正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平 角,如B點(diǎn)的方位角為(如圖b). (3)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角. 拓展延伸 在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,常見的結(jié)論如下: (1)A+B+C=; (2)在ABC中,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角,如:ab

3、ABsin Asin B; (3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊; (4)在銳角三角形ABC中,sin Acos BA+B; (5)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;,(6)有關(guān)三角形內(nèi)角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sin=cos;cos=sin.,正弦定理和余弦定理的應(yīng)用方法 在解有關(guān)三角形的題目時(shí),要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適,還是兩個(gè)定理都要用,要抓住能夠利用定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子

4、中含有角的正弦或邊的一次式,則考慮用正弦定理;如果以上特征都不明顯,則要考慮到兩個(gè)定理都要用到. 例1(2017天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2). (1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值.,方法技巧,解題導(dǎo)引 (1)由asin A=4bsin B及 正弦定理得a=2b由ac=(a2-b2-c2),a=2b 及余弦定理求cos A (2)求sin A的值求sin B及cos B的值利用二倍角公式得sin 2B 及cos 2B的值代入兩角差的正弦公式 得結(jié)果,解析(1)由asin

5、A=4bsin B及=,得a=2b. 又由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理, 得cos A=-. (2)由(1)及已知,可得sin A=,代入asin A=4bsin B, 得sin B=. 由(1)知,A為鈍角,所以cos B=. 于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=, 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=-=-.,三角形形狀的判斷方法 1.利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)的關(guān)系,通過三角恒等變換,得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀. 2.利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系,通

6、過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀. 例2(2016遼寧五校第一次聯(lián)考,8)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若直線bx+ycos A+cos B=0與ax+ycos B+cos A=0平行,則ABC一定是(C) A.銳角三角形B.等腰三角形 C.直角三角形D.等腰或者直角三角形,解題導(dǎo)引 由兩直線平行 得出邊角關(guān)系利用正弦或余弦定理化成角 與角或邊與邊之間的關(guān)系化簡關(guān)系式判斷三角形的形狀,解析解法一:由兩直線平行可得bcos B-acos A=0,由正弦定理可知 sin Bcos B-sin Acos A=0,即sin 2A=sin 2B,又A、B(0

7、,),且A+B(0,), 所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=.若A=B,則a=b,cos A=cos B,此時(shí) 兩直線重合,不符合題意,舍去,故A+B=,則ABC是直角三角形,故選C. 解法二:由兩直線平行可得bcos B-acos A=0,由余弦定理,得a= b,所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所 以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.若a=b,則兩直線重合,不符合題意,故a2+b2=c2,則ABC是直角三角形,故選C.,解三角形應(yīng)用題的方法 1.解三角形應(yīng)用題的步驟

8、 2.解三角形應(yīng)用題的兩種方法 (1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; (2)實(shí)際問題抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解條件已知的三角形,然后逐步求出其他三角形的解,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程,解方程得出所求的解. 3.解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞,并能準(zhǔn)確地找出這些角; (2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來使用,這樣可以優(yōu)化解題過程; (3)注意題目中的隱含條件以及解的實(shí)際意義.,例3(2015湖北,15,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD=m.,解題導(dǎo)引 由已知條件及三角形內(nèi)角和 定理可得ACB的值在ABC中,利用正弦 定理求得BC在RtBCD中,利用銳角三角函數(shù)的定義