1、3.3.2；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值,高二數(shù)學(xué) 選修1-1 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,f (x)0,f (x)0,1.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在 這個區(qū)間內(nèi)f/（x） 0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi) 的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)f/（x）0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).,一、知識回顧:,如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).,2.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟,求函數(shù)的定義域;,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f/（x）;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調(diào) 遞增區(qū)間; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,定義域為R時可省,3、練習(xí),

2、1.,解,f(x)在(-，-4)、 (2，)內(nèi)單調(diào)遞增，,求導(dǎo)數(shù)求臨界點列表寫出單調(diào)性,+,+,-,f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2,f(x)在(-4，2)內(nèi)單調(diào)遞減。,f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x2,二、新課講解函數(shù)的極值:,1. 觀察右下圖為函數(shù)y=x3+3x2-24x-20的圖象,從圖象我們可以看出下面的結(jié)論:,函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，這時我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值；0是函數(shù) 的一個極大值點。函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f(2)是函數(shù)的一個極小值， 2是函數(shù) 的一個極小值點。,y,0,單調(diào)遞增 f (x

3、)0,單調(diào)遞減 f(x)0,f (-4)0,(1)當x=-4時函數(shù)的函數(shù)值最大， f(x)在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？,(2)當x-4時f(x)的單調(diào)性是怎樣的呢？,(3)當x-4時f(x)的單調(diào)性是怎樣的呢？,將最高點附近放大,x=-4,x-4,x-4,導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？,在x=-4附近，f(x)先增后減，f (x)先正后負， f(x)連續(xù)變化，于是有f (-4)=0f(-4)最大。,對于一般函數(shù)是否也有同樣的性質(zhì)嗎？,如圖，函數(shù) y=f（x）在x1，x2，x3，x4等點的 函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ Y=f（x）在這些點的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號有

4、什么規(guī)律？,2.探索思考：,從而我們得出結(jié)論: 若x0滿足 f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,并且如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左正右負”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值;如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左負右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.,從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負;曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負,右側(cè)為正.,學(xué)案上題,探究,3.(1) 如圖，y=f(x)在a、b等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有

5、什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)值呢？導(dǎo)數(shù)符號呢？,c a b f o g h I j x,y,一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入-導(dǎo)入新課,3.(2) 如圖，y=f(x)在a、b點的函數(shù)值 與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ 導(dǎo)數(shù)值呢？導(dǎo)數(shù)符號呢？,探究,x,y,o,a,b,y-=f(x),0,0,0,0,極小值點,極大點,f (a)=0,f (b)=0,a,b,x,y,O,一般地, 設(shè)函數(shù) f (x) 在點x0附近有定義, 如果對x0附近的所有的點, 都有,我們就說 f (x0)是 f (x) 的一個極大值, 點x0叫做函數(shù) y = f (x)的極大值點.,反之, 若 , 則稱 f (x0) 是 f (x) 的一個極小值, 點x0

6、叫做函數(shù) y = f (x)的極小值點.,極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點, 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.,一、極值,探究：極值點處導(dǎo)數(shù)值(即切線斜率）有何特點？,結(jié)論:極值點處，如果有切線，切線水平的.即: f (x)=0,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0，則x0是否為極值點？,若尋找可導(dǎo)函數(shù)極值點,可否只由f(x)=0求得即可?,思考,探索: x =0是否為函數(shù)f(x)=x3 的極值點?,f(x)=3x2 當f(x)=0時，x =0，而x =0不是該函數(shù)的極值點.,f(x0) =0 x0 是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點 x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號 x0 是函

7、數(shù)f(x)的極值點 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件,進一步探究:極值點兩側(cè)函數(shù)圖像單調(diào)性有何特點?,極大值,極小值,即: 極值點兩側(cè)單調(diào)性互異,練習(xí)1,下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象, 試找出函數(shù) 的極值點, 并指出哪些是極大值點, 哪些是極小值點.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,因為 所以,例1 求函數(shù) 的極值.,解:,令 解得 或,當 , 即 , 或 ; 當 , 即 .,當 x 變化時, f (x) 的變化情況如下表:,+,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以, 當 x = 2 時, f (x)有極大值 28 / 3 ;,當 x

8、= 2 時, f (x)有極小值 4 / 3 .,例題4圖像,-2,o,x,y,2,+,-,-,+,28/3,-4/3,f(x)=1/3 x3-4x+4,例2,所以，當x=-1是，函數(shù)的極大值是-2，當x=1時，函數(shù)的極小值是2,導(dǎo)函數(shù)的正負是 交替出現(xiàn)的嗎？,不是,極大值,極小值,求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟： （1）確定函數(shù)的定義域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況 若f (x)左正右負，則f(x)為極大值； 若 f (

9、x)左負右正，則f(x)為極小值,求導(dǎo)求極點列表求極值,在社會生活實踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益，常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最大等問題，這些問題的解決常常可轉(zhuǎn)化為求一個函數(shù)的最大值和最小值問題,函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們與函數(shù)極值關(guān)系如何？,二、最值,極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。,知識回顧,一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：,1最大值:,（1）對于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，稱M是函數(shù)y=f(x)

10、的最大值,2最小值:,一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：,（1）對于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值,觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的最值嗎？,在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值.,在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值,如何求出函數(shù)在a,b上的最值？,一般的如果在區(qū)間，a,b上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。,教材p98練習(xí)A1,觀察右邊一個定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象：,問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)

11、是最小值，而f(b)是最大值呢？,(2) 將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)(端點處) 比較,其中最大的一個為最大值，最小的 一個最小值.,求f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：,(1) 求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值(極大值或極小值)；,新授課,求函數(shù)的最值時,應(yīng)注意以下幾點:,(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個局部概念,而函數(shù)的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問題,是一個整體性的概念.,(2)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.,(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各

12、有一個, 而函數(shù)的極值則可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).,例3:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,當x變化時, 的變化情況如下表:,從上表可知,最大值是13,最小值是4.,題型：求函數(shù)的最大值和最小值,函數(shù)的性質(zhì),單調(diào)性,單調(diào)性的判別法,單調(diào)區(qū)間的求法,函數(shù)極值,函數(shù)極值的定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,函數(shù)極值的求法,必要條件,求極值的步驟:1.求導(dǎo)，2.求極點，3.列表，4.求極值,1.求導(dǎo)，2.求臨界點 3. 列表，4.單調(diào)性,練習(xí)1,求下列

13、函數(shù)的極值:,解:,令 解得 列表:,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以, 當 時, f (x)有極小值,練習(xí)2,求下列函數(shù)的極值:,解:,解得 列表:,+,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以, 當 x = 3 時, f (x)有極大值 54 ;,當 x = 3 時, f (x)有極小值 54 .,練習(xí)2,求下列函數(shù)的極值:,解:,解得,所以, 當 x = 2 時, f (x)有極小值 10 ;,當 x = 2 時, f (x)有極大值 22 .,解得,所以, 當 x = 1 時, f (x)有極小值 2 ;,當 x = 1 時, f (x)有極大值 2 .,練習(xí)3：函數(shù) y = x + 3 x

14、9x在 4 , 4 上的最大值為 ,最小值為 .,分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 區(qū)間4 , 4 端點處的函數(shù)值為 f (4) =20 , f (4) =76,得x1=3，x2=1,函數(shù)值為f (3)=27, f (1)=5,76,-5,當x變化時，y 、 y的變化情況如下表：,比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在4 , 4 上的最大值為 f (4) =76，最小值為 f (1)=5,作業(yè)：,求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：,54,-54,22,-10,2,-18,a,a-40,1理解極值概念時需注意的幾點 (1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側(cè)附近的點而言的 (2)極值點是函數(shù)定義域內(nèi)的點，而函數(shù)定義域的端點絕不是函數(shù)的極值點