1、第40練隨機(jī)變量及其分布列題型分析高考展望隨機(jī)變量及其分布列是高考的一個(gè)必考熱點(diǎn)，主要包括離散型隨機(jī)變量及其分布列，均值與方差，二項(xiàng)分布及其應(yīng)用和正態(tài)分布.對本部分知識的考查，一是以實(shí)際生活為背景求解離散型隨機(jī)變量的分布列和均值；二是獨(dú)立事件概率的求解；三是考查二項(xiàng)分布.體驗(yàn)高考1.(2015四川)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人.女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.(2)某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)

2、員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和均值.解(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名，參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為，因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1.(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1，2，3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列為X123P因此，X的均值為E(X)1P(X1)2P(X2)3P(X3)1232.2.(2016天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng).已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活

3、動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.解(1)由已知，有P(A).所以事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P隨機(jī)變量X的均值E(X)0121.3.(2015福建)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行

4、卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和均值.解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A).(2)依題意得，X所有可能的取值是1，2，3.又P(X1)，P(X2)，P(X3)1.所以X的分布列為X123P所以X的均值E(X)123.高考必會題型題型一條件概率與相互獨(dú)立事件的概率例1(1)先后擲兩次骰子(骰子的六個(gè)面上分別有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn))，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概率P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)

5、甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()A. B. C. D.答案(1)B(2)A解析(1)正面朝上的點(diǎn)數(shù)(x，y)的不同結(jié)果共有CC36(種).事件A：“xy為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個(gè)互斥事件，其中P(A1)，P(A2)，所以P(A)P(A1)P(A2).事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且xy”，所以P(AB).P(B|A).(2)設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，“丙命中目標(biāo)”為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為ABC，即擊

6、中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生.P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).故目標(biāo)被擊中的概率為1P()1.點(diǎn)評(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A).這是通用的求條件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A).(3)相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個(gè)明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解.變式訓(xùn)練1(1)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測

7、資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45(2)某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率為_.答案(1)A(2)0.128解析(1)已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P0.8

8、.(2)由題設(shè)，分兩類情況：第1個(gè)正確，第2個(gè)錯(cuò)誤，第3、4個(gè)正確，得P10.80.20.80.80.102 4；第1、2個(gè)錯(cuò)誤，第3、4個(gè)正確，此時(shí)概率P20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.題型二離散型隨機(jī)變量的均值和方差例2(2015山東)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，

9、參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和均值E(X).解(1)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125，135，145，235，245，345；(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為C84，隨機(jī)變量X的取值為：0，1，1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1，所以X的分布列為X011P則E(X)0(1)1.點(diǎn)評離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，

10、對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對應(yīng).變式訓(xùn)練2(1)(2016四川)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是_.答案解析由題可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P1，2次獨(dú)立試驗(yàn)成功次數(shù)X滿足二項(xiàng)分布XB，則E(X)2.(2)(2016山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對，則“星隊(duì)”得

11、1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率；“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和均值E(X).解記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“星隊(duì)至少猜對3個(gè)成語”.由題意，EABCDBCDACDABDABC.由事件的獨(dú)立性與互斥性，P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P

12、(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2.所以“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率為.由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，4，6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得P(X0)，P(X1)2，P(X2)，P(X3)，P(X4)2.P(X6).可得隨機(jī)變量X的分布列為x012346P所以均值E(X)012346.題型三二項(xiàng)分布例3某市為豐富市民的業(yè)余文化生活，聯(lián)合市國際象棋協(xié)會舉辦國際象棋大賽，在小組賽中，小王要與其他四名業(yè)余棋手進(jìn)行比賽，已知小王與其他選手比賽獲得勝利的概率都為，并且他與其他選手比賽獲勝的事件是相互獨(dú)立的.(1)求小王首次獲勝前已經(jīng)負(fù)

13、了兩場的概率；(2)求小王在四場比賽中獲勝的場數(shù)X的分布列、均值和方差.解(1)小王首次獲勝前已經(jīng)負(fù)了兩場，即前兩場輸?shù)谌龍鲒A，其概率為P(1)2.(2)因?yàn)樾⊥趺繄霰荣惈@勝的概率均為，所以小王在四場比賽中獲勝的場數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(4，)，故P(Xi)C()i(1)4i(其中i0，1，2，3，4).所以P(X0)C()0(1)4，P(X1)C()1(1)3，P(X2)C()2(1)2，P(X3)C()3(1)1，P(X4)C()4(1)0.故 X的分布列為X01234P故X的均值為E(X)4，方差為D(X)4(1).點(diǎn)評應(yīng)用公式Pn(k)Cpk(1p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件

14、A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.變式訓(xùn)練3(2015湖南)某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和均值.解(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個(gè)球是

15、紅球，A2從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球，B1顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)，B2顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)，C顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng).由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A12與1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.因?yàn)镻(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率為P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以XB.于是P(X0)C

16、03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的分布列為X0123P則E(X)3.高考題型精練1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記A兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，B兩次點(diǎn)數(shù)之和為6，則P(B|A)等于()A. B. C. D.答案B解析n(A)339，n(AB)3，所以P(B|A).故選B.2.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，用A表示事件“點(diǎn)P恰好在由曲線y與直線x1及x軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，B表示事件“點(diǎn)P恰好取自陰影部分內(nèi)”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.答案A解析根據(jù)題意，正方形OABC的面積為111，而y與直線x1及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為dx

17、x，P(A)，而陰影部分的面積為(x)dx(xx2)，正方形OABC中任取一點(diǎn)P，點(diǎn)P取自陰影部分的概率為P(B)，P(B|A)，故選A.3.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則P(X2)等于()A. B. C. D.答案A解析至少有兩次擊中目標(biāo)的對立事件是最多擊中一次，有兩類情況：一次都沒擊中、擊中一次.一次都沒擊中：概率為(10.6)30.064；擊中一次：概率為C0.6(10.6)20.288.所以最多擊中一次的概率為0.0640.2880.352，所以至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為10.3520.648.4.已知某一隨機(jī)變量X的概率分布列如下表，E(

18、X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7 D.8答案C解析b10.50.10.4，40.5a0.190.46.3，a7，故選C.5.設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，則()A.n5，p0.32B.n4，p0.4C.n8，p0.2D.n7，p0.45答案C解析因?yàn)殡S機(jī)變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，所以p0.2，n8.6.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率是，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為()A. B. C. D.以上全不對答案A解析設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，事件A全

19、不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對立事件，1(1p)4，即(1p)4.故1p或1p(舍去)，即p.7.小王參加了2015年春季招聘會，分別向A，B兩個(gè)公司投遞個(gè)人簡歷.假定小王得到A公司面試的概率為，得到B公司面試的概率為p，且兩個(gè)公司是否讓其面試是獨(dú)立的.記為小王得到面試的公司個(gè)數(shù).若0時(shí)的概率P(0)，則隨機(jī)變量的均值E()_.答案解析由題意，得P(2)p，P(1)(1p)p，的分布列為012Pp由p1，得p.所以E()012p.8.隨機(jī)變量的取值為0，1，2.若P(0)，E()1，則D()_.答案解析設(shè)P(1)a，P(2)b，則解得所以D()01.9.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑

20、球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知E(X)3，則D(X)_.答案解析根據(jù)題目條件，每次摸到白球的概率都是p，滿足二項(xiàng)分布，則有E(X)np53，解得m2，那么D(X)np(1p)5(1).10.某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止.設(shè)甲每次擊中的概率為p(p0)，射擊次數(shù)為，若的均值E()，則p的取值范圍是_.答案(0，)解析由已知得P(1)p，P(2)(1p)p，P(3)(1p)2，則E()p2(1p)p3(1p)2p23p3，解

21、得p或p，又p(0，1)，所以p(0，).11.(2015陜西)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為T，T只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列與均值E(T)；(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率.解(1)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而E(T)250.2300.3350.4400.132.(2)設(shè)T1，T2分別表示往、返所需時(shí)間，T1，T2的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同，設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事件A對應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過70分鐘”.方法一P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T