1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中 疾病傳播與免疫,2009-10-31,疾病傳播模型的描述,. 模型的傳播規(guī)則： 初始時(shí)隨機(jī)選擇網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)或若干節(jié)點(diǎn)為染病節(jié)點(diǎn)（I），其余為健康節(jié)點(diǎn)（S） 在每一個(gè)時(shí)間步t： 如果一個(gè)健康節(jié)點(diǎn)具有染病鄰居，則它依某 個(gè)事先設(shè)定的概率變成染病節(jié)點(diǎn)，這一概率叫 做染病概率（）；同時(shí)每一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)都依 某個(gè)事先設(shè)定的痊愈概率（）變成健康節(jié)點(diǎn)。 在每個(gè)時(shí)間步，這些演化規(guī)則在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中被并行地執(zhí)行。染病概率越大，痊愈概率越小，疾病就越有可能感染更多的人，因此，定義染病概率和痊愈概率的比值為有效傳播率 并用這個(gè)參數(shù)綜合地衡量疾病自身特征。,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的免疫策略與技術(shù),主要

2、內(nèi)容: 1. 疾病傳播的基本知識(shí) 2. SIS和SIR傳播模型 3. 均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型, WS模型為例進(jìn)行解析 4.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型, BA模型為例進(jìn)行解析,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論,1. 疾病傳播,I. 傳染?。簲?shù)理學(xué)家在研究傳播行為時(shí)，往往并不區(qū)別研究對(duì)象，他們把可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播開來(lái)的東西叫做傳染病。 II. 在傳播過(guò)程中，個(gè)體處于三個(gè)基本狀態(tài)： (1) S(susceptible)易感狀態(tài)：不會(huì)傳染他人，可能被傳染（也就是健康狀態(tài)） (2) I(infected) 感染狀態(tài)：已患病，具有傳染性 (3) R(removed) 免疫狀態(tài)：被治愈，具有免疫能力，不具有傳染能力，不

3、會(huì)再次被感染（移除狀態(tài)）,. 傳染病模型 科學(xué)家通過(guò)用基本狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換來(lái)建立不同的傳播模型： SIS模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈但無(wú)免疫力（還可以再被感染）（感冒等） SIR模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力（不會(huì)被感染，也不會(huì)感染其它節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于已經(jīng)從傳播網(wǎng)絡(luò)中被清除了）（天花等） SI模型：易染個(gè)體被感染后，不能被治愈（艾滋病等） SIRS模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，還會(huì)再次回到易染狀態(tài)。（乙肝？）, 感染密度（感染水平或者波及范圍）(t) (t)：傳播過(guò)程中,感染節(jié)點(diǎn)總數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。：傳播到穩(wěn)態(tài)時(shí)（ ）感染密度的值,稱為穩(wěn)態(tài)

4、感染密度。 有效傳播率(=/) 非常?。ê苄。艽螅?，傳播達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)， 所有節(jié)點(diǎn)都會(huì)變成健康節(jié)點(diǎn)，這種情況下就認(rèn)為疾病 沒(méi)有在網(wǎng)絡(luò)上傳播開來(lái)，并記該疾病的穩(wěn)態(tài)感染密度 =0。 反之，當(dāng)足夠大時(shí)，疾病將一直在網(wǎng)絡(luò)中存在而不會(huì)完全消失，只是染病節(jié)點(diǎn)的數(shù)目有時(shí)多有時(shí)少，這時(shí)穩(wěn)態(tài)感染水平（波及范圍） 0。把穩(wěn)態(tài)感染密度從零向正實(shí)數(shù)變化的那個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有效傳播率稱作傳播閾值（臨界值） c。它是衡量網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為最重要的參量之一。,. 傳播模型研究的主要參量,SIS模型傳播方程 設(shè)s,i分別表示群體中S,I個(gè)體所占 的比例，則SIS傳播的微分方程組為： SIR模型傳播方程 設(shè)s,i,r分別表示群體中S,I

5、,R個(gè)體所占 的比例，則疾病傳播的動(dòng)力微分方程組為： 注: (1) 傳播網(wǎng)絡(luò)是完全圖，但實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，只有接觸才能被感染 (2) 并不是對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都一致，而是服從分布 ， Newman對(duì)其進(jìn)行了研究。,. 模型傳播動(dòng)力學(xué)方程,3. 均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型,. 均勻網(wǎng)絡(luò)： . 解析模型 三個(gè)假設(shè)： 均勻混合假設(shè)：感染強(qiáng)度和感染個(gè)體密度 成比例。即： 和為常數(shù)（均勻混合）。不失一般性，可假設(shè)=1，因?yàn)檫@只影響疾病傳播的時(shí)間尺度； 均勻性假設(shè)：均勻網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度都等于網(wǎng)絡(luò)的平均度； 規(guī)模不變假設(shè)：假設(shè)病毒的時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于個(gè)體的生命周期，即不考慮個(gè)體的出生和自然死亡,運(yùn)用平均場(chǎng)的方法可得：被感染個(gè)

6、體密度(t)的變化率 被感染節(jié)點(diǎn)以單位速率恢復(fù)健康 單個(gè)感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的新感染節(jié)點(diǎn)的平均速度，它與有效傳播率、節(jié)點(diǎn)的平均度k，健康節(jié)點(diǎn)相連概率1-(t)成比例，（其他的高階校正項(xiàng)忽略了）。,當(dāng)傳播達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，變化率為0，所以令上式右端為0； 即：-+1-=0 （1-+）=0； （- ）=0； 當(dāng) 時(shí)，- 必大于0，所以=0； 當(dāng) 時(shí)，= ； 所以， 即為臨界傳播值，記 = 。,結(jié)論： 在均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)有限的正的傳播臨界值c。 如果有效傳播率 c，則病毒可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播 開來(lái)，并最終穩(wěn)定于 , 此時(shí)稱網(wǎng)絡(luò)處于激活相態(tài)； 如果有效傳播率c，病毒 感染個(gè)體數(shù)呈指數(shù)衰減，無(wú)法大 范圍傳播，最終將不能

7、傳播, 此時(shí)網(wǎng)絡(luò)稱為吸收相態(tài)。,4.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播,. 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：具有冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)，即： ； 網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度沒(méi)有明顯的特征長(zhǎng)度 . 解析模型 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布是呈冪律分布，因而度具有很大的 波動(dòng)性，定義一個(gè)相對(duì)感染密度 ：度數(shù)為k的感染節(jié)點(diǎn) 數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，相對(duì)穩(wěn)態(tài)感染密 度記為 。 平均感染密度： 穩(wěn)態(tài)平均感染密度：,同樣我們能采用MF理論來(lái)求 的變化率得:度為k的節(jié)點(diǎn)相對(duì)感染密度的變化方程為： 被感染個(gè)體以單位速率恢復(fù)健康 ：任意一條給定的邊與一個(gè)被感染節(jié)點(diǎn)相連的概率 單個(gè)感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的新感染節(jié)點(diǎn)的密度,根據(jù)穩(wěn)態(tài)條件 ，可得： 傳播達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)， 記為 :

8、給定一條邊，這條邊指向一個(gè)已感染節(jié)點(diǎn)的概率 此概率值不依賴于出發(fā)點(diǎn)的度，而僅于 有關(guān)；并且趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)， 又是的函數(shù)，因此趨于穩(wěn)態(tài)時(shí) 可以表示為 。 節(jié)點(diǎn)的度越高，被感染的概率越高,下面我們計(jì)算 ：給定端點(diǎn)的一條邊，其另一個(gè)端 點(diǎn)為染病節(jié)點(diǎn)的概率時(shí)，必須考慮到網(wǎng)絡(luò)的非均勻性。 任意一條給定邊指向度為k的節(jié)點(diǎn)的概率為 （與度為k節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊數(shù)與總邊數(shù)的比值） 則任意一條給定邊指向度為k的感染節(jié)點(diǎn)的概率為 從而， （將 的值代入）,回憶：傳播臨界值 必須滿足的條件：當(dāng) 時(shí)，可以得到 的一個(gè)零解。當(dāng) 時(shí)，可以得到 的一個(gè)非零解。 有一個(gè)平凡解 如果該方程要存在一個(gè)非零穩(wěn)定解 ，需要滿足如下條件： 即有

9、：,結(jié)論：對(duì)于SF（無(wú)標(biāo)度）網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度數(shù)具有很大的浮動(dòng)性，當(dāng) ,導(dǎo)致 ，從而 特別地，作為SF網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)典型例子，考慮BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。,BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值,BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：(1) 增長(zhǎng)特性，(2) 優(yōu)先連接特性（富者更富，或馬太效應(yīng)） 度分布 ，平均度 其中m是網(wǎng)絡(luò)最小度 將平均度 ，度分布 ，以及 帶入 ，可得：,又因?yàn)?化簡(jiǎn)后得： 當(dāng)=0時(shí)，有 當(dāng)0時(shí)，有 結(jié)論： BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在SIS模型下的 只要有效傳播率0，病毒就能傳播開來(lái)，并將達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定感染水平 ，這反映了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性,BA網(wǎng)絡(luò)中，疾病傳播的時(shí)間演化 N=106，從下至上從0.05到0.065,WS網(wǎng)絡(luò)

10、與BA網(wǎng)絡(luò)的比較,總結(jié),1. SIS模型在均勻網(wǎng)絡(luò)中，存在一個(gè)傳播臨界值 。 當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過(guò)程中逐漸衰減，最終被滅； 當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過(guò)程中傳播開來(lái)，并穩(wěn)定于某一值（穩(wěn)態(tài)感染密度）： 2. SIS模型在SF網(wǎng)絡(luò)中，傳播臨界值： 只要有效傳播率0，病毒就能傳播開來(lái)，并將達(dá)到一穩(wěn)定感染水平 值： ，這反映了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性。,有限規(guī)模無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值 關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值 廣義復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播臨界值（度分布是冪律分布和指數(shù)分布的混合體） ,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的免疫策略與技術(shù),報(bào)告內(nèi)容,主要內(nèi)容 1. 隨機(jī)免疫與集中接種 2.目標(biāo)免疫與優(yōu)先免疫 3. 熟人免

11、疫與環(huán)狀接種,免疫策略與技術(shù),隨機(jī)免疫與集中接種：將所有可能感染的種群集中起來(lái)，按照某種概率隨機(jī)選擇種群中的個(gè)體進(jìn)行接種。 （度大節(jié)點(diǎn)和度小節(jié)點(diǎn)是平等對(duì)待） 1992年，Anderson和May人類傳染病， Oxford University Press SIS傳播方式說(shuō)明隨機(jī)免疫,1. 隨機(jī)免疫（均勻免疫）,引入免疫參數(shù)g：初始網(wǎng)絡(luò)中免疫節(jié)點(diǎn)數(shù)占節(jié)點(diǎn)總 數(shù)的比例 在平均場(chǎng)理論下可以通系數(shù)（1-g）來(lái)影響有效傳播率，即 用（1-g）來(lái)替換代入前面的變換率方程中 （均勻網(wǎng)絡(luò)，WS） （SF網(wǎng)絡(luò)，BA）,均勻網(wǎng)絡(luò)（以WS為例） 令上式為0，得：,即：我們需要的免役臨界值 顯然 ，才有意義。 情況下

12、，如果不加免疫，疾病將傳播開來(lái)，并穩(wěn)定于某一值(0)；如果加免疫后，只要免疫值 滿足： 疾病將不能傳播開來(lái)，即達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，0。,. SF網(wǎng)絡(luò)（以BA為例） SF網(wǎng)絡(luò)的免疫臨界值可由公式 給出，即：,仿真（一）,WS模型上隨機(jī)免疫的效果 表示加入免疫后的穩(wěn)態(tài)感染密度，表示不加免 疫的穩(wěn)態(tài)感染密度（p=1,k=3;=0.25;）,結(jié)論： 在均勻網(wǎng)絡(luò)中：只要 ，就可保證疾病不在網(wǎng)絡(luò)中傳播開來(lái)；SF網(wǎng)絡(luò)中：免疫臨界值約為，即任給定一值，都需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的所有個(gè)體進(jìn)行免疫才能使疾病不傳播開來(lái)。說(shuō)明隨機(jī)免疫只對(duì)均勻網(wǎng)絡(luò)有效（有較小的),而對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)效果很差（ =1）。 原因： 這是由于SF網(wǎng)絡(luò)是異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)

13、點(diǎn)度呈兩極分化，采用隨機(jī)免疫，哪些最容易傳播病毒的節(jié)點(diǎn)（度大的節(jié)點(diǎn)）不一定獲得免疫。所以，如果對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫的策略，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中幾乎所有的節(jié)點(diǎn)都實(shí)施免疫才能保證最終消滅病毒傳染。 因此對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)這樣的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，普遍認(rèn)為：隨機(jī)免疫策略對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是無(wú)效的！,目標(biāo)免疫：選取少量度最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。（而一旦這些節(jié) 點(diǎn)被免疫后，就意味著他們所連的邊可以從網(wǎng)絡(luò)中去除，使得 病毒傳播的可能途徑大大減少。） 假設(shè)對(duì)度kkt的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，即有： 引入定義（免疫平均度，免疫二階矩）： p(g)：任給一條邊，該邊指向一個(gè)免疫節(jié)點(diǎn)的概率。且有： （免疫節(jié)點(diǎn)的平均度） （平均度）,2.目標(biāo)免疫（選擇免疫

14、）,將比例為g的免疫節(jié)點(diǎn)看作已從網(wǎng)絡(luò)中移除，且從這些節(jié)點(diǎn)出 發(fā)的邊也被刪除了。則新的度分布： （指向非免疫節(jié)點(diǎn)的概率）,在SF網(wǎng)絡(luò)中，有：,特別地，在BA網(wǎng)絡(luò)情況下：,同樣，將 代入t及t 得： 將、代入 式中。對(duì)代入后的方程求得一個(gè)近似解： 上式表明：即使有效傳播率在很大的范圍內(nèi)取值，都可以得到較小的免疫臨界值 (對(duì)少量的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫,即可消除病毒擴(kuò)散)。,環(huán)狀接種：隔離或免疫染病個(gè)體的所有 (距離為k)鄰居 禽流感等 熟人免疫：從群體中以比例p隨機(jī)選擇 個(gè)體,再隨機(jī)選擇該個(gè)體的一個(gè)相鄰個(gè)體進(jìn)行免疫 接觸追蹤：對(duì)與有傳染性個(gè)體的接觸 者進(jìn)行跟蹤，然后以一定的概率進(jìn)行免疫 非典病等 例子 (Huerta和TSimring) T：被監(jiān)控態(tài) T：被追蹤的強(qiáng)度 r：被檢查的強(qiáng)度,3.