1、2015數(shù)學(xué)建模提高班 差分方程與時(shí)間序列模型 專(zhuān)題,夢(mèng)想點(diǎn)燃激情，激情成就未來(lái),柴中林 2015/5/9,課 件 提 綱,1 差分方程的引例與概念 2 特殊差分方程的解 3 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 4 差分方程組 5時(shí)間序列與其中的趨勢(shì)分析 6自回歸模型 7自回歸模型識(shí)別及參數(shù)確定 8自回歸模型預(yù)測(cè)及相關(guān)說(shuō)明 9 建模練習(xí)題,1 差分方程的引例與概念,例1. 某人貸款80萬(wàn)元買(mǎi)了一套房子，期限20年.已知貸款月利率為5 ，請(qǐng)問(wèn)他每月要還貸多少？,在高數(shù)中，我們研究的函數(shù)中的變量的取值大都是連續(xù)的（在連續(xù)區(qū)間上取值，如（-,+ ）, (-1,12）。但在經(jīng)濟(jì)管理和很多實(shí)際問(wèn)題中，變量只能取1,2,3

2、,這樣的值。這些變量稱(chēng)為離散型變量。描述離散型變量間關(guān)系的模型稱(chēng)為離散型模型。差分方程就是常見(jiàn)的一種離散型模型。,微分方程：連續(xù)變量間存在函數(shù)關(guān)系。知道了這個(gè)關(guān)系，就能夠研究變量間的聯(lián)系與變化規(guī)律。然而，這個(gè)關(guān)系是未知的，但我們可以建立起含自變量，因變量及其導(dǎo)數(shù)或微分的等式，這就是微分方程。通過(guò)對(duì)方程的研究以求得這個(gè)函數(shù)關(guān)系，或通過(guò)方程直接揭示變量間的聯(lián)系就構(gòu)成了微分方程的主要研究?jī)?nèi)容。,差分方程與微分方程是類(lèi)似的。只是這里的變量是離散的。差分方程：含自變量，未知函數(shù)（因變量），未知函數(shù)差分的等式。建立差分方程，求解它的目的就是研究離散變量間的關(guān)系。,一般的，對(duì)有函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量，常用x當(dāng)自

3、變量，y當(dāng)因變量。但在差分方程中，因自變量只取整數(shù)值（如0,1,2，），我們更喜歡用n(或t)表示自變量，這時(shí)因變量可用x或y表示。其函數(shù)關(guān)系是x=x(n)，但我們更常用xn表示。當(dāng)然，這個(gè)關(guān)系是不知道的，但我們常能得到的是如下的式子 F(n, xn, xn-1, xn-k)=0 （1） 或 G(n, xn, xn+1, xn+k)=0 （2） 或 H(n, xn, xn, kxn)=0 （3） 這種式子就是差分方程。 有時(shí)，（1）也寫(xiě)成如下的形式 xn=f (n, xn-1, xn-k) (4) 因此，差分方程也稱(chēng)為遞推關(guān)系。,考慮例1，用n表示月份(n=0表示貸款月份)，xn表示第n月還貸

4、后還欠的錢(qián)，r, a分別表示銀行月利率和月還錢(qián)數(shù)， xn 表示了賬戶(hù)中欠錢(qián)數(shù)與月份間的函數(shù)關(guān)系（ 未知），但我們?nèi)菀椎玫揭粋€(gè)式子 xn +rxn -a = xn+1 即 xn+1-(1+r) xn =-a (5) 此外，還有初始條件 x0=80（萬(wàn)元）及x240=0。 這就是貸款問(wèn)題的差分方程模型。,變化建模 比較微元法,對(duì)離散關(guān)系xn，其函數(shù)值構(gòu)成序（數(shù)）列xn(x1,x2,x3,)。記 xn=xn+1-xn （序列后項(xiàng)減前項(xiàng)構(gòu)成的序列）, 稱(chēng)為xn的一階差分，2 xn = ( xn)= xn +1-xn = xn +2-2 xn +1+xn稱(chēng)為xn的二階差分，依次類(lèi)推。 對(duì)式 (5)：xn

5、+1-(1+r) xn =-a ，也可將它寫(xiě)為： xn-(1+r) xn-1=-a 或xn-rxn=-a （差分方程因此而得名）. 即同一個(gè)關(guān)系用不同視角不同符號(hào)式子會(huì)不同，但可以互化（它們是同一個(gè)東西）。,差分方程中的最高階差分的階或因變量的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)之差稱(chēng)為差分方程的階。 差分方程的解是函數(shù)，通常有無(wú)窮多個(gè)。通解是全部解的集合（體現(xiàn)在獨(dú)立任意常數(shù)上，其個(gè)數(shù)與方程階數(shù)相同）。另外，在實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)給出一些附加條件（如x0的值），稱(chēng)為初始條件。滿(mǎn)足初始條件的具體的解就是特解。,差分方程問(wèn)題的研究?jī)?nèi)容： 1 差分方程的建立（離散變量關(guān)系的建立，也可將連續(xù)問(wèn)題離散化）； 2 差分方程的求解

6、和分析。 差分方程在實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。,差分方程的求解并不比微分方程容易，大部分差分方程是無(wú)法求解的。這里介紹最簡(jiǎn)單同時(shí)用處很大的一類(lèi)特殊差分方程的求解。 常系數(shù)線(xiàn)性齊次差分方程，其一般形式為 xn+a1xn-1+akxn-k=0 (6) 其中a1,ak是常數(shù)。 方程（6）有解，其求解步驟為: 步驟1: 求解對(duì)應(yīng)的特征方程 k +a1 k-1+ak=0 （7） 步驟2: 根據(jù)步驟1的解的情況寫(xiě)出（6）的通解；,2 特殊差分方程的解,情況1：若是（7）的一個(gè)單實(shí)根，則n是（6）的一個(gè)特解。若1, 2, k是（7）的k個(gè)全部不同的單實(shí)根，則（6）的通解為xn=C1 1n +C2 2n+Ck

7、kn（ C1 ，C2 ，Ck 是任意常數(shù)）。 情況2：若是（7）的k重實(shí)根，則n, nn, , nk-1n都是（6）的特解。,情況3：若=i是（7）的單重復(fù)根，則 ncos n與n sin n都是（6）的特解，其中 ,是的模與幅角主值。 情況4 ：若=i是（7）的k重復(fù)根，則 n cos n, nn cos n, nk-1n cos n與n sin n, nn sin n, nk-1n sin n都是（6）的特解，其中 ,是的模與幅角。 最后，將各個(gè)特解如情況1那樣與任意常數(shù)相組合就得（6）的通解。,常系數(shù)線(xiàn)性非齊次差分方程，其一般形式為 xn+a1xn-1+akxn-k= b(n)(0) (

8、8) (8)的求解方法是先求相應(yīng)齊次方程的通解，記為xn*，再求（8）的一個(gè)特解，記為 xn (0) （方法：根據(jù)b(n) 的特點(diǎn)將xn (0)的形式設(shè)出，再用待定系數(shù)法確定其中的系數(shù)），于是（8）的通解為 xn = xn* + xn (0),此外，不同于微分方程，對(duì)差分方程，當(dāng)初始條件給定后，可迭代求得任意xn的（精確）值，從而可以對(duì)xn的變化規(guī)律進(jìn)行作圖分析。如對(duì)方程xn=f(n, xn-1, xn-k)，若x1, x2, xk 給定，就可以根據(jù)方程依次算出xk+1, xk+2, xk+3 來(lái)。,下面求解例1： xn+1-(1+r) xn =-a 。它是一階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性差分方程。先解相

9、應(yīng)的齊次方程xn+1=(1+r) xn，特征方程為= 1+r，其通解為xn *=C (1+r)n （ C為任意常數(shù)）, 再求其一個(gè)特解。從方程看設(shè)xn為常數(shù)（記為x），代入得xn (0) =a/r, 于是得方程通解：xn =C (1+r)n +a/r。 代入初始條件得方程組,解之得,大約是5731元.,3 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,差分方程雖可用迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，但計(jì)算總歸只能進(jìn)行有限步，其深層次的性質(zhì)必須用其它工具進(jìn)行分析，平衡點(diǎn)就是其中一個(gè)。 平衡點(diǎn)相當(dāng)于穩(wěn)定點(diǎn)或不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)方程xn=f(n, xn-1, xn-k) 來(lái)說(shuō)就是若xn-1, xn-k都取某一常數(shù)，比如a，那么xn也一定是a，從而xn

10、+1, xn+2, xn+3, 也都將取a 。 平衡點(diǎn)就是所有xn都取相同的值，且能使方程成立的點(diǎn)，于是將xn=f(n, xn-1, xn-k) 中所有xn都換成x，得方程x=f(n, x, x) ，將其求解，每一個(gè)解就是一個(gè)平衡點(diǎn)。,設(shè)a是方程的一個(gè)平衡點(diǎn)， xn是方程的任一解，若總有 則稱(chēng)a是差分方程的一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)（為什么？）。 穩(wěn)定的平衡點(diǎn)在實(shí)際問(wèn)題中有重要的價(jià)值。,現(xiàn)考慮差分方程 xn+a1xn-1+akxn-k=0 ，并且其解是如下形式 xn=C1 1n +C2 2n+Ck kn 。 顯然0是方程的一個(gè)平衡點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)任意s若有|s|1，則必有 這說(shuō)明0是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，這也是一

11、般差分方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的判別方法：若齊次方程的特征方程的根的絕對(duì)值都小于1，平衡點(diǎn)穩(wěn)定。而若某個(gè)的絕對(duì)值大于1，平衡點(diǎn)不穩(wěn)。當(dāng)?shù)扔?時(shí)，有多種情況且實(shí)際意義不大，不做討論。若特征根是復(fù)根，就用其模來(lái)判斷。,例2 考慮數(shù)學(xué)模型書(shū)中供需關(guān)系的蛛網(wǎng)模型： xk：第k時(shí)段商品數(shù)量；yk：第k時(shí)段商品價(jià)格，需求函數(shù) yk=f(xk)，供需平衡點(diǎn)為P0(x0,y0)。當(dāng)商品生產(chǎn)者的生產(chǎn)只盯著前一期價(jià)格（供應(yīng)函數(shù)為xk+1=g(yk)）時(shí)，在平衡點(diǎn)附近各時(shí)段商品數(shù)量的差分方程模型為xK+1+xk=(1+)x0. 其齊次方程的特征方程的特征根為- 。所以| - |=1就穩(wěn)定，否則就不穩(wěn)。 而當(dāng)商品生產(chǎn)者的生產(chǎn)

12、同時(shí)盯著前面兩期的價(jià)格（供應(yīng)函數(shù)為xk+1=g(yk+yk-1)/2）時(shí)，在平衡點(diǎn)附近各時(shí)段商品數(shù)量的差分方程模型為2xK+2+xk+1+xk=2(1+)x0. 其齊次方程的特征方程為22+ +=0。特征根為,當(dāng)8時(shí)，根為實(shí)根，必有一根絕對(duì)值大于1.當(dāng)08時(shí)根為復(fù)根。用復(fù)數(shù)的模來(lái)判斷，可以得到當(dāng)02時(shí)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)。,差分方程組（自變量一個(gè)，因變量多個(gè)，僅討論線(xiàn)性） 線(xiàn)性差分方程組的一般形式為 其中aij和bi (i, j=1,2,n)都是常數(shù)。,4 差分方程組,令 記x(t)=(x1(t), x2(t), , xn(t)T, b=(b1, b2, , bn)T，則上述方程可記為x (t+1)

13、=Ax(t)+b。 該式類(lèi)似于前面的一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程，可編程數(shù)值計(jì)算分析，也可利用線(xiàn)性代數(shù)理論（主要是特征值和特征向量）進(jìn)行分析討論。若x*（向量）是該方程的一個(gè)平衡點(diǎn)（ 即x*=A x* +b ），則它穩(wěn)定的條件是A的所有特征值的絕對(duì)值都小于1，若某一個(gè)的絕對(duì)值大于1,就不穩(wěn)。,5 時(shí)間序列與其中的趨勢(shì)分析,時(shí)間序列：按時(shí)間（有時(shí)是長(zhǎng)度或溫度）順序排列的隨機(jī)變量序列，但在應(yīng)用中又指將某個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在不同時(shí)間上的各個(gè)數(shù)值，按時(shí)間先后順序排列而形成的序列（一般等間隔）。 時(shí)間序列分析：根據(jù)觀測(cè)得到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)(其機(jī)理未知)，通過(guò)曲線(xiàn)擬合和參數(shù)估計(jì)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型和理論，希望從中尋找出變量的變

14、化規(guī)律，對(duì)未來(lái)的某些階段進(jìn)行預(yù)測(cè)。 時(shí)間序列有廣泛的應(yīng)用。,設(shè)yt 是時(shí)間序列，雖然它暗含了時(shí)間變量t，但它僅指采樣的時(shí)間點(diǎn)。因此，一般的不能認(rèn)為y是純t的函數(shù)，從而按回歸等其他理論去做。因?yàn)樵S多變量都隨著時(shí)間的變化而變化，所以時(shí)間序列中也常常包含因時(shí)間變量而產(chǎn)生的趨勢(shì)變化。另外，在時(shí)間序列中，相近的各項(xiàng)間往往有很強(qiáng)的依賴(lài)關(guān)系：當(dāng)前的數(shù)值對(duì)下面的數(shù)值有很強(qiáng)的影響（如股市，期貨）。此外，每個(gè)數(shù)據(jù)還受到無(wú)法刻畫(huà)捕捉的隨機(jī)因素的影響。通常yt 可表為yt =f(t) +xt，其中f(t)表示隨時(shí)間變化的確定性趨勢(shì)，xt則主要由隨機(jī)因素或其積累而形成，是一個(gè)平穩(wěn)序列。,在yt =f(t) +xt中，趨

15、勢(shì)成分f(t)起著主導(dǎo)的作用。當(dāng)它存在時(shí)， xt可以認(rèn)為是隨機(jī)誤差，并予以忽略，故可以用回歸方法確定f(t)中的參數(shù)，得到f(t) 。影響f(t)的因素 有長(zhǎng)期趨勢(shì)，季節(jié)變動(dòng)（季節(jié)性規(guī)律作用產(chǎn)生的周期變化），循環(huán)變動(dòng)（周期長(zhǎng)短不固定的一種變化）以及不規(guī)則的變動(dòng)等。通常，趨勢(shì)成分主要討論長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)變動(dòng)趨勢(shì)，這里也是。 當(dāng)f(t)是由長(zhǎng)期趨勢(shì)決定的，其表達(dá)式可能是 線(xiàn)性趨勢(shì) f(t)=a+bt,二次曲線(xiàn)趨勢(shì) f(t)=b0+b1t+b2t2 或更高階多項(xiàng)式趨勢(shì) 冪函數(shù)曲線(xiàn)趨勢(shì) f(t)=atb 對(duì)數(shù)曲線(xiàn)趨勢(shì) f(t)=a+blnt 雙曲線(xiàn)趨勢(shì) f(t)=a+b/t,或 1/f(t)=a+b/t

16、 指數(shù)曲線(xiàn)趨勢(shì) f(t)=aebt 修正指數(shù)曲線(xiàn)趨勢(shì) f(t)=L+aebt,或 f(t)=L+abt (a0,0b1) 龔泊茲曲線(xiàn)趨勢(shì) (0a0,0b1) 皮爾曲線(xiàn)趨勢(shì) f(t)=L/(1+ae-bt) 季節(jié)規(guī)律應(yīng)是f(t+s)=f(t), 其中s是季節(jié)長(zhǎng)度 還有季節(jié)規(guī)律與上述趨勢(shì)的結(jié)合模型,f(t)應(yīng)該是什么樣的結(jié)構(gòu)，可作圖，根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行選擇，也可結(jié)合事物本身的特點(diǎn)去考慮。有時(shí)，最初可選擇多個(gè)看起來(lái)合理的模型。根據(jù)模型特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性模型，利用回歸等擬合確定其中的參數(shù)。再根據(jù)得到的模型根據(jù)已有的的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，從總體誤差和未來(lái)趨勢(shì)的角度，最終確定一個(gè)最合適的模型。,例3 下表

17、是1952-1983年我國(guó)的社會(huì)商品零售總額,對(duì)表中數(shù)據(jù)，做圖如下,由圖可知，零售額有明顯的非線(xiàn)性增加趨勢(shì)，故趨勢(shì)曲線(xiàn)可用二次函數(shù)，三次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)擬合（不能用插值。因?yàn)榱闶垲~受隨機(jī)因素的影響。讓曲線(xiàn)一定過(guò)給定點(diǎn)不適合。）,例4 下表是1961-1981年我國(guó)搪瓷臉盆銷(xiāo)售數(shù)據(jù),對(duì)表中數(shù)據(jù)，做圖如下,由圖和實(shí)際問(wèn)題可知，銷(xiāo)量在中間有顯著的增長(zhǎng)，之后增長(zhǎng)變的緩慢并停頓下來(lái)，故趨勢(shì)曲線(xiàn)可用龔伯茲曲線(xiàn)或皮爾曲線(xiàn)函數(shù)（有上限，S型曲線(xiàn)）。,確定模型中參數(shù) 對(duì)例3，要確定模型中的參數(shù)，若用多項(xiàng)式函數(shù)，可直接回歸擬合（時(shí)間變量應(yīng)從1開(kāi)始，以免時(shí)間值過(guò)大，對(duì)模型產(chǎn)生不利影響），用指數(shù)函數(shù)時(shí)先取對(duì)數(shù)將其轉(zhuǎn)化為

18、線(xiàn)性函數(shù)再擬合。對(duì)搪瓷盆問(wèn)題，若用皮爾曲線(xiàn)，可先估計(jì)出L,再轉(zhuǎn)化為一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)去估計(jì)參數(shù)。若L 不易估計(jì)，可用三和值法（查找文獻(xiàn)）去估計(jì)參數(shù)。,當(dāng)選擇了多個(gè)模型，如何確定誰(shuí)最適合? 一看各個(gè)模型的擬合情況（即相關(guān)指標(biāo)），如參數(shù)的顯著性，擬合優(yōu)度等。二是將擬合曲線(xiàn)與數(shù)據(jù)相比較，看它們的吻合程度?？勺鲌D直觀觀察，也可用平均相對(duì)誤差，即式 （要小于10才可接受）。因?yàn)榻５哪康闹饕穷A(yù)測(cè)，近期數(shù)據(jù)的吻合情況更要關(guān)注。此外，也可預(yù)留部分?jǐn)?shù)據(jù)擬合時(shí)不用，再用擬合所得模型比較這些數(shù)據(jù)與模型的預(yù)測(cè)值。此外，還要考慮序列的發(fā)展趨勢(shì)以及模型的未來(lái)趨勢(shì)，吻合者為好。有時(shí)，前期數(shù)據(jù)太多太久反而對(duì)擬合參數(shù)產(chǎn)生不利影響

19、，也可考慮舍棄早期一些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。綜合這些去選擇模型。,對(duì)例3，利用回歸得到模型中的參數(shù)，從而將實(shí)際數(shù)據(jù)（曲折的線(xiàn)）與三個(gè)模型曲線(xiàn)畫(huà)在同一個(gè)圖中（上圖）。 由圖可以看出，三次曲線(xiàn)（虛線(xiàn)）與實(shí)際數(shù)據(jù)最接近。因而它最好。若計(jì)算MAPE(平均相對(duì)誤差)，比較后會(huì)得同一結(jié)論。但是，如果用極限等分析未來(lái)函數(shù)變化趨勢(shì)，則三次曲線(xiàn)未必最佳。,例5 下表是我國(guó)1995-2000年各季度的商品零售總額 （季節(jié)模型,Q:季度）,對(duì)表中數(shù)據(jù)，做圖如下,由圖可知，銷(xiāo)量既有線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì)，又有明顯的季節(jié)特征。 故可以用模型yt=a+bt+di(i=1,2,3,4)。其中di是季節(jié)增量，可由式di=(Di+Di+T+Di

20、+(m-1)T)/m得到，其中T是周期， m是年份數(shù)，Dt=yt-a-bt。,利用回歸方法可得a+bt=4901.46+164.88t 。此時(shí)Dt=yt-（a+bt）的圖像如下。由圖知，Dt中已基本沒(méi)有了增長(zhǎng)趨勢(shì)。再計(jì)算Dt的對(duì)應(yīng)各季度的平均值，得(d1,d2,d3,d4)=(-11.67, -421.40, -379.73, 818.30) .從而得趨勢(shì)部分模型f(t)=a+bt+di.,對(duì)時(shí)間序列yt，當(dāng)把趨勢(shì)部分提煉出來(lái)，則其余下部分是yt -f(t) =xt，若它僅僅是由獨(dú)立的隨機(jī)干擾引起的誤差，即xtN(o,2)（稱(chēng)為白噪聲），則yt =f(t) 就是我們要尋找的模型，可以用它進(jìn)行預(yù)

21、測(cè)。若xt ，即模型誤差不是白噪聲（通常前后項(xiàng)間相關(guān)）。則表明在其中仍有聯(lián)系可循，需要把它們提煉出來(lái)，以便得到更好的模型，這就是下面的自回歸模型。,自回歸（AR(p)）模型: 時(shí)刻t的數(shù)值xt可表為前p個(gè)時(shí)刻的數(shù)值xt-1, xt-2, , xt-p的線(xiàn)性組合，再加上t時(shí)刻的白噪聲t，即 xt=a+1 xt-1+2xt-2+pxt-p+t （9） 其中a (通過(guò)序列減去其均值可化為0，因此可以沒(méi)有),1，2，p是常數(shù)。模型說(shuō)明xt的值與前面p期歷史數(shù)據(jù)有關(guān)（注意與線(xiàn)性回歸的差別。線(xiàn)性回歸是不同變量間的關(guān)系，自回歸是同一變量不同時(shí)期間的關(guān)系）。另外，它還受隨機(jī)擾動(dòng)t N(0,2) （白噪聲，各t

22、相互獨(dú)立，并與前面的xt不相關(guān)）的影響。 移動(dòng)平均（MA(q)）模型：形式為 xt=t-1t-1-2t-2-qt-q （10）,6自回歸模型,其中1，2，q 是常數(shù)，t，t-1，t-2，t-q是本期和前面若干期的隨機(jī)擾動(dòng)。 模型含義： 用一些時(shí)期的干擾的線(xiàn)性組合來(lái)表達(dá)當(dāng)前值。 自回歸移動(dòng)平均（ARMA(p,q)）模型： xt=1 xt-1+2xt-2+pxt-p+t -1t-1-2t-2-qt-q （11） 其中 p和q分別是自回歸和移動(dòng)平均的階數(shù)。 模型含義：用前一些時(shí)期的數(shù)值及其干擾的線(xiàn)性組合來(lái)表達(dá)當(dāng)前值(AR(p) 和MA(q)是其特殊情形）。,7 自回歸模型識(shí)別及參數(shù)確定,用自回歸建模

23、要求序列Xt是（寬）平穩(wěn)時(shí)間序列，即需滿(mǎn)足： 1）E(Xt)=，與t無(wú)關(guān)。 2）Var(Xt)=2。 3）Cov(Xt, Xt+k)=rk，與k有關(guān)，與t無(wú)關(guān)。 由1），2）知，一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列，在圖形上應(yīng)表現(xiàn)出圍繞均值的不斷波動(dòng)過(guò)程（因?yàn)殡S機(jī)）。而非平穩(wěn)時(shí)間序列則不然，往往表現(xiàn)出在不同時(shí)段有不同的均值（如持續(xù)上升或下降或有周期性，即有趨勢(shì)或周期波動(dòng)）。,7.1 自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù),自協(xié)方差函數(shù) rk=E(xt-)(xt+k-)， 其中是xt的均值。 自相關(guān)函數(shù)k=rk/r0。它反映的是xt與xt+k的相關(guān)性。由概率知識(shí)知，|k|1。該值的絕對(duì)值越大，說(shuō)明兩者的相關(guān)性越強(qiáng)。等于或接近于0說(shuō)明沒(méi)

24、有相關(guān)性。 實(shí)際計(jì)算中rk和k的計(jì)算采用如下的表達(dá)式（ n為樣本容量）,偏相關(guān)函數(shù)，是指在給定了Xt-1,Xt-2,Xt-k+1的情況下Xt與Xt-k的相關(guān)性。它反映的是在其他滯后期1,2,k-1的X已知的情況下Xt與Xt-k的條件相關(guān)性。一般用符號(hào)kk表示，并也有|kk|1。該值的絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)。計(jì)算公式為,該式是由右端的矩陣方程得到，其中，k,j= k-1,j- kk k-1,k-j(k-1,2,m,j=1,2,k-1) 此式是一個(gè)遞推式子。雖然復(fù)雜，但在應(yīng)用中k一般小于等于3。此外，有專(zhuān)門(mén)的命令語(yǔ)句可用，大家不必為計(jì)算而煩惱。,7.2 序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn),方法1 圖像觀察 平穩(wěn)時(shí)間

25、序列在圖形上表現(xiàn)為圍繞均值的不斷波動(dòng)過(guò)程，而非平穩(wěn)時(shí)間序列則不然。,方法2 看自相關(guān)函數(shù)k （或偏相關(guān)函數(shù)kk ）的圖像 平穩(wěn)序列的k是迅速衰減到0的（拖尾或截尾）；非平穩(wěn)序列的k則是不衰減，緩慢衰減或T(T是季節(jié)周期)非常大。,方法3 根據(jù)得到的自回歸模型中的式子xt=1 xt-1+2xt-2+pxt-p。視其為差分方程，若對(duì)應(yīng)特征方程的根的絕對(duì)值都小于1，平穩(wěn)，否則，不平穩(wěn)。 其他方法，略。,注：k或kk的拖尾和截尾。截尾：k在kq時(shí)全為0的性質(zhì)稱(chēng)為q步截尾性。若它不能在某步之后截尾，而是隨著k的增大而迅速衰減到0，受一負(fù)指數(shù)函數(shù)（如 y=e-kx ）控制，或如正弦函數(shù)似的震蕩，稱(chēng)為拖尾性

26、。此外，由于隨機(jī)性， k全為0是不可能的。因此，截尾是指k突然變的很小，并很接近于0.,注：AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p 個(gè)特征根都在單位圓內(nèi)。MA(q)模型總是平穩(wěn)的。 ARMA(p,q)的平穩(wěn)性與其AR(p)部分相同。,當(dāng)序列Xt非平穩(wěn)時(shí)，說(shuō)明趨勢(shì)f(t)存在，除了季節(jié)趨勢(shì)和明顯的指數(shù)增長(zhǎng)或阻滯增長(zhǎng)趨勢(shì)外，在短期內(nèi)一般可用多項(xiàng)式函數(shù)近似。當(dāng)為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)（如yt=a+bt+t），通過(guò)不斷的差分就可得到一個(gè)平穩(wěn)序列。因此，對(duì)序列進(jìn)行差分（季節(jié)規(guī)律用季節(jié)差分），是將非平穩(wěn)序列變?yōu)橐粋€(gè)平穩(wěn)序列的常用手段(一般不超過(guò)兩次)。,續(xù)例5，yt的圖像明顯上升，Dt具有明顯周期性，都非平穩(wěn)。它們的

27、自相關(guān)系數(shù)圖像如下。由圖像可知，非平穩(wěn),圖中有兩條對(duì)稱(chēng)的藍(lán)線(xiàn)，是隨機(jī)變量的2線(xiàn)。落在線(xiàn)內(nèi)說(shuō)明可以接受相關(guān)系數(shù)為0（95%的置信度），線(xiàn)外則不可。,7.3 白噪聲檢驗(yàn),對(duì)于時(shí)間序列yt，需要把其中的規(guī)律或項(xiàng)間關(guān)聯(lián)全部提煉出來(lái)，使得殘差t（余下的部分）僅為一個(gè)白噪聲。因此，檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲是判斷模型是否合理以及建模是否需要終止的一個(gè)條件。設(shè)模型的殘差序列為t。記,計(jì)算,其中n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，m為最大時(shí)滯（m視數(shù)據(jù)多少取n/4，n/10或n0.5）。Qm近似服從2(m) 分布。對(duì)給定顯著性水平 ，若Qm大于2（m），則拒絕假設(shè)，否則接受（認(rèn)為是白噪聲）。此外，t是否為白噪聲也可通過(guò)其相關(guān)函數(shù)來(lái)判

28、斷。若其k和kk都很小，可認(rèn)為是。否則，不是。 另：數(shù)模書(shū)中346頁(yè)的投資問(wèn)題給出了一個(gè)殘差序列自相關(guān)性診斷方法?？僧?huà)出t- t-1(r(1:n-1),r(2:n)的圖像觀察，也可用DW檢驗(yàn)：（僅檢驗(yàn)一階相關(guān)性，但一般夠了）。,續(xù)例3. f(t)用三次多項(xiàng)式擬合。 22.372 .f(t)=142.2+102.7t-7.67t2+0.22t3 。殘差序列為xt=yt-f(t)。其圖像如右上。可以看出，序列基本平穩(wěn)。但從t- t-1圖像（右下）看，殘差相鄰項(xiàng)間有很強(qiáng)的相關(guān)性。用DW檢驗(yàn)，算得的DW = 0.9757，應(yīng)通不過(guò)檢驗(yàn). 此時(shí)Q8 = 22.372，也不滿(mǎn)足白噪聲檢驗(yàn)。這說(shuō)明殘差序列間

29、尚有信息留待提取。,7.4 自回歸模型識(shí)別和參數(shù)確定,自回歸有AR，MA和ARMA三種模型，可從k 與k的特性來(lái)判別： AR(p)模型 k拖尾， kk滯后p階后截尾。 MA(q)模型 k：滯后q階后截尾， kk ：拖尾。 ARMA(p,q)模型 k ：拖尾， kk ：拖尾。,續(xù)例5，將Dt進(jìn)行季節(jié)差分（zt=Dt+4-Dt），畫(huà)圖如下,由圖像看，雖然zt沒(méi)有明顯的上升或下降趨勢(shì)，以及季節(jié)特征，但并不很好的表現(xiàn)出圍繞均值的波動(dòng)。將zt再差分，仍記為 zt，其圖像如下?？梢钥闯觯蛄衅椒€(wěn)（檢驗(yàn)自己做）了。,下圖是最后得到的zt的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖像。由圖知，自相關(guān)函數(shù)可以認(rèn)為是拖尾的，偏相關(guān)

30、函數(shù)則是截尾的（在2或4處， zt接近于白噪聲，大家去檢驗(yàn)）。故應(yīng)選AR模型。,下圖是例3的殘差xt的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖像。由圖知，自相關(guān)函數(shù)可以認(rèn)為是拖尾的，偏相關(guān)函數(shù)則是截尾的（在2處）。故應(yīng)選AR模型（顯然不能認(rèn)為是白噪聲）。,k與kk的截尾處的（嚴(yán)格）判斷。 k ：若在某個(gè)q0 （含）之前，k顯著不為0.當(dāng)q=q0， q0+1, q0+2, q0+M中滿(mǎn)足式 的個(gè)數(shù)少于M的68.3%?；蛏厦娌坏仁接叶顺?，但比例變?yōu)?5.5%,則可近似認(rèn)為k在q0處截尾，其中N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)， M同上。對(duì)kk ，判斷方法類(lèi)似，只是不等式是|kk|1/N0.5,或|kk|2/N0.5 。 截尾值q0可

31、用來(lái)判別序列自回歸或移動(dòng)的階數(shù)。,若k （要特別關(guān)注）與kk既不拖尾也不截尾，說(shuō)明序列非平穩(wěn)，或有季節(jié)特征，需進(jìn)行相關(guān)處理。 雖然ARMA(p,q)模型具有一般性，但它也最復(fù)雜。另外，用ARMA(p,q)模型時(shí)，各t-k通常是未知的（不可觀測(cè)量）。因此，當(dāng)用該模型時(shí)，必須求出前面的各t，這不容易。,對(duì)AR(p)模型，其偏相關(guān)函數(shù)截尾的值（基本）就是回歸的階數(shù)。此外，也可用不同階模式進(jìn)行回歸，殘差平方和最小的值就是回歸的階數(shù)（看后面）。對(duì)MA(q)，方法是類(lèi)似的。對(duì)ARMA (p，q)模型，不能直接從相關(guān)函數(shù)得到大致的階數(shù)。但殘差平方和規(guī)則仍適用。方法是從低階開(kāi)始，向高階擬合，在擬合的模型中選殘

32、差小者?；蛘哂龅降谝粋€(gè)殘差可認(rèn)為是白噪聲的模式即停止。 注意：當(dāng)用高階自回歸移動(dòng)平均模型去擬合序列時(shí)，擬合的效果總會(huì)提高的（不可能降低），即殘差平方和會(huì)下降。但到了一定階數(shù)后，階數(shù)的再提高產(chǎn)生的效果會(huì)是微小的，非實(shí)質(zhì)性的。這時(shí)的擬合屬于過(guò)擬合（擬合過(guò)度）。在建模中對(duì)模型還有一個(gè)“簡(jiǎn)約性”要求，即在精度相近的模型中我們要選擇簡(jiǎn)單模型。為此，又有一個(gè)一般的定階準(zhǔn)則：AIC準(zhǔn)則 。記 a2=模型的剩余平方和/(實(shí)際觀察數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)-模型中參數(shù)個(gè)數(shù)) 則 AIC(p,q)=loga2+2 (p+q) /n。p,q的確定應(yīng)使AIC(p,q)達(dá)到最小。該式子應(yīng)該也適合AR和MA模型。但這個(gè)方法必須對(duì)多種模型求

33、參數(shù)，擬合，算殘差，計(jì)算量大，故僅對(duì)ARMA用它，且盡量避免用它。,7.3 模型的定階,確定了模型的階數(shù)，就要確定其中的各個(gè)系數(shù)。一個(gè)常用的準(zhǔn)則是殘差平方最小準(zhǔn)則：模型中各個(gè)系數(shù)的確定應(yīng)使得用模型計(jì)算各個(gè)時(shí)刻的x值時(shí)，殘差（實(shí)際值與計(jì)算值的差）的平方和達(dá)到最小。對(duì)AR(p)模型，根據(jù)回歸原理，可將xt-1, xt-2, , xt-p作為自變量，xt作為函數(shù)，用命令regress去做。還可用如下式子計(jì)算回歸系數(shù)。 對(duì)MA (q)模型，一階的仍可用回歸，高階的就不行了，只好根據(jù)定義來(lái)。比如對(duì)MA (2)，有xt=t -1t-1-2t-2，即t = xt +1t-1+2t-2。設(shè)給定序列x1, x2

34、, x15，我們令 x1=1, 則2= x2 +11= x2 +1x1, 3 = x3 +12+21 = x3 +1(x2 +1x1) +2x1 ， 如此可得到各個(gè)t，1，2的確定應(yīng)使得下式最小,7.4 回歸系數(shù)的計(jì)算,此外，對(duì)MA(q)模型，高階的可用下式確定其系數(shù) 這是非線(xiàn)性方程，求解也不容易。此外，專(zhuān)門(mén)軟件如SAS中也許有命令計(jì)算，也許新版的matlab也有，大家查查看。對(duì)ARMA (p，q)模型，可用類(lèi)似于MA (q）的方法確定系數(shù)。當(dāng)然，更復(fù)雜。也可用如下近似方法，先用回歸方法求出自回歸的系數(shù)，再用xt-1 xt-1-2xt-2-pxt-p=t -1t-1-2t-2-qt-q這個(gè)移動(dòng)平均模型來(lái)做。 當(dāng) p，q很大時(shí)模型會(huì)很復(fù)雜，計(jì)算也困難。但實(shí)際中這種模型是不多的（一般小于等于3，甚或2）。除非能顯著的減少誤差，我們都盡量用簡(jiǎn)單模型來(lái)做。,8 模型預(yù)測(cè)及相關(guān)說(shuō)明,得到一個(gè)模型