1、角平分線的性質(zhì),1.4,角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線.,1.什么叫角平分線？,2.怎樣用尺規(guī)作角的平分線？,復(fù)習(xí)：,尺規(guī)作角的平分線,觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：,A,畫(huà)法：,以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于,分別以，為圓心大于 1/2 的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于,作射線,射線即為所求,畫(huà)AOB平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P向角的兩邊作垂線段PD、PE，你能得出什么結(jié)論？,思考,P,C,將AOB 沿OC 對(duì)折，我發(fā)現(xiàn)PD與PE 重合， 即PD與PE相等.,圖1-26, PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.,在PDO和PEO中，

2、 PDO =PEO， DOP =EOP， OP = OP，, PDOPEO., PD = PE.,我們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.,圖1-26,圖1-26,用符號(hào)語(yǔ)言表示為：,1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE., OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上， PD OA ，PE OB PD=PE.,C,角平分線的性質(zhì)定理： 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,角平分線的性質(zhì)定理：,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,定理應(yīng)用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等。,推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè)。,同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫(huà)法是正確的?,B,如圖所示OC是AOB 的平分線,P 是OC

3、上任意一點(diǎn),問(wèn)PE=PD?為什么?,PD,PE沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等.,1、 AD平分CAB,DCAC, DEAB _ (_),DC=DE,角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,2、判斷題（ ） 如圖，AD平分BAC（已知）, BD = DC ， ( ),角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,體驗(yàn)成功, 如圖， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。,不必再證全

4、等,例1. 如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.,證明：過(guò)點(diǎn)P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、BC、 CA，垂足為D、E、F BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上 PD=PE （在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)P到邊AB、BC、 CA的距離相等,D,E,F,例2. 已知：在等腰RtABC中，AC BC C90，AD平分 BAC，DEAB于點(diǎn)E。 求證：BDDE AC,變式 已知AB 15cm, 求DBE的周長(zhǎng),E,D,C,B,A,在RtPDO和RtPEO中， OP = OP，PD = P

5、E， RtPDORtPEO., PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.,如圖1-27，過(guò)點(diǎn)O，P作射線OC., AOC =BOC., OC是AOB的平分線，即點(diǎn)P在AOB的平分線OC上.,圖1-27,角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。,角平分線的判定定理：,P,用符號(hào)語(yǔ)言表示為：, PD OA ，PE OB且PD=PE OC平分AOB .,由此得到角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：,已知：如圖在四邊形 ABCD中， ABAD， ABBC，ADDC 求證：點(diǎn) A在DCB的平分線上,體驗(yàn)成功,又 BAAD， BCCD，, 點(diǎn)B在ADC的平分線上.,圖1-28,（1）求證：點(diǎn)B在

6、ADC的平分線上；,圖1-28,證明： 在RtBAD和RtBCD中， BA = BC， BD = BD，, RtBADRtBCD., ABD =CBD., BD是ABC的平分線.,（2）求證：BD是ABC的平分線.,證明：過(guò)點(diǎn)P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、 BC、CA，垂足分別為D、E、F,又BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上 PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊 的距離相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)P到邊AB、BC、 CA的距離相等,想一想，點(diǎn)P在A 的 平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？,練習(xí)：如圖，已知ABC的外角CBD和BCE的平分線相交

7、于點(diǎn)F， 求證：點(diǎn)F在DAE的平分線上,證明：,過(guò)點(diǎn)F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H，F(xiàn)MBC于M,G,H,M,點(diǎn)F在BCE的平分線上， FGAE， FMBC,FGFM,又點(diǎn)F在CBD的平分線上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,點(diǎn)F在DAE的平分線上,解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為m,則：,練習(xí)：要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處500米，該集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）,解得：0.025m 2.5cm,則點(diǎn)即為所求的點(diǎn),拓展思維：若把在區(qū)去掉，有幾處A點(diǎn),解 作AOB的角平分線，交MN于一點(diǎn)，則這點(diǎn)即為所 求作的點(diǎn)P.（提示：用尺規(guī)作圖）

8、,如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P ，使點(diǎn)P到AOB兩邊 的距離相等.,P,2. 如圖，在ABC 中，AD 平分BAC， DEAB 于點(diǎn)E，DFAC 于點(diǎn)F，BD=CD. 求證：AB=AC.,如圖1-29， 已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF 的中點(diǎn). 需添加一個(gè)什么條件， 就可使CM，AM 分別為ACD和CAB的平分線呢？,圖1-29,圖1-29, MECD， MNCA，,同理可得AM是CAB的平分線.,可以添加條件MN =ME （或MN =MF）., M在ACD的平分線上，即CM是ACD的平分線.,圖1-29, PE=PF.,在EBP中，BE+PEPB，, BE+PFPB.,圖1-30,舉 例,利用結(jié)論，解決問(wèn)題,練一練 1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?,想一想,在確定度假村的位置時(shí),一定要畫(huà)出三個(gè)角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?,拓展與延伸,2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處,分析:由于沒(méi)有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。,練習(xí)3 如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到AOB的兩邊的距離相等.,如