1、人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué),24.1.2 垂直于弦的直徑,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,問題:你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？,情境導(dǎo)入,本節(jié)目標(biāo),1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓是軸對(duì)稱圖形. 2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計(jì)算、證明和作圖問題.（重點(diǎn)） 3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點(diǎn)）,1如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑,O,A,B,E,解：,答：O的半徑為5cm.,在Rt AOE 中,預(yù)習(xí)反饋,2如圖，在O中，

2、AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,預(yù)習(xí)反饋,可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形.任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸,問題1 剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？,課堂探究,問題2 如圖,AB是O的一條弦, 直徑CDAB, 垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧? 為什么?,線段: AE=BE,O,A,B,D,E,C,課堂探究,垂徑定理,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,

3、 CD是直徑，CDAB，, AE=BE,推導(dǎo)格式：,溫馨提示：垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.,課堂探究,想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？,是,不是，因?yàn)闆]有垂直,是,不是，因?yàn)镃D沒有過圓心,課堂探究,垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：,課堂探究,思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,垂徑定理的推論,特別說明： 圓的兩條直徑是互相平分的.,歸納總結(jié),課堂探究,例1 如圖，OEAB于E，若O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB= cm.,解析：連接

4、OA， OEAB，, AB=2AE=16cm.,16,典例精析,例2 如圖， O的弦AB8cm ，直徑CEAB于D，DC2cm，求半徑OC的長.,解：連接OA， CEAB于D，,設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得,解得 x=5，,即半徑OC的長為5cm.,x2=42+(x-2)2，,典例精析,你能利用垂徑定理解決求趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?,典例精析,解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB 所在圓的圓心為O，半徑為R.,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m.,解得R27.3（m）.

5、,即主橋拱半徑約為27.3m.,=18.52+(R-7.23)2, AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,典例精析,練一練：如圖a、b,一弓形弦長為 cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為_.,2cm或12cm,典例精析,在圓中有關(guān)弦長a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.,涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：,弓形中重要數(shù)量關(guān)系,d+h=r,典例精析,垂徑定理,內(nèi)容,推論,輔助線,一條直線滿足:過圓心;垂直于弦; 平分弦（不是直

6、徑）; 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）,垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對(duì)的兩條弧,兩條輔助線： 連半徑，作弦心距,構(gòu)造Rt利用勾股定理計(jì)算或建立方程.,基本圖形及變式圖形,本課小結(jié),1.已知O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為 .,5cm,2.O的直徑AB=20cm, BAC=30則弦AC= _ .,3.（分類討論題）已知O的半徑為10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為 _ .,14cm或2cm,隨堂檢測,4.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OECD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.,解:連接OC.,設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90