1、2.3.1雙曲線的標準方程1了解雙曲線的定義及焦距的概念2了解雙曲線的幾何圖形、標準方程(重點)3能利用雙曲線的定義和待定系數(shù)法去求雙曲線的標準方程(重點)基礎初探教材整理1雙曲線的定義閱讀教材P49前3自然段，完成下列問題平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的_等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線這_叫做雙曲線的焦點，_叫做雙曲線的焦距【答案】差的絕對值兩個定點兩焦點的距離判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在雙曲線標準方程中，a，b，c之間的關系同橢圓中a，b，c之間的關系相同()(2)點A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，則點C的軌跡是雙曲線()(3)在

2、雙曲線標準方程1中，a0，b0，且ab.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2雙曲線的標準方程閱讀教材P49第4自然段P50“思考與討論”，完成下列問題.焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程_(a0，b0)_(a0，b0)焦點F1_，F(xiàn)2_F1_，F(xiàn)2_a，b，c的關系c2_【答案】11(c,0)(c,0)(0，c)(0，c)a2b2若方程1表示雙曲線，則實數(shù)m滿足()Am1且m3Bm1Cm或m D3m1【解析】因為方程1表示雙曲線，而m210恒成立，所以m230，解得m或m，故選C.【答案】C質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑

3、問3：_解惑：_小組合作型雙曲線定義的應用已知雙曲線的方程是1，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點F1的距離為10，點N是PF1的中點，求|ON|的大小(O為坐標原點)【精彩點撥】利用中位線定理，結(jié)合雙曲線定義解題【自主解答】因為ON是PF1F2的中位線，所以|ON|PF2|.因為|PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2或|PF2|18，故|ON|1或|ON|9.在雙曲線的定義中，注意三個關鍵點：在平面內(nèi)；差的絕對值；定值且定值小于兩定點間距在這三個條件中，缺少一個條件，其動點軌跡也不是雙曲線再練一題1已知雙曲線x2y21，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1PF

4、2，則|PF1|PF2|的值為_. 【導學號：】【解析】由雙曲線的方程可知a1，c，|PF1|PF2|2a2，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24，PF1PF2，|PF1|2|PF2|2(2c)28，2|PF1|PF2|4，(|PF1|PF2|)28412，|PF1|PF2|2.【答案】2求雙曲線的標準方程根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程(1)過點P，Q且焦點在坐標軸上；(2)c，經(jīng)過點(5,2)，焦點在x軸上【精彩點撥】(1)所求雙曲線的焦點位置不確定，怎樣求解？(2)已知半焦距時，如何設雙曲線的標準方程？【自主解答】(1)設雙曲線方程為1(mn0)P，Q兩點在雙曲線上，解得所求雙曲

5、線的方程為1.(2)焦點在x軸上，c，設所求雙曲線的方程為1(06)雙曲線過點(5,2)，1，解得5或30(舍去)，所求雙曲線的方程為y21.1求雙曲線標準方程的步驟(1)確定雙曲線的類型，并設出標準方程；(2)求出a2，b2的值2當雙曲線的焦點所在坐標軸不確定時，需分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，特別地，當已知雙曲線經(jīng)過兩個點時，可設雙曲線方程為Ax2By21(AB50，所以界線是以A，B為焦點的雙曲線的右支的一部分如圖所示，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系設所求雙曲線的標準方程為1(a0，b0)因為a25，c25，所以b2c2a23 750.故雙曲線

6、的標準方程為1.注意到點C的坐標為(25，60)，故y的最大值為60，此時x35.故界線的曲線方程為1(25x35,0y60)利用雙曲線解決實際問題的基本步驟1建立適當?shù)淖鴺讼?求出雙曲線的標準方程3根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應用問題注意：(1)解答與雙曲線有關的應用問題時，除要準確把握題意，了解一些實際問題的相關概念，同時還要注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應用(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍再練一題3.如圖232，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A地的距離比到B地的距離遠2 km.現(xiàn)要在

7、河岸PQ上選一處M建碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運貨物經(jīng)測算，修建公路的費用是a萬元/km，求修建這兩條公路的總費用最低是多少圖232【解】以AB所在的直線為x軸，AB的中點為原點建立平面直角坐標系(圖略)根據(jù)題意，得C(3，)因為|MA|MB|2|AB|，所以點M的軌跡是雙曲線x21的右支總費用為a|MB|a|MC|a(|MB|MC|)因為|MB|MC|MA|2|MC|AC|222，當M，A，C三點共線時，等號成立，所以總費用最低為(22)a萬元構(gòu)建體系1已知m，nR，則“mn0”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】方程1表示雙曲線，

8、必有mn0；當mn0時，方程1表示雙曲線所以“mn0”是“方程1表示雙曲線”的充要條件【答案】C2以橢圓1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線的方程是()A.y21 By21C.1 D1【解析】橢圓1的焦點為F1(0,1)，F(xiàn)2(0，1)，長軸的端點A1(0,2)，A2(0，2)，所以對于所求雙曲線a1，c2，b23，焦點在y軸上，雙曲線的方程為y21.【答案】B3設m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線1的一個焦點，則m_. 【導學號：】【解析】由點F(0,5)可知該雙曲線1的焦點落在y軸上，所以m0，且m952，解得m16.【答案】164若點P到點(0，3)與到點(0,3)的距離

9、之差為2，則點P的軌跡方程為_【解析】由題意并結(jié)合雙曲線的定義，可知點P的軌跡方程為雙曲線的上支，且c3,2a2，則a1，b2918，所以點P的軌跡方程為y21(y1)【答案】y21(y1)5求滿足下列條件的雙曲線的標準方程(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線過點(3，4)和；(2)與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)【解】(1)由已知，可設所求雙曲線方程為1(a0，b0)，則解得所以雙曲線的方程為1.(2)設雙曲線方程為1(a0，b0)由題意知c2.因為雙曲線過點(3，2)，所以1.又因為a2b2(2)2，所以a212，b28.故所求雙曲線的方程為1.我還有這些不足：(1)_(2)_

10、我的課下提升方案：(1)_(2)_學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1方程1表示雙曲線，則m的取值范圍為()A2m2Bm0Cm0 D|m|2【解析】已知方程表示雙曲線，(2m)(2m)0.2m2.【答案】A2設動點P到A(5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，則P點的軌跡方程是()A.1 B1C.1(x3) D1(x3)【解析】由題意知，軌跡應為以A(5,0)，B(5,0)為焦點的雙曲線的右支由c5，a3，知b216，P點的軌跡方程為1(x3)【答案】D3已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點F1，F(xiàn)2分別為(，0)和(，0)，點P在雙曲線上，且PF1PF2，PF1F2的

11、面積為1，則雙曲線的方程為()A.1 B1C.y21 Dx21【解析】由(|PF1|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c，所以b1，故選C.【答案】C4已知橢圓方程1，雙曲線的焦點是橢圓的頂點，頂點是橢圓的焦點，則雙曲線的離心率為()A. BC2 D3【解析】橢圓的焦點為(1,0)，頂點為(2,0)，即雙曲線中a1，c2，所以雙曲線的離心率為e2.【答案】C5若k1，則關于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在y軸上的橢圓C焦點在y軸上的雙曲線D焦點在x軸上的雙曲線【解析】原方程化為標準方程為1，k1，1k0，k210，此曲線表示焦點在y軸上的雙

12、曲線【答案】C二、填空題6設點P是雙曲線1上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，若|PF1|10，則|PF2|_.【解析】由雙曲線的標準方程得a3，b4.于是c5.(1)若點P在雙曲線的左支上，則|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；(2)若點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|6，|PF2|PF1|61064.綜上，|PF2|16或4.【答案】16或47已知F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，滿足條件|PF1|PF2|2m1的動點P的軌跡是雙曲線的一支，則m可以是下列數(shù)據(jù)中的_(填序號) 【導學號：】2；1；4；3.【解析】設雙曲線的方程為1，則c3，2a2c6，|2m1

13、|6，且|2m1|0，m0，b0)又兩曲線有相同的焦點，a2b2c2426.又點P(2,1)在雙曲線1上，1.由聯(lián)立得a2b23，故所求雙曲線方程為1.10已知方程kx2y24，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型【解】(1)當k0時，y2，表示兩條與x軸平行的直線；(2)當k1時，方程為x2y24，表示圓心在原點，半徑為2的圓；(3)當k0時，方程為1，表示焦點在y軸上的雙曲線；(4)當0k1時，方程為1，表示焦點在x軸上的橢圓；(5)當k1時，方程為1，表示焦點在y軸上的橢圓能力提升1橢圓1與雙曲線1有相同的焦點，則a的值為() 【導學號：】A1BC2D3【解析】由

14、題意知橢圓、雙曲線的焦點在x軸上，且a0.4a2a2，a2a20，a1或a2(舍去)故選A.【答案】A2已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點，點P在雙曲線C上，F(xiàn)1PF260，則|PF1|PF2|等于()A2 B4 C6 D8【解析】不妨設P是雙曲線右支上一點，在雙曲線x2y21中，a1，b1，c，則|PF1|PF2|2a2，|F1F2|2，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，8|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，8(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，84|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4.故選B.【答案】B3已知雙曲線1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上的一點，且PF與圓x2y216相切于點N，M為線段PF的中點，O為坐標原點，則|MN|MO|_.【解析】設F是雙曲線的右焦點，連接PF(圖略)，因為M，O分別是FP，F(xiàn)F的中點，所以|MO|PF|，又|FN|5，由雙曲線的定義知|PF|PF|8，故|MN|MO|MF|FN|PF|(|PF|PF|)|FN|851.【答案】14已知雙曲線1的兩焦點