1、第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值 問(wèn)題,高考定位常以指數(shù)、對(duì)數(shù)式為載體，考查函數(shù)單調(diào)性的求法或討論，以及考查函數(shù)極值、最值的求法，綜合考查與范圍有關(guān)的問(wèn)題.,真 題 感 悟,考 點(diǎn) 整 合,1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則yf(x)在該區(qū)間為增函數(shù)；如果f(x)0，則yf(x)在該區(qū)間為減函數(shù). (2)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題包括：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過(guò)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構(gòu)造函數(shù)法.,2.極值的判別方法,當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，如果在x0附近的左側(cè)f(

2、x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值.也就是說(shuō)x0是極值點(diǎn)的充分條件是點(diǎn)x0兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是f(x)0.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，而且極值是一個(gè)局部概念，極值的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小.,3.閉區(qū)間上函數(shù)的最值,在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小者.,熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 微題型1求解含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,(1)若a0，求

3、曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.,探究提高討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)質(zhì)就是討論不等式的解集的情況.大多數(shù)情況下，這類問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，常需依據(jù)以下標(biāo)準(zhǔn)分類討論：(1)二次項(xiàng)系數(shù)為0、為正、為負(fù)，目的是討論開(kāi)口方向； (2)判別式的正負(fù)，目的是討論對(duì)應(yīng)二次方程是否有解；(3)討論兩根差的正負(fù)，目的是比較根的大?。?4)討論兩根與定義域的關(guān)系，目的是根是否在定義域內(nèi).另外，需優(yōu)先判斷能否利用因式分解法求出根.,微題型2已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍,【例12】 已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR，e為自然 對(duì)數(shù)

4、的底數(shù)). (1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； (3)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.,探究提高(1)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍. (2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題時(shí)，常忽視等號(hào)這一條件，導(dǎo)致與正確的解法擦肩而過(guò)，注意，這里“”一定不能省略.,(1)當(dāng)a0時(shí),求曲線yf(

5、x)在點(diǎn)(e,f(e)處的切線方程(e2.718)； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.,熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,【例2】 (2015山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.,(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由； (2)若x0，f(x)0成立，求a的取值范圍.,所以當(dāng)x(1，x1)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x(x1，x2)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x(x2，)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn). ()當(dāng)a0時(shí)，0， 由g(1)10，可得x11. 當(dāng)x(1，x2)時(shí)， g

6、(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x(x2，)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；,探究提高極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，一般是使f(x)0方程根的個(gè)數(shù)，一般情況下導(dǎo)函數(shù)若可以化成二次函數(shù)，我們可以利用判別式研究，若不是，我們可以借助導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)及圖象研究.,【訓(xùn)練2】 設(shè)函數(shù)f(x)ax32x2xc. (1)當(dāng)a1，且函數(shù)圖象過(guò) (0，1)時(shí)，求函數(shù)的極小值；,(2)若f(x)在R上無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.,熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,【例3】 (2016南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)x3kx2x(kR).,(

7、1)當(dāng)k1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)k0時(shí)，求函數(shù)f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.,解f(x)3x22kx1. (1)當(dāng)k1時(shí)，f(x)3x22x1，41280， 所以f(x)0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增. 故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，無(wú)單調(diào)減區(qū)間.,探究提高含參數(shù)的函數(shù)的極值(最值)問(wèn)題常在以下情況下需要分類討論： (1)導(dǎo)數(shù)為零時(shí)自變量的大小不確定需要討論；(2)導(dǎo)數(shù)為零的自變量是否在給定的區(qū)間內(nèi)不確定需要討論；(3)端點(diǎn)處的函數(shù)值和極值大小不確定需要討論；(4)參數(shù)的取值范圍不同導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化不確定需要討論.,【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f

8、(x)xln x.,1.如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個(gè)，這些單調(diào)區(qū)間不能用“”連接，而只能用逗號(hào)或“和”字隔開(kāi).,2.可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間a，b上的最值，就是函數(shù)在該區(qū)間上的極值及端點(diǎn)值中的最大值與最小值.,3.可導(dǎo)函數(shù)極值的理解,(1)函數(shù)在定義域上的極大值與極小值的大小關(guān)系不確定，也有可能極小值大于極大值； (2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)0”是“f(x)在xx0處取得極值”的必要不充分條件；,(3)注意導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)函數(shù)由正變負(fù)的零點(diǎn)是原函數(shù)的極大值點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)由負(fù)變正的零點(diǎn)是原函數(shù)的極小值點(diǎn).,4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)中含有帶參數(shù)的有理因式，因式根的個(gè)數(shù)、大小、根是否在定義域內(nèi)可