1、4.2 常系數(shù)線性方程的解法,一、復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解,1 復(fù)值函數(shù),復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)法則與實(shí)函數(shù)求導(dǎo)法則相同,2 復(fù)指數(shù)函數(shù),歐拉公式:,性質(zhì):,定義,3 復(fù)值解,(1)定義,(2)定理8,(3)定理9,若方程,和,的解.,二、常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程,1 常系數(shù)齊線性方程的求解方法(Euler待定系數(shù)法),考慮方程,稱(4.19)為n階常系數(shù)齊線性方程.,顯然,一階常系數(shù)齊線性方程,有解,對(duì)(4.19)嘗試求指數(shù)函數(shù)形式的解,把它代入方程(4.19)得,的根,方程(4.21)稱為方程(4.19)的特征方程,它的根為方程(4.19)的特征根.,(1) 特征根是單根的情形,由于,故解組(4.22)線

2、性無關(guān).,因方程的系數(shù)為實(shí)常數(shù),復(fù)根將成對(duì)共軛出現(xiàn),相應(yīng)方程(4.19)有兩個(gè)復(fù)值解,(2) 特征根是重根的情形,而對(duì)應(yīng)方程(4.19)變?yōu)?于是方程(4.19)化為,方程(4.23)相應(yīng)特征方程為,直接計(jì)算易得,因此,這樣就把問題轉(zhuǎn)化為前面討論過的情形(a).,下面我們證明(4.25)和(4.26)構(gòu)成方程(4.19)的基本解組,為此只須證明這些函數(shù)線性無關(guān)即可,對(duì)特征方程有復(fù)根的情況:,如同單根時(shí)那樣,也可以,(3) 求方程(4.19)通解的步驟,第一步:,第二步:,計(jì)算方程(4.19)相應(yīng)的解,第三步:,例1,例2,例3,例4,2 歐拉(Euler)方程,形如,的方程,稱為歐拉方程.,(

3、1) 引進(jìn)變換,由歸納法原理可知,將上述關(guān)系式代入(4.29),得常系數(shù)齊線性方程.,因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原來的變量就可得到方程(4.29)的通解.,例5,解,作變換,把上式代入原方程得,故原方程的通解為:,則,上述方程的通解為:,注：從上述推演過程知(4.30),因此可直接求歐拉方程的,則(4.31)正好是(4.30)的特征方程,例6,解,上面代數(shù)方程的根為,故方程的通解為:,例7,解,上面代數(shù)方程的根為,故方程的通解為:,三、常系數(shù)非齊線性方程的解法,(一)比較系數(shù)法,1 類型I:,因此方程有形如(4.33)的解.,即,也即,這時(shí)相應(yīng)地方程(4.32)將為,對(duì)上

4、面方程,因而方程(4.36)有形如,特解,特解,例8,2 類型II:,例9,解,對(duì)應(yīng)齊次方程特征根為,故該方程的特解形式為,從而,于是,因此原方程的通解為,解,對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程為,故該方程有形狀為,比較系數(shù)得,因此原方程的通解為,例10,有三重特征根,3 類型III:,根據(jù)非齊次方程的疊加原理可知,方程,歐拉公式:,與,因此,直接應(yīng)用類型II的結(jié)果可知,方程有如下形式的特解,解,對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為,故該方程有形狀為,故原方程的通解為,例11,有二個(gè)根,注: 類型III的特殊情形,可用更簡(jiǎn)便的方法-,復(fù)數(shù)法求解,例12,解,對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為,特征根,為了求非齊線性方程的一個(gè)特解

5、,先求方程,的特解,屬類型II,定理9(P136),若方程,和,的解.,方程有形狀為,故原方程的通解為,從而,分出它的實(shí)部,故,代入方程得,（二） 拉普拉斯變換法 由積分,定義的復(fù)平面(Re s )上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F(s)稱 為函數(shù) f (t)的拉普拉斯變換, 其中f (t)對(duì)t 0有定義, 且滿足不等式,這里M, 為兩個(gè)正常數(shù). 我們稱 f (t)為原函數(shù), 而 F(s)稱為像函數(shù).,由像函數(shù)求原函數(shù)稱為拉普拉斯反演. 可由如下積分表示,在已知像函數(shù)的情況下, 一般采用查表的方法求 原函數(shù).,給定微分方程,及初始條件,其中a1, a2, , an是常數(shù), 而 f (t)連續(xù)且滿足原函數(shù) 的

6、條件. 由于常系數(shù)微分方程的任何解及其各階導(dǎo)數(shù) 都滿足原函數(shù)的條件, 設(shè)x(t)為(4.32)的解, 記,則由拉普拉斯變換的定義易知,對(duì)方程(4.32)兩端實(shí)施拉普拉斯變換可得,即,這就是滿足初值條件的解x(t)的像函數(shù), 然后直接 查拉普拉斯變換表或者用反變換公式計(jì)算得到,或,從而解為:,-拉普拉斯變換的反變換,例15,解,對(duì)上式兩端作拉普拉斯變換,得,因此,查拉普拉斯變換表得,從而,這就是所求的解.,例16,解,對(duì)方程兩端作拉普拉斯變換,得,因此,查拉普拉斯變換表得,這就是所求的解.,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng),設(shè)有一彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量m的,物體,當(dāng)物體處于靜態(tài)的時(shí)候，重力與彈力大小,相等,方向相反，這個(gè)位置就是平衡位置.,高階微分方程的應(yīng)用,當(dāng)物體處于平衡位置時(shí)，受到向下的重力mg,彈簧向上的彈力,，其中,是彈簧的彈性系數(shù)，,是彈簧受重力作用后向下拉伸的長(zhǎng)度，即有,m,x,mg,R=,當(dāng)物體開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到以下四個(gè)力的作用：,為研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，選取平衡位置為,（3）,1、 無阻尼自由運(yùn)動(dòng)無空氣阻力和外力作用,方程（1）變?yōu)?這里 為常數(shù)，為了使物理意義明確,令：,2、 有阻尼的自由振