1、5.3 有限字長(zhǎng)運(yùn)算對(duì)數(shù)字濾波器的影響,DF的實(shí)現(xiàn)，涉及到兩種運(yùn)算：相乘、求和。 定點(diǎn)制運(yùn)算中，每一次乘法運(yùn)算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此引入了非線性，采用統(tǒng)計(jì)分析的方法，將舍入誤差作為獨(dú)立噪聲e(n)迭加在信號(hào)上，因而仍可用線性流圖表示定點(diǎn)相乘。,定點(diǎn)相乘運(yùn)算統(tǒng)計(jì)分析的流圖表示,對(duì)舍入噪聲e(n)作如下的假設(shè)：,1.e(n) 為平穩(wěn)隨機(jī)噪聲序列； 2. e(n) 與輸入序列 x(n) 不相關(guān)，各噪聲之間也互不相關(guān)。 3. e(n) 為白色噪聲； 4.在量化間隔上均勻分布（即每個(gè)噪聲都是均勻等概率分布）。 有了這些條件，整個(gè)系統(tǒng)就可作為線性系統(tǒng)處理。每一個(gè)噪聲可用第一章所講的線性離散系

2、統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲經(jīng)線性迭加得到總的噪聲輸出。,下面分析三種情況下的有限字長(zhǎng)效應(yīng)： IIR濾波器 FIR濾波器 FFT計(jì)算 計(jì)算輸出的量化噪聲方差,5.3.1 IIR 的有限字長(zhǎng)效應(yīng) 以一階IIR濾波器為例，其輸入與輸出關(guān)系可用差分方程表示為： 乘積項(xiàng)將引入一個(gè)舍入噪聲，如圖 上述一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 系統(tǒng)函數(shù)為 由于 是迭加在輸入端的，故由 造成的輸出誤差為：,輸出噪聲方差 或 由上兩式均可求得 可見(jiàn)字長(zhǎng) 越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階DF的輸出噪聲。,例4：一個(gè)二階IIR低通數(shù)字濾波器，系統(tǒng)函數(shù)為 采用定點(diǎn)制算法，尾數(shù)作舍入處理，分別計(jì)算其直接型、級(jí)聯(lián)型

3、、并聯(lián)型三種結(jié)構(gòu)的舍入誤差。 解：直接型,直接型結(jié)構(gòu)流圖如圖,圖中 、 、 分別為系數(shù)0.04、1.7 、-0.72相乘后引入的舍入噪聲。采用線性迭加的方法，從圖上可看出輸出噪聲 這三個(gè)舍入噪聲通過(guò)網(wǎng)絡(luò) 形成的，如圖5.28b，因此 是H0(z)的單位脈沖響應(yīng),輸出噪聲的方差為：,輸出噪聲的方差為： 將 代入，利用留數(shù)定理得：,級(jí)聯(lián)型 將H(z)分解 結(jié)構(gòu)流圖為 圖5.29 IIR級(jí)聯(lián)型的舍入噪聲分析,由圖中可見(jiàn)，噪聲 、 通過(guò) 網(wǎng)絡(luò)， 噪聲 只通過(guò)網(wǎng)絡(luò) ， 即,和 分別是H1(z)和H2(z)的單位脈沖響應(yīng),因此： 將 代入，得： （思考：如果將H1(z)和H2(z)次序顛倒，結(jié)果會(huì)怎樣）,

4、因此： 將 代入，得：,并聯(lián)型 將H(z)分解為部分分式 其結(jié)構(gòu)如圖： 0.36 0.9 -0.32 0.8 圖 IIR并聯(lián)型的舍入噪聲分析,并聯(lián)型結(jié)構(gòu)有4個(gè)系數(shù)，有4個(gè)舍入噪聲，其中 只通過(guò) 網(wǎng)絡(luò)， 通過(guò) 網(wǎng)絡(luò)。 輸出噪聲方差為： 代入B1(z)和B2(z)及 的值，得：,比較三種結(jié)構(gòu)的誤差大小，可知 直接型 級(jí)聯(lián)型 并聯(lián)型 原因： l直接型結(jié)構(gòu)的所有舍入誤差都經(jīng)過(guò)全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，反饋過(guò)程中誤差積累，輸出誤差很大。 l級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)，每個(gè)舍入誤差只通過(guò)其后面的反饋環(huán)節(jié)，而不通過(guò)它前面的反饋環(huán)節(jié)，誤差小于直接型。 l并聯(lián)型 ：每個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過(guò)本身的反饋環(huán)節(jié)，與其它并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)無(wú)關(guān)，積累

5、作用最小，誤差最小。,該結(jié)論對(duì)IIR DF有普遍意義。因此，從有限字長(zhǎng)效應(yīng)看，直接型（、型）結(jié)構(gòu)最差，運(yùn)算誤差最大，高階時(shí)避免采用。級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)較好。并聯(lián)型結(jié)構(gòu)最好，運(yùn)算誤差最小。 結(jié)論：IIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)與它的結(jié)構(gòu)有關(guān)。,5.3.2 FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng) IIR的分析方法同樣適用于FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器無(wú)反饋環(huán)節(jié)（頻率采樣型結(jié)構(gòu)除外），不會(huì)造成舍入誤差的積累，舍入誤差的影響比同階IIR濾波器小，不會(huì)產(chǎn)生非線性振蕩。 以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。, 舍入噪聲 N 階FIR的系統(tǒng)函數(shù)為： 無(wú)限精度下，直接型結(jié)構(gòu)的差分方程為： 有限精度運(yùn)算時(shí)，,每一次相乘后產(chǎn)生一個(gè)舍入噪聲

6、 故 輸出噪聲為： 如圖。,圖中可見(jiàn)，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪聲的簡(jiǎn)單和。 于是， 輸出噪聲方差與字長(zhǎng)有關(guān)，與階數(shù)有關(guān)，N越高，運(yùn)算誤差越大，或者，在運(yùn)算精度相同的情況下，階數(shù)越高的濾波器需要的字長(zhǎng)越長(zhǎng)。,例：FIR濾波器，N=10，b=17時(shí) N=1024時(shí)， 因此，濾波器輸出中，小數(shù)點(diǎn)后只有4位數(shù)字是有效的。, 動(dòng)態(tài)范圍： 定點(diǎn)運(yùn)算時(shí)，動(dòng)態(tài)范圍的限制，常導(dǎo)致FIR的輸出結(jié)果發(fā)生溢出。利用比例因子，壓縮信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍，可避免溢出。 FIR輸出：,定點(diǎn)數(shù)不產(chǎn)生溢出的條件： 為使結(jié)果不溢出，對(duì) 采用標(biāo)度因子A，使 由此確定A。,對(duì)于窄帶信號(hào)略顯保守,5.3.3 FFT計(jì)

7、算中的有限字長(zhǎng)效應(yīng),按時(shí)間抽取的8點(diǎn)FFT,M級(jí)、N/2個(gè)蝶形結(jié),1、輸出噪聲的方差：,xl-1(m),e(l,n),xl(m),xl-1(n),蝶形運(yùn)算的量化誤差,-1,xl(n),相乘所引入的舍入誤差源是復(fù)數(shù)，每個(gè)復(fù)乘包括4個(gè)實(shí)乘，每個(gè)定點(diǎn)實(shí)乘產(chǎn)生一個(gè)舍入誤差源，因此產(chǎn)生四個(gè)誤差源e1，e2，e3和e4，即,當(dāng)誤差源e(l,n)通過(guò)后級(jí)蝶形結(jié)時(shí)，加、減運(yùn)算是不會(huì)影響方差的，而通過(guò)乘系數(shù) 后，對(duì)方差的影響為：,e(l,n)通過(guò)所有蝶形結(jié)時(shí)，加、減和乘的運(yùn)算對(duì)方差均無(wú)影響。這樣，計(jì)算FFT的最后輸出誤差，只需知道輸出結(jié)點(diǎn)共連接多少個(gè)蝶形結(jié)即可。,連接到X(k)末端的誤差源總數(shù)為,X(k)上疊加

8、的輸出噪聲 的均方值(即為方差，因均值為零)為:,蝶形結(jié)輸出的最大模值小于等于輸入最大模值的兩倍,因此，F(xiàn)FT最后輸出最大值有可能等于輸入值的 倍，即,因而要求,2、輸出的信噪比,這意味著為了防止溢出，可以在輸入端一次性乘上比例因子1/N。如果假設(shè)x(n)在區(qū)間內(nèi) 是均勻等概分布的，因而x(n)的方差為,而,因而,從而得到在這種防止溢出方法下輸出的信噪比。,第二種方法：引入了1/2的比例因子避免輸出信噪比過(guò)小問(wèn)題,一個(gè)蝶形結(jié)乘1/2后所形成的總的誤差方差為,但每往前一級(jí)，其引入誤差的方差要降低到1/4倍。參照?qǐng)D蝶形結(jié)的聯(lián)接，則可求出總的輸出噪聲方差為,考慮到輸出信號(hào)的方差仍為,則可得到,蝶形結(jié)個(gè)數(shù),此時(shí)信噪比值不再和N平方成反比，而是和N成反比，信噪比大大提高，這顯然比把1/N的比例因子全放在輸入端的情況要好得多。,還有一種防止溢出的方法是采用成組浮點(diǎn)運(yùn)算。 基本思想是對(duì)FFT蝶形運(yùn)算的每一級(jí)輸出的N個(gè)數(shù)共用一個(gè)階碼。計(jì)算按定點(diǎn)運(yùn)算進(jìn)行，開(kāi)始時(shí)對(duì)于所有的輸入定點(diǎn)數(shù)x(n)，n=0,1,2,N-1，共用的階碼c=0。一級(jí)級(jí)做蝶形運(yùn)算，一旦某個(gè)蝶形結(jié)計(jì)算中出現(xiàn)溢出，則將整個(gè)這一級(jí)的序列（運(yùn)算過(guò)的和未運(yùn)算過(guò)的）全部乘1/2，并在階碼c上加1，然后運(yùn)算從發(fā)生溢出的蝶形結(jié)繼續(xù)下去。當(dāng)以后某級(jí)蝶