1、1,重點(diǎn):,多元函數(shù)一般概念(定義域,極限,連續(xù)),偏導(dǎo)數(shù)及其求法(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),隱函數(shù)求導(dǎo)),全微分及其求法,多元函數(shù)極值及其求法,2,以點(diǎn) 為中心, 以 為半徑的圓內(nèi)部點(diǎn)的全體稱(chēng)為 p0 的 鄰域.,記 (p0, ) = U (p0, ) p0 , 稱(chēng)為 p0 的去心 鄰域.如圖,3,U (p0, ), (p0, ),4,2.區(qū)域,例如，,即為開(kāi)集,5,6,連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域,例如，,例如，,7,有界閉區(qū)域；,無(wú)界開(kāi)區(qū)域,例如，,8,3.聚點(diǎn),* 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；,說(shuō)明：,* 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；,例,(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn),9,* 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E,例如

2、,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合,例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合,10,4.n維空間,* n維空間的記號(hào)為,說(shuō)明：,* n維空間中兩點(diǎn)間距離公式,11,* n維空間中鄰域、區(qū)域等概念,特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離,內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義,鄰域：,設(shè)兩點(diǎn)為,12,類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù),13,14,例3 求 的定義域,解,所求定義域?yàn)?15,2.二元函數(shù) 的圖形,（如下頁(yè)圖）,16,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,17,例如,圖形如右圖.,例如,球面.,單值分支:,18,19,就是 0, 0.,當(dāng)0|x x0| 時(shí), 有|f (x) A | .,設(shè)

3、二元函數(shù) z = f (x, y). 定義域?yàn)镈. P0 (x0, y0)是 D 的一個(gè)點(diǎn). A 為常數(shù).,若 0, 0, 當(dāng),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿(mǎn)足,| f (x,y) A | ,則稱(chēng) A 為z = f (x,y), 當(dāng) P 趨近于P0時(shí)(二重)極限.,記作,或,定義1,二元函數(shù)的極限,21,說(shuō)明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似,22,例1 求證,證,當(dāng) 時(shí)，,原結(jié)論成立,23,24,例3 求極限,解,其中,25,例4 證明 不存在,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在,26,27,28,確定極限不存在的方法：

4、,29,利用點(diǎn)函數(shù)的形式有,30,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,31,定義2,32,33,34,35,36,37,38,例1,解,39,多元函數(shù)極限的概念,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（注意趨近方式的任意性）,四、小結(jié),多元函數(shù)的定義,40,41,42,43,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),如 在 處,44,把 y 看成常量,把 x 看成常量,45,把 y 看成常量,把 x 看成常量,46,47,48,偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,49,偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,？,但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).,偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).,一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，,多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,50,有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：,、,、,求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,解,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105