1、第29講概率,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一事件 1.確定性事件:在一定條件下,事先知道一定會發(fā)生的事件叫必然事件,一定不會發(fā)生的事件叫不可能事件,必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件. 2.隨機(jī)事件:在一定條件下可能發(fā)生,也可能不會發(fā)生的事件叫 隨機(jī)事件.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)二概率 1.概率的意義:一般地,在大量的重復(fù)試驗(yàn)下,事件A的發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個數(shù)字附近,就把這個數(shù)字叫做事件A的概率,記作P(A). 2.等可能情形下概率的計(jì)算. (1)“等可能”的意義包含:一次試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)有限;各種可能結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等. (2)一次性操作問題的概率的計(jì)算:問題情境是從若干個元素中抽取一個

2、元素(即一次性操作問題),求其概率時(shí),直接應(yīng)用公式P(A)= (其中m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),n表示一次操作試驗(yàn)中所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)). 根據(jù)概率的意義,必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,隨機(jī)事件A的概率P(A)在01之間,即0P(A)1.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(3)多次操作問題概率的計(jì)算:當(dāng)問題情境是從若干元素中抽取兩個元素或?qū)δ炒卧囼?yàn)進(jìn)行兩次操作(即二次性操作問題),求其概率時(shí),通過列表法或畫樹狀圖法來探索一次試驗(yàn)所包含的所有可能結(jié)果數(shù)(n)和事件A發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)(m),再利用公式 來計(jì)算.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,3.頻率估計(jì)概率:在隨機(jī)試驗(yàn)中,當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果不是

3、有限個或者各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí),常常用大量的重復(fù)試驗(yàn),根據(jù)某個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)p,來估計(jì)這個事件發(fā)生的概率,即P(A)=p. 4.幾何概率:設(shè)想一次試驗(yàn)中每個結(jié)果是一個點(diǎn),所有結(jié)果的點(diǎn)組成一個圖形區(qū)域G,而組成事件A的結(jié)果是G中的部分區(qū)域g.G,g可以是一條直線上的線段,也可以是平面圖形或立體圖形,因此這種概率可以表示為兩個線段長度之比或兩個平面圖形面積的比或兩個立體圖形的體積之比.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)三概率的應(yīng)用 概率主要用于判斷隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會的大小.常常利用概率來判斷游戲是否公平.對于游戲規(guī)則是否公平問題,需要通過計(jì)算游戲雙方獲勝的概率,通過比較雙

4、方獲勝概率的大小來進(jìn)行判斷,若概率相等,則游戲公平,若概率不相等,則游戲不公平.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,事件的判斷 常見的事件包括確定性事件(必然事件和不可能事件)及隨機(jī)事件,區(qū)分這些事件就要根據(jù)實(shí)際問題背景,結(jié)合定義來判斷.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例1袋子中裝有4個黑球和2個白球,這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同,在看不到球的條件下,隨機(jī)地從袋子中摸出3個球.下列事件是必然事件的是() A.摸出的3個球中至少有1個球是黑球 B.摸出的3個球中至少有1個球是白球 C.摸出的3個球中至少有2個球是黑球 D.摸出的3個球中至少有2個球是白球 答案:A 解析:因

5、為白球只有2個,所以,摸出的3個球中,黑球至少有1個,選A. 方法點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念,根據(jù)概念區(qū)分和判斷.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,概率的計(jì)算 對于隨機(jī)事件,雖然它的發(fā)生與否事先不確定,但它的發(fā)生的可能性(即機(jī)會)卻有一定的規(guī)律.一般地,表示一個隨機(jī)事件發(fā)生可能性(機(jī)會)大小的數(shù),叫做這個隨機(jī)事件的概率,記作P(A). 例2在一個不透明的布袋中裝有3個白球和5個紅球,它們除了顏色不同外,其余均相同.從中隨機(jī)摸出一個球,摸到紅球的概率是(),答案D 解析根據(jù)題意可得,一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的3個白球和5個紅球,共8個球,從

6、中隨機(jī)摸出一個, 則摸到紅球的概率P(紅球)= .故選D.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,方法點(diǎn)撥1.在計(jì)算概率時(shí),要正確列舉一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(m)和事件A發(fā)生的可能結(jié)果(n),才能正確計(jì)算事件A的概率. 2.概率是反映事件發(fā)生機(jī)會的大小的概念,只是表示發(fā)生的機(jī)會的大小,機(jī)會大也不一定發(fā)生,機(jī)會小也不一定不發(fā)生.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,用頻率估計(jì)概率 頻率是一個試驗(yàn)值或試驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)值,具有隨機(jī)性,可能取多個數(shù)值,因此它只能近似地反映事件發(fā)生的可能性的大小;概率是個理論值,是由事件的本質(zhì)所決定的,只能取唯一值,它能精確地反映事件發(fā)生可能性的大小.但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)充

7、分大時(shí),事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個數(shù)值(p)附近,把這個頻率的穩(wěn)定值p記作該事件發(fā)生的概率,即P(A)=p. 只有在大量的重復(fù)試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在某個數(shù)字附近,才把這個數(shù)字作為該事件的概率的近似值,而有限次的試驗(yàn)頻率與概率可能有較大的差距.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例3在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球,它們除顏色外其他完全相同.從口袋中任意摸出1個球,通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近,則口袋中白球可能有() A.16個B.15個C.13個D.12個 答案D 解析設(shè)白球有x個, 摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%左右,方法點(diǎn)撥由摸到紅球的頻

8、率穩(wěn)定在25%附近可知從口袋中任意摸出1個球,得到紅球的概率為 進(jìn)而利用概率的意義求出白球個數(shù)即可.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,幾何概率 問題背景或設(shè)計(jì)方案時(shí),要注意圖形或材質(zhì)的均勻性,試驗(yàn)次數(shù)要大,以保證試驗(yàn)的“等可能性”和“真實(shí)性”.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例4(2018湖北隨州)正方形ABCD的邊長為2,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓,得到如圖所示陰影部分,若隨機(jī)向正方形ABCD內(nèi)投一粒米,則米粒落在陰影部分的概率為(),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,答案:A 解析:如圖,連接PA,PB,作OPAB;,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,概率的

9、應(yīng)用 通過計(jì)算隨機(jī)事件的概率,來解決比如游戲公平性、幾何圖形面積的估算、種子的發(fā)芽率等實(shí)際問題. 例5小明和小剛做紙牌游戲,如圖,兩組相同的紙牌,每組兩張,牌面數(shù)字分別是2和3,將兩組牌背面朝上,洗勻后從每組牌中各抽取一張,稱為一次游戲.當(dāng)兩張牌的牌面數(shù)字之積為奇數(shù)時(shí),小明得2分,否則小剛得1分,這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?請說明理由.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,解:不公平.理由如下,根據(jù)題意,畫出樹狀圖如圖: 一共有4種等可能情況,積是偶數(shù)的有3種情況,積是奇數(shù)的有1種情況,這個游戲?qū)﹄p方不公平. 方法點(diǎn)撥判斷游戲公平性就要計(jì)算每個人的概率,概率相等就公平,否則就不公平.,1.(20

10、17甘肅天水)下列說法正確的是() A.不可能事件發(fā)生的概率為0 B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率為 C.概率很小的事件不可能發(fā)生 D.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1 000次,正面朝上的次數(shù)一定是500次 2.(2017甘肅蘭州)一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球,其中有9個黃球,每次摸球前先將盒子里的球搖勻,任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子,通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%,則估計(jì)盒子中小球的個數(shù)n為() A.20B.24 C.28D.30,A,D,解析 根據(jù)題意,得 =30%,解得n=30, 所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全相同的小球.故選D.,

11、3.(2017甘肅白銀)在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中,李燕和劉凱兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲(每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形,并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字).游戲規(guī)則如下:兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動甲、乙轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)之和小于12,則李燕獲勝;若指針?biāo)竻^(qū)域兩數(shù)之和等于12,則為平局;若指針?biāo)竻^(qū)域兩數(shù)之和大于12,則劉凱獲勝(若指針停在等分線上,重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹?.,(1)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)之和的所有可能的結(jié)果; (2)分別求出李燕和劉凱獲勝的概率.,解:(1)畫樹狀圖如下:,或列表如下: 可見,兩數(shù)之和共有12種等可能的情況.

12、,(2)由(1)可知,兩數(shù)之和共有12種等可能的情況,其中和小于12的,4.(2018甘肅)如圖,在正方形方格中,陰影部分是涂黑3個小正方形所形成的圖案. (1)如果將一粒米隨機(jī)地拋在這個正方形方格上,那么米粒落在陰影部分的概率是多少? (2)現(xiàn)將方格內(nèi)空白的小正方形(A,B,C,D,E,F)中任取2個涂黑,得到新圖案,請用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對稱圖形的概率.,解:(1)正方形網(wǎng)格被等分成9等份,其中陰影部分占其中的3份,(2)列表如下:,由表可知,共有30種等可能結(jié)果,其中是軸對稱圖形的有10種,5.(2018甘肅蘭州)在一個不透明的布袋里裝有4個標(biāo)有1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小完全相同,李強(qiáng)從布袋中隨機(jī)取出一個小球,記下數(shù)字為x,王芳在剩下的3個小球中隨機(jī)取出一個小球,記下數(shù)字為y,這樣確定了點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y). (1)畫樹狀圖