1、4反證法,第三章推理與證明,1.了解反證法是間接證明的一種基本方法. 2.理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題.,學(xué)習(xí)目標(biāo),問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),(1)定義：我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立.這種證明方法叫作反證法. (2)反證法常見的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個(gè)矛盾可以是與 矛盾，或與 矛盾，或與 矛盾等.,已知條件,知識(shí)點(diǎn)反證法,假設(shè),定義、公理、定理,思考辨析 判斷正誤,1.反

2、證法屬于間接證明問題的方法.() 2.反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理.() 3.反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾.(),題型探究,類型一用反證法證明否定性命題,例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1.,證明假設(shè)a2b2c2d2abcd1. 因?yàn)閍dbc1， 所以a2b2c2d2abcdbcad0， 即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20. 所以ab0，cd0，ad0，bc0， 則abcd0， 這與已知條件adbc1矛盾，故假設(shè)不成立. 所以a2b2c2d2abcd1.,證明,反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類型： 結(jié)論中含

3、有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法. (2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,證明,a，b，c成等比數(shù)列，b2ac， ,ac，從而abc. 這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，,類型二用反證法證明“至多、至少”類問題,證明,證明假設(shè)(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1. 因?yàn)閍，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.,即33，矛盾. 所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,例2a，b，c(0,2)，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,證明,a，b，c都是小于1的正數(shù)，

4、 1a,1b,1c都是正數(shù).,反思與感悟應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞” 當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜.這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：,證明,跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).,證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb， 得其對(duì)應(yīng)方程的14b24ac0，24c24ab0， 且34a24bc0. 同向不等式求和，得

5、 4b24c24a24ac4ab4bc0， 所以2a22b22c22ab2bc2ac0， 所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc. 這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾， 因此假設(shè)不成立，從而命題得證.,例3求證：方程2x3有且只有一個(gè)根.,類型三用反證法證明唯一性命題,證明,證明2x3，xlog23.這說明方程2x3有根. 下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的. 假設(shè)方程2x3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1b2)， 則 3, 3，兩式相除得 1， b1b20，則b1b2，這與b1b2矛盾. 假設(shè)不成立，從而原命題得證.,反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個(gè)”的問

6、題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性.當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性.,跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增加的，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根.,證明,證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)實(shí)根， 設(shè)，為其中的兩個(gè)實(shí)根. 因?yàn)椋环猎O(shè)， 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a，b上是增加的， 所以f()f().這與假設(shè)f()0f()矛盾， 所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根.,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1.證明“在ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)

7、 A.三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角 B.三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角 C.三角形中沒有直角或鈍角 D.三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,2.用反證法證明“在三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中 A.有一個(gè)內(nèi)角小于60 B.每一個(gè)內(nèi)角都小于60 C.有一個(gè)內(nèi)角大于60 D.每一個(gè)內(nèi)角都大于60,1,2,3,4,5,答案,3.用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè) A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.ab D.a與b相交,1,2,3,4,5,答案,4.下面關(guān)于反證法的說法正確的有_.(填序號(hào)) 反證

8、法的應(yīng)用需要逆向思維； 反證法是一種間接證明方法，否定結(jié)論時(shí)，一定要全面否定； 反證法推出的矛盾不能與已知相矛盾； 使用反證法必須先否定結(jié)論，當(dāng)結(jié)論的反面出現(xiàn)多種可能時(shí)，論證一種即可.,解析,解析反證法是一種間接證明方法，利用逆向思維且否定結(jié)論時(shí)，一定要全面否定，不能只否定一點(diǎn)，故正確； 使用反證法必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能要逐一論證，否則證明是不完全的，故錯(cuò)誤； 反證法推出的矛盾可以與已知條件相矛盾，故錯(cuò)誤.,1,2,3,4,5,證明,故原命題成立.,規(guī)律與方法,用反證法證題要把握三點(diǎn)： (1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的. (2)反證法必須從否定結(jié)論