1、第二章 隨機信號分析,2.2 隨機信號 2.2.1 隨機過程的基本概念 2.2.2 隨機過程的統(tǒng)計特性 2.2.3 平穩(wěn)隨機過程 2.2.4 兩個信號的聯(lián)合特性 2.2.6 功率譜密度 2.3 高斯隨機過程 2.4 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 2.5 高斯白噪聲 2.6 噪聲中的信號處理 2.8 窄帶平穩(wěn)隨機過程,通信系統(tǒng)中的隨機性問題 通信的目的是傳遞消息中所包含的信息。 信息是消息的內(nèi)涵。 信號是攜帶消息的物理過程，是傳遞信息的函數(shù)。 信號通過一個或多個參量(幅度、相位和頻率等)加載消息(狀態(tài))；對應消息的不同狀態(tài)和取值概率，加載消息的信號參量也將以對應的概率取不同值。如果信號的某個或某幾個

2、參數(shù)不能預知或不能完全預知，這種就稱為隨機信號。隨機信號可以承載信息(Shannon信息) 。 確知信號中，信號參量的取值完全可以確定或預知，即信號參量取值唯一，且出現(xiàn)概率為100%，所以確知信號是不能攜帶任何信息的(Shannon信息)。 通信系統(tǒng)中，攜帶了有用信息的信號，以及信道上疊加的噪聲信號都是不能預知或不能完全預知的隨機信號。因此，隨機信號的分析和檢測問題是通信系統(tǒng)面臨的一個基本問題。,2.2 隨機信號,2.2.1 隨機過程的基本概念,隨機信號 具有隨機性的信號稱為隨機信號。 隨機信號的一個或多個參量取值隨機，這些參量可以用隨機變量描述。 隨機噪聲 通信系統(tǒng)中不能預測的噪聲稱為隨機噪

3、聲，簡稱噪聲。 隨機過程 隨機過程是隨機信號和隨機噪聲的統(tǒng)稱。 隨機信號的隨機性反映了隨機信號攜帶信息的能力。 隨機噪聲的不可預測性對有用信號的可靠傳輸是有害的。,例： 設有n臺性能完全相同的通信機，它們的工作條件也完全相同?，F(xiàn)在用n臺儀器同時記錄各臺接收機的輸出波形。 結果表明 n個記錄波形并不相同。即使n足夠大，也找不到兩個完全相同的波形 通信機輸出電壓隨時間的變化是不可預知的隨機過程 每個接收機的輸出波形（一次記錄），就是一個實現(xiàn)(樣本函數(shù)) 無數(shù)個記錄構成的總體就是一個樣本空間 把對通信機輸出噪聲的觀測看作是進行一次隨機試驗，每次試驗的結果是得到一個時間波形Vi(t) ，由此得到的時間

4、波形的全體V1(t) ，V2(t) Vn(t)就構成隨機過程,記做V(t) 某次試驗的結果Vi(t)稱作隨機過程V(t)的一個樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn),(si,t)=si(t)為樣本函數(shù); (s,tk)= (tk)為隨機變量: (si,tk)為確定的樣本值。,s1(t),s2(t),si(t),隨機試驗結果,N個樣本函數(shù),tk,t,(si,tk),sN(t),t,t,t,#1,#2,#i,#N,隨機過程的兩種基本表述方法 樣本函數(shù)集合 隨機變量集合,隨機過程X(t)的概率分布與概率密度函數(shù) 一維概率分布與密度函數(shù) n維概率分布與密度函數(shù) 隨機過程X(t)的數(shù)字特征 數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值） 方差,2.2.

5、2 隨機過程的統(tǒng)計(概率)特性,隨機過程X(t)的數(shù)字特征(續(xù)) 自相關函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù) 歸一化協(xié)方差函數(shù)(相關系數(shù)),X(t1)和X(t2)不相關,2.2.3 平穩(wěn)隨機過程,平穩(wěn)隨機過程：統(tǒng)計特性(概率密度函數(shù)，相關函數(shù)等)具有不隨時間的推移而改變(即與時間的起點無關)的平穩(wěn)性的隨機過程 嚴平穩(wěn)(狹義平穩(wěn))隨機過程：全部統(tǒng)計特性平穩(wěn) 特點 平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學期望和方差與時間t無關，為常數(shù) 自相關函數(shù)只與時間間隔有關 若一個隨機過程的數(shù)學期望與時間t無關，而自相關函數(shù)只與時間間隔有關，則稱寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程； 通信系統(tǒng)中所遇到的信號和噪聲，大多數(shù)均可以視為平穩(wěn)的隨機過程。,2.2.3

6、平穩(wěn)隨機過程,寬平穩(wěn)(廣義平穩(wěn))隨機過程：均值平穩(wěn)和自相關平穩(wěn) 平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)的性質(zhì) 統(tǒng)計平均功率 若X(t)=X(t+T),則RX()=RX(+T), 當 相互獨立,所以,若 ,則,各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性, ergodicity) 統(tǒng)計平均(集平均,ensemble average)等于任一樣本函數(shù)的時間平均(time averaging)。設x(t)為隨機過程X的一個樣本函數(shù)。分為兩種： 均值各態(tài)歷經(jīng)性： 相關函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性: 各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程是平穩(wěn)的，但平穩(wěn)的隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。 如果同時具有均值和自相關函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性，則稱廣義各態(tài)歷經(jīng)性。,2.2.4 兩隨機過程X(t)和Y

7、(t)的聯(lián)合分布函數(shù)和數(shù)字特征 聯(lián)合分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 數(shù)字特征：互相關函數(shù)Rxy和互協(xié)方差函數(shù)Cxy,隨機過程 X(t)和Y(t) 相互獨立,X(t)和Y(t)互不相關,X(t)和Y(t)正交,2.2.6 平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度 隨機信號的頻譜特性常用功率譜密度PX()來表示 廣義平穩(wěn)隨機信號功率譜密度和平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)間的關系,維納-辛欽定理：,平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度性質(zhì),單邊功率譜 若雙邊譜為 則對應單邊譜為,2.3 高斯隨機過程,如果對任意的正整數(shù)n及任意的tk(k=1, n), X(t1), X(tn)的聯(lián)合概率分布為n維正態(tài)分布 兩個重要性質(zhì)： 如果高斯隨機過程是寬平

8、穩(wěn)的，則也是嚴平穩(wěn)的。 如果高斯隨機過程中的隨機變量之間互不相關，則它們也是統(tǒng)計獨立的。,Q函數(shù) 正態(tài)分布函數(shù)、概率積分函數(shù)和誤差函數(shù)、補誤差函數(shù)、Q函數(shù)的關系,平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)輸出信號及其均值 線性系統(tǒng)輸出信號的自相關函數(shù) 輸入輸出信號的互相關函數(shù),2.4.3 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng),線性系統(tǒng),輸入X(t),輸出Y(t),線性系統(tǒng)輸出信號的功率譜密度 線性系統(tǒng)的功率傳遞函數(shù)為 兩個重要結論： 如果線性系統(tǒng)輸入過程是平穩(wěn)的，則輸出過程也是平穩(wěn)的。 如果線性系統(tǒng)輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。,線性系統(tǒng),輸入X(t),輸出Y(t),希爾伯特變換:,信號X(t

9、)的希爾伯特變換是其通過h(t)的輸出：,若h(t)為希爾伯特變換,希爾伯特變換是正交變換。當輸入是平穩(wěn)信號時，,功率相等且在同一時刻彼此正交 如是高斯過程則兩者獨立,2.5 白噪聲和帶限白噪聲,白噪聲：n(t)為平穩(wěn)隨機過程，且其功率譜密度Pn()在所有頻率上為一常數(shù) 高斯白噪聲只有在0點是相關的，而在任何兩個時刻上的隨機變量都是不相關的。,如果白噪聲服從高斯分布，則稱為高斯白噪聲。在不同時刻上彼此獨立。,低通白噪聲,若白噪聲的被限制在(-f0, f0)之內(nèi)，即 則這樣的噪聲被稱為低通白噪聲 低通白噪聲的重要性質(zhì)： 帶限白噪聲只有在 上取得的隨機變量才不相關! 如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣

10、的話，則各個抽樣值是互不相關的隨機變量。,Pn(),-0,0,0,白噪聲通過低通濾波器,傳遞函數(shù) 功率傳遞函數(shù) 白噪聲雙邊帶功率譜密度為 輸出功率譜密度,輸出噪聲功率,如果線性系統(tǒng)輸入過程是平穩(wěn)的，則輸出過程也是平穩(wěn)的。 如果線性系統(tǒng)輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。,白噪聲通過理想帶通濾波器,傳遞函數(shù) 功率傳遞函數(shù) 白噪聲雙邊帶功率譜密度為,輸出功率譜密度 輸出噪聲功率,SNo (),l,0,h,-h,-l,2.6.2 匹配濾波器,匹配濾波器：保證在某一特定時刻的輸出信噪比最大的線性濾波器。 問題：在相同的條件下(輸入一樣)，如何設計濾波器，使得在t=t0最佳采樣時刻的輸出信

11、噪比最大？,許瓦茲不等式:,等式成立的條件：,因果性要求：,匹配濾波器可 看作相關器：,2.8 窄帶平穩(wěn)隨機過程（帶通信號）,1. 窄帶隨機過程的定義 令X(t)為平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度PX(f)形狀如圖所示。 若 ，則稱X(t)為窄帶隨機過程，其樣本函數(shù)之一如圖所示,圖1 窄帶隨機過程X(t)的雙邊功率譜密度,圖2 窄帶隨機過程的樣本函數(shù),窄帶隨機過程的一般表達式 窄帶隨機過程可以表示成兩個相互正交的分量之和,窄帶平穩(wěn)隨機過程的復基帶表示（等效）,Z(t)是X(t)的解析信號,窄帶平穩(wěn)隨機信號特性,窄帶平穩(wěn)隨機過程同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性 (1). (2). 若X(t)是高斯隨機過程

12、，則 也是高斯隨機過程，Xc(t) 和Xs(t)也是高斯隨機過程。 (3).若X(t)是寬平穩(wěn)隨機過程，則Xc(t) 和Xs(t)為聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程，且Xc(t) 和Xs(t)的互相關函數(shù)只與時間間隔 有關。 (4),窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程的重要性質(zhì)（帶通高斯噪聲）： 若 為一個均值為零、方差為2 的平穩(wěn)高斯窄帶隨機過程，則 同相分量 和正交分量 同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差與 相同，為2 。 在同一時刻得到的同相分量Xc和正交分量Xs是互不相關的或統(tǒng)計獨立的。 包絡a(t)的一維分布是瑞利分布，而相位 的一維分布在0,2區(qū)間上均勻分布；并且就一維分布而言，相位 和包絡a(t)是統(tǒng)計獨立的。,窄帶平穩(wěn)隨機信號特性,正弦載波加窄帶高斯隨機過程（帶通信號+高斯噪聲）,窄帶高斯隨機過程n(